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3.1
勾股定理
同步习题精选
一、选择题
1．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A．
B．
C．3
D．或
2．观察“赵爽弦图”（如图），
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）21世纪教育网版权所有
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A．a（a﹣b）＝a2﹣ab
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．或2
4．如图，等腰直角△ABC的两个顶点A，C分别落在直线a和直线b上，若直线a∥b，则∠1+∠2的度数为（ ）
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A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
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A．85°
B．75°
C．60°
D．45°
6．如图，将一副学生用三角板（一
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A．30°
B．（m﹣15）°
C．（m+15）°
D．m°
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
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A．∠1+∠2＝90°
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠4
D．∠1＝30°
8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（ ）
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A．23
B．46
C．65
D．69
9．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（ ）21·cn·jy·com
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A．3
B．3.3
C．4
D．5
10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB＝5，将△ABC沿射线AC的方向平移1个单位长度得到△DEF，DE与BC交于点G，DC＝DG，则阴影部分面积是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4
B．8
C．9
D．
11．如图，Rt△ABC中，∠AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（ ）2·1·c·n·j·y
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A．20
B．12
C．2
D．2
12．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AC＝BC＝10，AB＝12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．12.5
B．13
C．14
D．15
二、填空题
13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为
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14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝
．
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15．如图，已知在Rt△ABC中，∠AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于
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16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为
．
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三、解答题
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB＝90°，D为AC上一点，延长BC至点E使CE＝CD，连接AE、BD并延长BD交AE于点F．求证：△BEF是直角三角形．21cnjy.com
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18．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，求BC的长．
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19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，∠BDC＝45°，AB＝13，BC＝5，求AD的长．
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20．如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15．
（1）求AB的长度；
（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．
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精品试卷·第
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3.1
勾股定理
同步习题精选
一、选择题
1．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A．
B．
C．3
D．或
解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC＝＝＝．
答案：A．
2．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个
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A．a（a﹣b）＝a2﹣ab
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
解：标记如下：
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∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×
＝a2﹣2ab+b2．
答案：C．
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．或2
解：①当x为斜边时，x2＝22+42＝20，所以x＝2；
②当4为斜边时，x2＝16﹣4＝12，x＝2．
答案：D．
4．如图，等腰直角△ABC的两个顶点A，C分别落在直线a和直线b上，若直线a∥b，则∠1+∠2的度数为（ ）
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A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解：如图，∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2＝180°，
∵∠3＝45°，∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝45°，
答案：B．
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5．将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
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A．85°
B．75°
C．60°
D．45°
解：如图，
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∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝60°，∠4＝45°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠4＝75°，
答案：B．
6．如图，将一副学生用三角板
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）21教育网
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A．30°
B．（m﹣15）°
C．（m+15）°
D．m°
解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
答案：B．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
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A．∠1+∠2＝90°
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠4
D．∠1＝30°
解：A．∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故本选项不符合题意；
B．∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，故本选项不符合题意；
C．∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠4，故本选项不符合题意；
D．根据已知条件不能推出∠1＝30°，故本选项符合题意；
答案：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（ ）
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A．23
B．46
C．65
D．69
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
答案：D．
9．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（ ）21cnjy.com
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A．3
B．3.3
C．4
D．5
解：∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
答案：A．
10．如图，△ABC中，∠A＝90°，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝AB＝5，将△ABC沿射线AC的方向平移1个单位长度得到△DEF，DE与BC交于点G，DC＝DG，则阴影部分面积是（ ）21·cn·jy·com
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A．4
B．8
C．9
D．
解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝5，
∴S△ABC＝×5×5＝，
∵CF＝1，
∴DC＝DG＝AC﹣CF＝4，
∴S△DGC＝×4×4＝8，
由平移的性质得：S△ABC＝S△DEF，
∴S阴影＝S△DEF﹣S△DGC＝﹣8＝，
答案：A．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝9
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（ ）2·1·c·n·j·y
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A．20
B．12
C．2
D．2
解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，
则S2＝AC2＝12，
答案：B．
12．如图，∠MON＝90°，已知△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．12.5
B．13
C．14
D．15
解：取AB的中点D，连接CD，如图所示：
∵AC＝BC＝10，AB＝12，
∵点D是AB边中点，
∴BD＝AB＝6，
∴CD＝＝＝8，
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝AB＝6，
∴OD+CD＝6+8＝14，
即点C到点O的最大距离为14，
答案：C．
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二、填空题
13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为 ．www-2-1-cnjy-com
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解：连接AE，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，
∵AC＝9，BC＝12，
∴CE＝12﹣x，
∵∠ACE＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，
即92+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
答案：．
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14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ 5 ．
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解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
答案：5．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 9π ．21·世纪
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解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵S1＝π（）2×，S2＝π（）2×，S3＝π（）2×，
∴S1+S2＝π（）2×+π（）2×＝π（）2×＝S3，
∵S3＝9π，
∴S1+S2＝9π，
答案：9π．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为 16或10或 ．
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解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝
当AB＝AP时，由△ABC≌△APC可知：
PC＝BC＝8，
∴BP＝16，
∴t＝16，
当BA＝BP时，BP＝10，
∴t＝10，
当PA＝PB时，设BP＝x，
在Rt△ACP中，
由勾股定理得：
（8﹣x）2+62＝x2，
∴x＝，
∴BP＝．
∴t＝．
答案：16或10或．
三、解答题
17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A
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证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．
∴BC＝AC，∠ACE＝∠ACB＝90°．
∵CE＝CD．
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠ACE＝90°．
∴∠CAE+∠E＝90°．
∴∠CBD+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°．
∴△BEF是直角三角形．
18．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．若AB＝10，CD＝6，求BC的长．
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解：∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，
∴AC＝AB＝10．
设BD＝x，则AD＝10﹣x，
在Rt△ACD中，
∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．
在Rt△BCD中，
∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，
∴BC＝＝2．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，∠BDC＝45°，AB＝13，BC＝5，求AD的长．
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解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝12，
∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝5，
∴CD＝BC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7．
故AD的长为7．
20．如图，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15．
（1）求AB的长度；
（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面积．
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解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，
∵BC：AC＝2：，
∴AB＝BC＝14；
（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，
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∴∠DHB＝∠AHD＝90°，
设BH＝x，则AH＝14﹣x，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BH＝x，BD＝13，
由勾股定理可得，DH2＝BD2﹣BH2＝132﹣x2，
在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，AD＝15，AH＝14﹣x，
由勾股定理可得，DH2＝AD2﹣AH2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得，x＝5，
∴DH2＝132﹣x2＝169﹣25＝144，
∴DH＝12，
∴S△ABD＝＝＝84．
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