(共48张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【素养目标】
1．了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法．(数学抽象)
2．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线．(直观想象)
3．理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．(逻辑推理)
4．通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．(逻辑推理)
【学法解读】
本节学习中，学生首先回顾三角函数的定义，再利用单位圆作出正弦函数的图象，从而得出“五点法”，培养学生的直观想象.
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫________________.
正弦曲线
知识点1
正弦曲线
基础知识
思考1：作正弦函数的图象时，函数自变量(x)应使用什么作单位？为什么？
提示：作正弦函数的图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．
(1)几何法：
①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
知识点2
正弦函数图象的画法
五个关键点
思考2：观察上图，你认为正弦曲线是如何画出来的？
提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，将y＝sinx在[0,2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线．
余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．
思考3：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
提示：诱导公式 左右平移
知识点3
余弦曲线
知识点4
余弦函数图象的画法
思考4：正弦曲线和余弦曲线有怎样的关系？
基础自测
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是
( )
A．过原点
B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
D
B
A
A
B
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
用“五点法”作三角函数的图象?
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
[分析] 先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
例
1
[归纳提升] 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
【对点练习】?
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1.
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
题型二
利用图象平移作三角函数的图象?
利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[分析] 先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．
例
2
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
[归纳提升] 1.平移变换
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的．
(2)函数y＝f(x)＋b的图象是由函数y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的．
2．对称变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其对称翻折到y轴左边得到．
(3)函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．
(4)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(5)函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
D
利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数
方程sinx＝lgx的实根个数有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个
[错解] 如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，
有且只有1个公共点，故选A.
例
3
C
误区警示
[错因分析] 作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．
[正解] 在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sinx＝lgx的解．
[方法点拨] 有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．
[分析] 作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解．
例
4
学科素养
[归纳提升] 用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
课堂检测?固双基
A
D
C
B
5．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．(共38张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
【素养目标】
1．理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期．(数学抽象、数学运算)
2．掌握正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(数学运算)
3．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(数学运算)
4．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(数学运算、逻辑推理)
5．让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．
第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
(1)________________：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)__________________：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
周期函数
知识点1
函数的周期
基础知识
最小正周期
思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
知识点2
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
思考2：(1)正弦曲线对称吗？
(2)余弦曲线对称吗？
提示：(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(2)余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
基础自测
D
A
A
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为_________的周期函数．
5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝______________.
3
f(x)
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
三角函数的周期?
例
1
(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，
?
由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.
题型二
三角函数奇偶性的判断?
[分析] 先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．
例
2
题型三
三角函数奇偶性与周期性的综合运用?
例
3
[归纳提升] 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
课堂检测?固双基
A
C
B
4．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝_________.
[解析] f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.
2
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
(2)f(x)＝sin(cosx)．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，
∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．(共53张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
正弦曲线：
知识点1
正弦、余弦函数的最值
基础知识
余弦曲线：
定义域
值域
对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，
取得最小值－1.
思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．
(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．
知识点2
正弦、余弦函数的单调性
基础自测
C
D
B
4．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为__________________.
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
三角函数的单调区间?
[分析] (1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
例
1
[归纳提升] 单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
提醒：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sinx的单调区间来解决．当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y＝sinx的单调性的关系．
题型二
三角函数单调性的应用?
例
2
(3)sin164°＝sin(180°－16°)＝sin16°，
cos110°＝cos(90°＋20°)＝－sin20°.
因为sin16°>0，－sin20°<0，所以－sin20°即cos11°【对点练习】?
(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是
( )
A．sinαB．cosαC．cosαD．cosα>cosβ
(2)将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为____________________________________.
B
cos150°题型三
正弦函数、余弦函数在固定区间上求值域问题?
例
3
[归纳提升] 求y＝sin(ωx＋φ)型三角函数的值域的方法
令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域)．
例
4
误区警示
[错因分析] 造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．
[方法点拨] 解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．
与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
学科素养
例
5
[分析] (1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．
(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．
课堂检测?固双基
[解析] cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°.
sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.
C
C
B
5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为__________.
[解析] 令t＝cosx，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cosx＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．
[2,10] (共46张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
【素养目标】
1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(数学抽象)
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(逻辑推理)
3．通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生的探索精神和创新思维．(逻辑推理)
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做________________.
正切曲线
知识点
正切函数的图象与性质
基础知识
π
奇函数
思考：(1)正切函数的图象有怎样的特征？
(2)“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确？
基础自测
1．下列说法正确的个数是
( )
①正切函数的定义域和值域都是R；
②正切函数在其定义域内是单调递增函数；
③函数y＝|tanx|与y＝tanx的周期相等，都是π；
④函数y＝tanx的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②④错误，③正确，故选A.
A
B
B
D
<
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
正切函数的定义域、值域问题?
例
1
A
题型二
正切函数的单调性及应用?
[分析] (1)利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间．(2)利用诱导公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小．
例
2
2．运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
题型三
正切函数的周期性与奇偶性?
[分析] (1)根据正切函数最小正周期求解；(2)根据函数y＝asinx＋btanx是奇函数求解．
例
3
(2)令g(x)＝asinx＋btanx，则f(x)＝g(x)＋2.
因为g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asinx＋btanx)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
因为f(3)＝g(3)＋2＝－1，所以g(3)＝－3，
则g(－3)＝3.
故f(－3)＝g(－3)＋2＝3＋2＝5.
A
±2
例
4
③④
误区警示
[错因分析] 误把正切函数的对称中心认为只有(kπ，0)(k∈Z)．
数形结合思想—利用图象解三角不等式
观察正切曲线，解不等式tanx>1.
例
5
学科素养
[归纳提升] 解形如tanx>a的不等式的步骤
课堂检测?固双基
A
D
B
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
