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3.2
勾股定理的逆定理
同步习题精选
一、选择题
1．下列各组数中，能称为勾股数的是（ ）
A．1，，2
B．1.5，2.5，2
C．9，12，15
D．4，5，6
2．下列各组长度的线段中，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4
B．1，，3
C．5，6，7
D．5，12，13
3．下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形
C．△ABC
的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
4．满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ）
A．a＜b+c
B．a＞b﹣c
C．a＝b＝c
D．a2＝b2+c2
5．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6
B．28
C．10或28
D．10或2
6．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a：b：c＝7：24：25
D．a＝4，b＝5，c＝6
7．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b＝10，ab＝18，c＝8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
8．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形
D．以a为斜边的直角三角形
9．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为（ ）
A．171
B．180
C．820
D．不能确定
11．如图，在4×4的正方形网格中，每一格
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A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
12．在下列四个条件：①AB2+BC2＝AC2，②∠A＝90°﹣∠B，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A：∠B：∠C＝5：3：2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）21教育网
A．①③
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
二、填空题
13．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝
°．
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14．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为
．21cnjy.com
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为
．
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16．在四边形ABCD中，∠C＝90°，CD＝8，BC＝6，AB＝24，AD＝26，则四边形ABCD面积为
．
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三、解答题
17．已知：如图，AB＝4，BD＝12，CD＝13，AC＝3，AB⊥AC，求证：BC⊥BD．
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18．如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状，并求出点A到线段BC的距离．
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19．如图，已知AB＝10，BC＝24，CD＝26，DA＝20，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
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20．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求DE的长．
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3.2
勾股定理的逆定理
同步习题精选
一、选择题
1．下列各组数中，能称为勾股数的是（ ）
A．1，，2
B．1.5，2.5，2
C．9，12，15
D．4，5，6
解：A、不是正整数，该组数不是勾股数，不符合题意．
B、1.5，2.5不是正整数，该组数不是勾股数，不符合题意．
C、由于92+122＝152，所以该数是勾股数，符合题意．
D、由于42+52≠62，所以该组数不是勾股数，不符合题意．
答案：C．
2．下列各组长度的线段中，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4
B．1，，3
C．5，6，7
D．5，12，13
解：22+32≠42，故选项A不符合题意；
12+（）2≠32，故选项B不符合题意；
52+62≠72，故选项C不符合题意；
52+122＝132，故选项D符合题意；
答案：D．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形
C．△ABC
的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
解：A、△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，可得，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
B、△ABC中，若b2﹣c2＝a2，可得，b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
C、△ABC
的三边之比是5：12：13，可得，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；21教育网
D、△ABC中，若a2+b2≠c2，而b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法错误，符合题意；
答案：D．
4．满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ）
A．a＜b+c
B．a＞b﹣c
C．a＝b＝c
D．a2＝b2+c2
解：A．如a＝3，b＝4，c＝6，符合a＜b+c，但是此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．如a＝3，b＝6，c＝4，符合a＜b+c，但是此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．如a＝b＝c＝2，三角形是等边三角形，但不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a2＝b2+c2，
∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
答案：D．
5．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6
B．28
C．10或28
D．10或2
解：分为两种情况：
①当斜边长是8，一条直角边为6时，另一条直角边为＝2；
②当直角边是6和8时，斜边为＝10；
所以第三边的长为10或2，
答案：D．
6．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a：b：c＝7：24：25
D．a＝4，b＝5，c＝6
解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝5x°，
2x+3x+5x＝180，
解得：x＝18，
则5x°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵252＝72+242，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵62≠42+52，
∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
答案：D．
7．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b＝10，ab＝18，c＝8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解：∵c＝8，
∴c2＝64，
∵（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
答案：B．
8．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形
D．以a为斜边的直角三角形
解：由题意，a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
答案：D．
9．下列说法中能推出△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；
②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；
③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；
④∠C＝∠A﹣∠B可变为∠A＝∠C+∠B，根据∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；21世纪教育网版权所有
答案：D．
10．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为（ ）
A．171
B．180
C．820
D．不能确定
解：∵△ABC的三边长分别为9，40，41，
∴92+402＝412，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是9，40，
∴△ABC的面积为：×9×40＝180，
答案：B．
11．如图，在4×4的正方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（ ）21cnjy.com
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A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
解：由题意可得，CD＝2，AB＝＝．
∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，
∴AB2+CD2＝EF2或CD2+EF2＝AB2，
即13+4＝EF2或4+EF2＝13，
解得EF＝或3，
F点的位置如图所示．
答案：D．
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12．在下列四个条件：①AB2+BC2＝AC2，②∠A＝90°﹣∠B，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A：∠B：∠C＝5：3：2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）21·cn·jy·com
A．①③
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解：①∵AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C＝180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
∴∠A＝180°×＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
答案：D．
二、填空题
13．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝ 45 °．
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解：设小正方形的边长是1，则AO＝CO＝3，
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所以△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠OAC＝45°，
∵∠ABC+∠BAC＝∠ACO，
∴∠ABC+∠BAC＝45°，
答案：45．
14．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为 ．
解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，斜边长为10，
∴最长边上的高为：＝，
答案：．
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为 ．www.21-cn-jy.com
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解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
由作图可知：MN是AB的垂直平分线，
∴O是AB的中点，
∴CO＝AB＝，
答案：．
16．在四边形ABCD中，∠C＝90°，CD＝8，BC＝6，AB＝24，AD＝26，则四边形ABCD面积为 144 ．
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解：如图，连接BD，
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∵∠C＝90°，
∴BD＝＝10，
∵BD2+AB2＝102+242＝262＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝＝144．
答案：144
三、解答题
17．已知：如图，AB＝4，BD＝12，CD＝13，AC＝3，AB⊥AC，求证：BC⊥BD．
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证明：∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，
∴∠A＝90°，
∴BC＝＝5，
∵BD＝12，CD＝13，
∴BC2+BD2＝52+122＝132＝CD2，
∴△CBD是直角三角形，∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
18．如图，每个小正方形的边长都是1．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状，并求出点A到线段BC的距离．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
解：（1）由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2，AB＝＝，
所以△ABC的周长是AC+BC+AB＝+2+＝2+2；
（2）由（1）知AC＝AB＝，BC＝2，
所以AC2+AB2＝BC2，
所以∠CAB＝90°，
即△ABC是等腰直角三角形，
设点A到线段BC的距离为h，
则S△ABC＝，
所以h＝＝，
即点A到线段BC的距离是．
19．如图，已知AB＝10，BC＝24，CD＝26，DA＝20，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
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解：连接AC，过C作CE⊥AD于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝26，
∵CD＝26，
∴AC＝CD，
∵DA＝20，CE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝10，
由勾股定理得：CE＝＝＝24，
∴四边形ABCD的面积是S＝S△ABC+S△ACD
＝10×24+20×24
＝360．
20．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，AB于点E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求DE的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
又∵42+32＝52，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连接CE．
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∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．
解之得x＝，即AE的长是，
∴BE＝4﹣＝，
∵BD＝BC＝，
∴DE＝＝＝．
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