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1.3
探索三角形全等的条件
同步习题精选
一、选择题
1．下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1
B．2
C．3
D．4
解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；21世纪教育网版权所有
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；21·cn·jy·com
答案：A．
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2．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．斜边及一条直角边对应相等
解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；www.21-cn-jy.com
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等才能得出两三角形全等，故本选项错误；
D、当两个直角三角形的两直角边对应相等时，由ASA可以判定它们全等；当一直角边与一斜边对应相等时，由HL判定它们全等，故本选项正确；2·1·c·n·j·y
答案：D．
3．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．HL
解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
答案：B．
4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
答案：A．
5．如图，点B在线段AC上，AD∥BE，AD＝BC，再补充下列一个条件，不能证明△ADB≌△BCE的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．∠ABD＝∠E
B．∠D＝∠C
C．AB＝BE
D．BD＝EC
解：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
A、根据AAS，推出△ADB≌△BCE，本选项不符合题意．
B、根据ASA，推出△ADB≌△BCE，本选项不符合题意．
C、根据SAS，推出△ADB≌△BCE，本选项不符合题意．
D、SSA，不能判断三角形全等，本选项符合题意，
答案：D．
6．如图，下列推理不能求证△ABD≌△CAD的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．DB＝DC，AB＝AC
B．∠ADC＝∠ADB，DB＝DC
C．∠C＝∠B，∠ADC＝∠ADB
D．∠C＝∠B，DB＝DC
解：A、依据SSS可知△ABD≌△ACD，故A不符合要求；
B、依据SAS可知△ABD≌△ACD，故B不符合要求；
C、依据AAS可知△ABD≌△ACD，故C不符合要求；
D、依据SSA可知△ABD≌△ACD，故D符合要求．
答案：D．
7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．BC＝DC，∠A＝∠D
B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD
D．BC＝EC，∠B＝∠E
解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；21·世纪
教育网
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；www-2-1-cnjy-com
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；21cnjy.com
答案：A．
8．如图所示，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．BD＝CD
B．∠B＝∠C
C．AB＝AC
D．AD平分∠BAC
解：A．BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；21
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B．∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；【来源：21cnj
y.co
m】
C．AB＝AC，AD＝AD，∠1＝∠2，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；21教育网
D．∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，∠1＝∠2，
∴△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；
答案：C．
9．如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF
B．∠B＝∠E
C．AB⊥AC且ED⊥DF
D．∠C＝∠F
解：A．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；【出处：21教育名师】
B．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；【版权所有：21教育】
C．∵AB⊥AC，DE⊥DF，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵AB＝DE，BC＝EF，
∴符合判定两直角三角形全等的条件HL，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；21教育名师原创作品
答案：D．
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8
B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8
D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，
答案：C．
11．如图，∠C＝∠D＝90°，添加下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
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A．0
B．1
C．2
D．3
解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
答案：D．
12．如图，AB＝12m，CA⊥A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，△CAP与△PQB全等．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2
B．3
C．4
D．8
解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
答案：C．
二、填空题
13．如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝ 60° ．
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解：在△ACO和△BCO中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠BCO＝∠ACO＝30°，
∴∠ACB＝∠BCO+∠ACO＝60°，
答案：60°．
14．如图，已知CA＝CD，CB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 AB＝DE或∠ACB＝∠DCE （只需填写一个）．21
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解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；
答案：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝9
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，则EB＝ 2 ．2-1-c-n-j-y
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解：在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AC＝AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
答案：2．
16．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是 A，B ．
A．∠1＝∠2；
B．BE＝CF；
C．△CAN≌△ABM；
D．CD＝DN．
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解：如图，
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS），
∴∠FAC＝∠EAB，BE＝CF，AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
故A，B正确；
又∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
故C错误；
∵△ACN≌△ABM（ASA），
∴AN＝AM，
∴MC＝BN，
而∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，
∴△DMC≌△DMB（AAS），
∴DC＝DB，
∴DC≠DN，
故D错误．
答案：A，B；
三、解答题
17．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
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证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
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证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠A＝∠D．
19．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
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证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰三角形．
20．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．
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解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
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探索三角形全等的条件
同步习题精选
一、选择题
1．下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．斜边及一条直角边对应相等
3．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
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A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．HL
4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
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A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
5．如图，点B在线段AC上，AD∥BE，AD＝BC，再补充下列一个条件，不能证明△ADB≌△BCE的是（ ）
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A．∠ABD＝∠E
B．∠D＝∠C
C．AB＝BE
D．BD＝EC
6．如图，下列推理不能求证△ABD≌△CAD的是（ ）
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A．DB＝DC，AB＝AC
B．∠ADC＝∠ADB，DB＝DC
C．∠C＝∠B，∠ADC＝∠ADB
D．∠C＝∠B，DB＝DC
7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．BC＝DC，∠A＝∠D
B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD
D．BC＝EC，∠B＝∠E
8．如图所示，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
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A．BD＝CD
B．∠B＝∠C
C．AB＝AC
D．AD平分∠BAC
9．如图，已知在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF
B．∠B＝∠E
C．AB⊥AC且ED⊥DF
D．∠C＝∠F
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8
B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8
D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
11．如图，∠C＝∠D＝90°，添
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A．0
B．1
C．2
D．3
12．如图，AB＝12m，CA⊥AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，△CAP与△PQB全等．
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A．2
B．3
C．4
D．8
二、填空题
13．如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝
．
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14．如图，已知CA＝CD，CB＝CE
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（只需填写一个）．21cnjy.com
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15．如图，在Rt△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠C＝90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE＝DC．若AB＝5，AC＝3，则EB＝
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16．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是
．
A．∠1＝∠2；
B．BE＝CF；
C．△CAN≌△ABM；
D．CD＝DN．
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三、解答题
17．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：△ABF≌△DCE．
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18．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
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19．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．www.21-cn-jy.com
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20．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．
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