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2.5等腰三角形的轴对称性
同步习题精选
一、选择题
1．等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12
B．9
C．9或12
D．10或12
解：①当2为底时，三角形的三边分别为2、5、5，
因为2+5＞5，
所以可以构成三角形，
周长为＝2+5+5＝12；
②当2为腰时，三角形的三边分别为2、2、5，
因为2+2＜5，
所以不能构成三角形，故舍去．
综上所述，三角形的周长为12，
答案：A．
2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是（ ）
A．60
B．50
C．40
D．30
解：∵直角三角形斜边上的中线CD是6，
∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12，
∴它的面积＝×AB×CE＝×12×5＝30，
答案：D．
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3．等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．60°
D．120°
解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为（180°﹣120°）÷2＝30°．
答案：A．
4．在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝70°，则∠B＝（ ）
A．55°
B．50°
C．70°
D．75°
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝（180°﹣70°）÷2＝55°．
答案：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90
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A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝70°，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠B＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠ACD＝90°﹣40°＝50°．
答案：A．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（ ）
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A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°，
答案：B．
7．如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
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A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，
∴∠ABC＝15°，
∴∠BAD＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，
∴AB＝2BD＝6cm，
∴AC＝AB＝6cm．
答案：D．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，D是AB的中点，则CD的长为（ ）
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A．5
B．6
C．8
D．10
解：∵∠ACB＝90°，AD＝DB，AB＝10，
∴CD＝AB＝×10＝5，
答案：A．
9．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是（ ）21cnjy.com
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A．30°
B．36°
C．40°
D．50°
解：设∠B＝x°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2x°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
答案：B．
10．如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，DE⊥AB，则△EBD的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中点，BC＝2，
∴Rt△BED中，BD＝BC＝，
∴DE＝，BE＝，
∴△EBD的面积为×＝．
答案：B．
11．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（ ）
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A．10°
B．15°
C．25°
D．30°
解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DOE＝25°，
答案：C．
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12．在△ABC中，AB＝A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（ ）21·cn·jy·com
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A．6
B．5
C．4
D．3
解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠B＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，
∴∠BDF＝∠ADF＝36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
答案：B．
二、填空题
13．用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长 4 cm．
解：12÷3＝4（cm）．
答：这个等边三角形的边长为4cm．
答案：4．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD∥AB，则∠BCD的度数是 67° ．
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解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，
∴∠ACB＝67°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ACB＝67°．
答案：67°．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC＝5cm，则AE的长为 10 ．www.21-cn-jy.com
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解：连接BE．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，∠A＝∠ABE＝30°．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∴∠CBE＝30°．
在Rt△EBC中，
∵∠CBE＝30°，CE＝5，
∴AE＝BE＝10．
答案：10．
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16．如图，在△ABA1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，连接A2C．完成下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）∠A1A2C的度数等于 38 度；
（2）如果继续在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，连接A3D，…，依此进行下去，那么以An为顶点的锐角的度数等于 度．【来源：21·世纪·教育·网】
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解：（1）在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝＝76°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°；
（2）同理可得，∠DA3A2＝19°，∠EA4A3＝9.5°，
∴以An为顶点的锐角的度数等于度．
答案：38，．
三、解答题
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝17，底边BC＝10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．则△BEC的周长是多少？21世纪教育网版权所有
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解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△BEC的周长＝BE+CE+BC＝AC+BC，
又∵AC＝17，BC＝10，
∴△BEC的周长＝17+10＝27．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形．
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证明：
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在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB；
∵BP、CQ分别是两腰AC、AB上的高，
∴∠BQC＝∠CPB＝90°，
∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，
∴∠OBC＝∠OCB；
∴OB＝OC，
∴△BCO为等腰三角形．
19．如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）连接BE，请你判断BE与AC垂直吗？并说明理由．
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（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB；
（2）AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE＝CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE＝AB，CE＝CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
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20．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．21·世纪
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已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求证： ∠BCD＝∠A ．
证明： 过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC ．
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已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD＝∠A，
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
答案：CD⊥AB于D，
∠BCD＝∠A，
过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
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2.5
等腰三角形的轴对称性
同步习题精选
一、选择题
1．等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12
B．9
C．9或12
D．10或12
2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是（ ）
A．60
B．50
C．40
D．30
3．等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．60°
D．120°
4．在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝70°，则∠B＝（ ）
A．55°
B．50°
C．70°
D．75°
5．如图，在Rt△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是（ ）21cnjy.com
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A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（ ）
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A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
7．如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，D是AB的中点，则CD的长为（ ）
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A．5
B．6
C．8
D．10
9．如图，△ABC中，BA＝B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是（ ）21教育网
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A．30°
B．36°
C．40°
D．50°
10．如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，DE⊥AB，则△EBD的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
11．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（ ）
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A．10°
B．15°
C．25°
D．30°
12．在△ABC中，AB
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A．6
B．5
C．4
D．3
二、填空题
13．用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长
cm．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD∥AB，则∠BCD的度数是
．
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15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC＝5cm，则AE的长为
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16．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，连接A2C．完成下列问题：www.21-cn-jy.com
（1）∠A1A2C的度数等于
度；
（2）如果继续在A2C上取一点D
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度．2·1·c·n·j·y
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三、解答题
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝17，底边BC＝10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．则△BEC的周长是多少？21·世纪
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18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形．
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19．如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）连接BE，请你判断BE与AC垂直吗？并说明理由．
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20．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．【来源：21·世纪·教育·网】
已知：在△ABC中，∠A为锐角，AB＝AC，
．
求证：
．
证明：
．
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