2.2 基本不等式 （教案）-高中数学人教A版（2019）必修一

第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2
基本不等式
教学设计
一、教学目标
1.通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会用几种语言来进行解释，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的要求.
2.能够运用基本不等式来求代数式的最值，达到数学抽象和逻辑推理水平一的层次.
3.能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力，达到数学建模核心素养水平一的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.
2.教学难点
用基本不等式求最大值和最小值.
三、教学过程
（一）探究一：基本不等式的推导
教师：
一个重要的不等式：，当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替上式中的a，b，可得
，
（1）
当且仅当a=b时，等号成立.
通常称不等式（1）为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
证明一：要证
①
只要证
（去分母）
②
要证②，只要证
（移项）
③
要证③，只要证
（配方）
④
要证④，只要证
（平方，非负）
⑤
显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.
证明二：比较法
由于的充要条件为a=b，因此，当且仅当a=b时，.
探究二：基本不等式的应用
例1
已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
证明：因为x，y都是正数，所以
（1）当积xy等于定值P时，所以
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值
（2）当和x+y等于定值S时，所以
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值
例1的内容称为最值定理，即
（1）当a+b=S时，当且仅当a=b时等号成立.
（2）当ab=G时，当且仅当a=b时等号成立.
例2设,当为何值时,取得最小值?
答案：,即.
当时,,
当且仅当,即时取等号.
故当时,取得最小值.
当时,,
当且仅当,即时取等号,
故当时,取得最小值.
综上,当时,取得最小值.
例3回答下列问题：
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最小值.
答案：（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
（2）因为，所以，所以,
所以,
当且仅当即时，等号成立，
故的最小值为8.
例4某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量10000不小于30百件时，.若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式;
（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
答案：（1）当时，；
当时，.
（2）当时，，
当时，；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
，
年产量为10百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.
（二）课堂练习
1.已知正数a,b满足,则的最小值为(
)
A.1
B.2
C.4
D.
答案：D
解析：因为，所以，
所以
,
当且仅当且，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选D.
2.已知,,,则的最小值是(
)
A.3
B.4
C.
D.
答案：B
解析：由题意得,当且仅当即时，等号成立，则,解得或（舍去），故的最小值是4.故选B.
3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(
)
A.60件
B.80件
C.100件
D.120件
答案：B
解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，当且仅当，即时取等号.
.故选B.
4.某汽车制造厂生产某种汽车,第一年的汽车产量为A辆,第二年的汽车产量增长率为x,第三年的汽车产量增长率为y,这两年的年平均增长率为z,则下列不等式成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题意得，，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，即.故选B.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.基本不等式；
3.基本不等式的推导；
4.基本不等式的应用.
作业：
四、板书设计
2.2基本不等式
1基本不等式.
2基本不等式的推导.
3基本不等式的应用.