(共37张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
【素养目标】
1．能从教材探究思考中找出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式．(逻辑推理)
2．准确应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式进行三角变换．(数学运算)
3．能用公式求值，求角，化简．(数学运算)
4．能用公式证明三角恒等式．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，利用单位圆推导两角差的余弦公式，再借助两角差的余弦公式及诱导公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角公式．学生应熟练利用公式进行求值、化简，培养学生的逻辑推理及数学运算的素养．
第1课时 两角差的余弦公式
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
公式：__________________________________.
(1)简记符号：C(α－β)
(2)适用条件：公式中的角α，β都是______________.
思考：(1)公式写成cos(α－β)＝cosα＋sinβ或cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ可以吗？
(2)公式的结构特征是怎样的？
(3)公式中的角α，β可以为几个角的组合吗？
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
知识点
两角差的余弦公式
基础知识
任意角
提示：(1)不可以．
(2)左端为两角差的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和．
(3)可以．公式中α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是几个角的组合．
基础自测
1．下列说法正确的个数是
( )
①对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.
②对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cosα－cosβ.
③存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
④当α，β为锐角时，必有cos(α－β)>cosαcosβ.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②错误，③④正确，故选B.
B
D
B
C
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
给角求值?
(1)求值：cos15°＝______；
(2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝______；
(3)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝______.
[分析] 尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用C(α－β)进行求值．
例
1
[归纳提升] 运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
题型二
给值求值?
例
2
题型三
给值求角?
例
3
[归纳提升] 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
课堂检测?固双基
1．cos
20°＝
( )
A．cos
30°cos
10°－sin
30°sin
10°
B．cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°
C．sin
30°cos
10°－sin
10°cos
30°
D．cos
30°cos10°－sin
30°cos
10°
[解析] cos
20°＝cos(30°－10°)
＝cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°，故选B.
B
A
4．sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝____________.
[解析] 原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ.
cosβ (共33张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
第2课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
简记符号
公式
使用条件
C(α＋β)
cos(α＋β)＝__________________________
α，β∈R
cosαcosβ－sinαsinβ
知识点1
两角和的余弦公式
基础知识
思考1：(1)你能说出公式C(α＋β)的特点吗？
(2)如何识记两角和与差的余弦公式？
提示：(1)公式左端为两角和的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的差，即和角余弦等于同名积之差．
(2)可简单记为“余余正正，符号反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反．
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的
正弦公式
_________________
sin(α＋β)＝
sin
αcos
β＋cos
αsin
β
α，β∈R
两角差的
正弦公式
_________________
sin(α－β)＝
sin
αcos
β－cos
αsin
β
α，β∈R
S(α＋β)
知识点2
两角和与差的正弦公式
S(α－β)
思考2：如何记忆公式S(α＋β)，S(α－β)?
提示：记忆口诀：正余余正，符号相同．正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”．
基础自测
1．下列说法中正确的个数是
( )
①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ对于任意角α，β均成立．
②不存在角α，β，使得sin(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
③sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①正确，②③错误，故选B.
B
2．sin(30°＋45°)＝____________.
3．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝______.
4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝______.
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
公式的正用与逆用?
例
1
[归纳提升] 探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
题型二
给值求值?
例
2
0
[分析] (1)先求出cosα，sinβ的值，再代入公式S(α＋β)．
(2)由α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．
[归纳提升] (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
题型三
给值求角?
例
3
课堂检测?固双基
A
C
A
B (共39张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
第3课时 两角和与差的正弦、余弦与正切公式(二)
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
tanα＋tanβ
知识点
两角和与差的正切公式
基础知识
1－tanαtanβ
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
基础自测
[解析] ①③错误，②正确，故选B.
B
B
B
1
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
给角求值?
例
1
D
1
[分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．
题型二
给值求值?
例
2
D
C
[归纳提升] 在阅读条件时要注意观察，善于发现并总结条件与公式结构之间的联系，分析已知角与待求角的关系．
A
C
题型三
给值求角?
例
3
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ；
②α＋2β＝(α＋β)＋β.
解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ，再求sinα、sinβ，从而求出tanα、tanβ，然后利用公式T(α＋β)，求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)得到α＋2β的值．
[归纳提升] 给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
课堂检测?固双基
A
B
C
B
A (共51张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
思考1：(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？
(2)公式中的角α是任意角吗？
知识点1
二倍角的正弦、余弦及正切公式
基础知识
(1)因式分解变换．
cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
(2)配方变换：
1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
(3)升幂缩角变换．
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
知识点2
二倍角公式的转换
思考2：如何证明“缩角升幂公式”？
提示：因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝cos2α－sin2α
＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
cos2α＝cos2α－sin2α
＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
基础自测
[解析] ①②③错误，④正确，故选A.
A
D
C
D
5．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为________.
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
利用二倍角公式给角求值问题?
例
1
[归纳提升] 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
题型二
利用二倍角公式给值求值问题?
例
2
[归纳提升] 解决给值求值问题的方法比较多，(1)可以利用倍角公式将二倍角(单角)化为单角(二倍角)，再通过三角基本公式得到所求值；(2)利用倍角公式的推论直接进行结构式的联系：如cos2α与sin2α及cos2α之间的关系，cosα±sinα与sin2α的关系等．
题型三
利用二倍角公式给值求角?
例
3
[归纳提升] 本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角．
题型四
三角函数式化简?
例
4
[分析] (1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.
(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α.
[归纳提升] 化简三角函数式的基本思路
解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形．可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．一般采用化弦法、切弦法、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围．
例
5
误区警示
[方法点拨] 运用公式化简函数解析式的过程中，忽略定义域是解决与三角函数有关问题常见的易错点．要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法．
二倍角公式在三角形问题中的应用
三角形中最多只有一个钝角或直角，且其内角的正弦值均为正，但余弦值和正切值则不一定为正，解题时这些都要注意．
例
6
学科素养
[分析] (1)f(B)的式子过于烦琐，需将其化简，在求B的大小时应考虑其在三角形中，所以角B的范围为(0，π)．
(2)将化简得到的f(B)代入不等式中，即可求得实数m的取值范围．
课堂检测?固双基
A
D
A
D
A (共60张PPT)
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
【素养目标】
1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)
2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)
3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养作业?提技能
必备知识?探新知
知识点
半角公式
基础知识
思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？
(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？
(3)半角公式对α∈R都成立吗？
基础自测
[解析] ①②③错误，④正确，故选A.
A
C
B
C
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
应用半角公式求值?
例
1
题型二
三角恒等式的化简与证明?
例
2
[归纳提升] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
题型三
利用辅助角公式研究函数性质?
例
3
B
例
4
误区警示
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．
例
5
学科素养
[分析] (1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．
(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．
课堂检测?固双基
A
D
C
C
