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3.3
勾股定理的简单应用
同步习题精选
一、选择题
1．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm
B．25cm
C．26cm
D．30cm
解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
答案：B．
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2．已知一个三角形工件尺寸如图所示，则高h的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．
D．5
解：
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过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝h，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD＝BC＝3．
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝4，
即h＝4．
答案：B．
3．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（ ）21教育网
A．10海里
B．20海里
C．30海里
D．40海里
解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），
∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，
∴BC＝＝＝30（海里）．
答案：C．
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4．如图，将一根长度为8cm，自
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了（ ）21cnjy.com
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A．6cm
B．5cm
C．4cm
D．2cm
解：连接CD，
∵中点C竖直向上拉升3cm至D点，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD＝90°，AC＝BC＝AB＝4cm，AD＝BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD＝＝＝5（cm），
∴BD＝5cm，
∴AD+BD＝10cm，
∵AB＝8cm，
∴该弹性皮筋被拉长了：10﹣8＝2（cm），
答案：D．
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5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．9m
B．14m
C．11m
D．10m
解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
答案：D．
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6．如图，一棵高5米的树A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B被强台风吹斜，与地面BC形成60°夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A恰好落在BC边上的点E处，若BE＝2米，则BD的长是（ ）米2·1·c·n·j·y
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A．2
B．3
C．
D．
解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
设BD＝x米，则DE＝（5﹣x）米，
在直角△BDF中，∠DBF＝60°，则BF＝x米，DF＝x米．
∴EF＝（2﹣x）米．
在直角△DFE中，由勾股定理知：DE2＝DF2+EF2，即（5﹣x）2＝（x）2+（2﹣x）2．
解得x＝．
即BD的长是米．
答案：C．
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7．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．21世纪教育网版权所有
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A．75a
B．50a
C．a
D．150a
解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
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∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
答案：A．
8．如图，某自动感应门的正上方A处装着一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
答案：B．
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9．如图是一个圆柱形饮料罐，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．12≤x≤13
B．12≤x≤15
C．5≤x≤12
D．5≤x≤13
解：如图，
当吸管底部在O点时吸管在罐内部分x最短，
此时x就是圆柱形的高，
即x＝12；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分x最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，AB＝，
＝，
＝13，
∴此时x＝13，
所以12≤x≤13．
答案：A．
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10．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）21
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A．1米
B．米
C．2米
D．4米
解：过点C作CF⊥AB于点F，
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根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
答案：A．
11．如图1，长、宽均为3，高为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为5，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
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A．
B．
C．
D．
解：由题意知AB＝CE＝3，BC＝AE＝8，∠BCE＝∠E＝90°，DC∥BG，
过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
∴∠DCF＝90°，
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，
解得：x＝6，
∴DE＝6，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝＝3，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF＝90°﹣∠BCD，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴＝，
即
＝，
∴CF＝，
答案：B．
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12．如图，原来从A村到B村，需要沿
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．5km
B．8km
C．10km
D．20km
解：由题意可得：AB＝＝＝20（km），
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
答案：B．
二、填空题
13．有一根长33厘米的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16厘米，这根木棒理论上 能 （填“能”或“不能”）放进木箱．【出处：21教育名师】
解：设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意得：x2＝242+182+162＝1156，
∵332＝1089，
1089＜1156，
∴能放进去，
答案：能．
14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部 8 m处．【版权所有：21教育】
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解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
答案：8．
15．某会展中心在会展期间
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 680 元．21教育名师原创作品
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解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
答案：680．
16．如图，公路MN和公路PQ在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 24 秒．21
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解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
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则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
答案：24．
三、解答题
17．如图，湖的两岸有A，B两点，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝60米，BC＝48米．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线AC的距离．
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解：（1）∵△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
∵AC＝60米，BC＝48米，
∴AB2＝602﹣482＝1296．
∵AB＞0，
∴AB＝36米．
即A，B两点间的距离是36米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
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因为S△ABC＝AB?BC＝AC?BD，
所以AB?BC＝AC?BD．
所以BD＝＝28.8（米），
即点B到直线AC的距离是28.8米．
18．如图，为迎接中国共产党建党100周
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)年，武汉市磨山景区拟对园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，欲在此空地上种植盆景造型，已知盆景每平方米500元，试问用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？21·世纪
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解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
∵AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+AD2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
该区域面积＝S△ACD﹣S△ABC＝30﹣6＝24（平方米），
铺满这块空地共需花费＝24×500＝12000（元）．
答：用该盆景铺满这块空地共需花费12000元．
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19．有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
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解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+2）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+2）2，
解得：x＝8，
芦苇的长度＝x+2＝8+2＝10（尺），
答：水池深8尺，芦苇长10尺．
20．如图，斜靠墙上的根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最 大 值（填“大”或“小”）为 （两个空直接写出答案不需要解答过程）．2-1-c-n-j-y
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解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，
∵BC＝5，AB＝13，
∴由勾股定理得：AC＝＝12，
∴A1C＝AC﹣AA1＝12﹣1＝11，
∴B1C＝＝4，
∴BB1＝B1C﹣BC＝4﹣5（m），
答：B端将沿CB方向移动（4﹣5）米；
（2）设AA1＝BB1＝x，
则A1C＝（12﹣x），CB1＝5+x，
由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，
即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，
解得：x＝7，
即AA1＝7（m）．
答：下移的距离为7米．
（3）以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，
在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，
最大值＝×13×＝．
答案：大，．
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精品试卷·第
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3.3
勾股定理的简单应用
同步习题精选
一、选择题
1．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm
B．25cm
C．26cm
D．30cm
2．已知一个三角形工件尺寸如图所示，则高h的长度为（ ）
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A．3
B．4
C．
D．5
3．一轮船以16海里/时的速度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（ ）21教育网
A．10海里
B．20海里
C．30海里
D．40海里
4．如图，将一根长度为8cm
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了（ ）21cnjy.com
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A．6cm
B．5cm
C．4cm
D．2cm
5．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（ ）21·cn·jy·com
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A．9m
B．14m
C．11m
D．10m
6．如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与地面BC形成60°夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A恰好落在BC边上的点E处，若BE＝2米，则BD的长是（ ）米www.21-cn-jy.com
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A．2
B．3
C．
D．
7．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．【来源：21·世纪·教育·网】
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A．75a
B．50a
C．a
D．150a
8．如图，某自动感应门的正上方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．12≤x≤13
B．12≤x≤15
C．5≤x≤12
D．5≤x≤13
10．如图，有一个绳索拉直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）21
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A．1米
B．米
C．2米
D．4米
11．如图1，长、宽均为3，高为8
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为5，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
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A．
B．
C．
D．
12．如图，原来从A村到B村，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）21·世纪
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A．5km
B．8km
C．10km
D．20km
二、填空题
13．有一根长33厘米的木棒（粗细
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（填“能”或“不能”）放进木箱．【来源：21cnj
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14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部
m处．【出处：21教育名师】
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15．某会展中心在会展期间准备将高5m、长1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要
元．【版权所有：21教育】
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16．如图，公路MN和公路
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为
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三、解答题
17．如图，湖的两岸有A，B两点，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝60米，BC＝48米．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线AC的距离．
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18．如图，为迎接中国共产党建党100
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19．有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
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20．如图，斜靠墙上的根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．
（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最
值（填“大”或“小”）为
（两个空直接写出答案不需要解答过程）．21
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