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专题4.1
几何图形（本专题共64页）
典例体系
一、知识点
1.立体图形与平面图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
二、考点点拨与训练
1、生活中的立体图形
考点1：几何体的识别
典例：（2019·江西省初三月考）下列几何体中，是圆柱的为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】：A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．
故选A.
方法或规律点拨
考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键.
巩固练习
1．（2019·河北省初一期末）下面几种图形：①三角形，②长方形，③立方体，④圆，⑤圆锥，⑥圆柱．其中属于立体图形的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】解：根据以上分析：属于立体图形的是③立方体⑤圆锥⑥圆柱，共计3个．
故选：C．
2．（2020·贵州省初三学业考试）下列列举的物体中，与铅球的形状类似的是（
）
A．音箱
B．铅笔
C．西瓜
D．水杯
【答案】C
【解析】解：铅球的形状是球体．
A.音箱是柱体，故不符合题意；
B.铅笔是柱体，故不符合题意；
C.西瓜是球体，符合题意；
D.水杯是柱体，故不符合题意；
故选C．
3．（2020·浙江省初三学业考试）如图，一个正方体有盖盒子（可密封）里装入六分之一高度的水，改变正方体盒子的放置方式，下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是（
）
A．正方体
B．长方体
C．三棱柱
D．三棱锥
【答案】A
【解析】解：根据题意可知，盒子里的水能形成的几何体是长方体、三棱柱，三棱锥，不可能是正方体．
故答案为A．
4．（2018·山东省初一期中）下列几何体属于柱体的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（3）（4）（5）（6）（8），共6个．
故选D．
5．（2019·西安交大阳光中学初一月考）直角三角形绕它的一条直角边旋转一周围成的几何体是（ ）
A．三棱锥
B．圆锥
C．圆柱
D．正方体
【答案】B
【解析】解：因为平面图形是一个直角三角形，
所以，以直角三角形的一条直角边所在的直线旋转一周得到的是一个圆锥．
故选：B．
6．（2019·山东省聊城二中初一月考）下列几何体中，属于锥体的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A是圆柱；B是四棱锥；C是球；D是长方体
属于锥体的是B．
故选：B．
7．（2019·山东省初一期中）下面的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：由长方体和第一、二、三部分所对应的几何体可知，第四部分所对应的几何体一排有一个正方体，一排有三个正方体，前面一个正方体在后面三个正方体的中间．
故选A．
考点2：几何体的点、棱和面
典例：（2020·山东省中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat
surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【解析】解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
方法或规律点拨
本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·河北省初一期中）如图，含有曲面的几何体编号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】C
【解析】由题意得，含有曲面的几何体编号是②③
故答案为：C．
2．（2020·重庆中考真题）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：A、球面不是平面，故本选项错误；B、四个面都是平面，故本选项正确；C、侧面不是平面，故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选B．
3．（2019·河北省金华中学初一期中）下图几何体面的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵球的表面是一个曲面，即球体只有一个面，
故选：A.
4．（2019·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．三棱锥
D．四棱锥
【答案】D
【解析】根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.
故选D
5．（2020·成都市金花中学初一期中）一个棱柱有12个面，它有__________个顶点，___________条棱．
【答案】20
30
【解析】解：一个棱柱有12个面，除上下两个底面后还有10个侧面，所以这个棱柱为10棱柱，它有20个顶点，30条棱
故答案为：20；30．
6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）这是一个_______体，它的长是_______
cm，宽是_______
cm，高是_______
cm．棱长总和是_______cm．
【答案】长方
25
12
18
220
【解析】这是一个长方体，它的长是25cm，宽是12cm，高是18cm．棱长总和是4×（25+12+18）=220cm．
故答案为：长方；25；12；18
；220．
7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体有个6面，每个面都是_______形，面积都_______．
【答案】正方
相等
【解析】正方体有个面，每个面都是正方形，面积都相等．
故答案为：正方；相等．
8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等（_______）
【答案】对
【解析】正方体有6个面，每个面都是面积相等的正方形，
所以，正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等．
故答案为：对．
9．（2018·四川省双流县棠湖中学实验学校初一月考）如图所示的几何体的名称是____，它由____个面组成，它有____个顶点，经过每个顶点有____条边．
【答案】五棱柱
7
10
3
【解析】
这个几何体的名称是五棱柱；它由7个面组成；它有10个顶点；经过每个顶点有3条边．
故答案为五棱柱、7、10、3．
考点3：点、线、面、体的关系
典例：（2020·山东省初一期中）如图1，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成两个相同的直角三角形．
（1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？
（2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？
【答案】（1）圆锥体，体积是376.8立方厘米；（2）空心的圆柱，体积为753.6立方厘米．
【解析】解：（1）根据题干分析可得：以其中一个直角三角形较长的直角边所在直线为轴，将纸板快速转动，可以形成一个圆锥体，
它的体积是×3.14×62×10=3.14×12×10=376.8（立方厘米）．
（2）根据题干分析可得：乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个挖去了等底等高圆锥的空心圆柱，
体积为：3.14×62×10-×3.14×62×10=3.14×360﹣3.14×120=3.14×240=753.6（立方厘米）．
方法或规律点拨
本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式的计算应用，关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高．
巩固练习
1．（2019·河北省初一期中）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】所给图形是直角梯形，绕直线l旋转一周，可以得到圆台，
故选D．
2．（2020·河北省初一期末）如图所给的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到立体图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由图可知，只有D选项图形绕直线l旋转一周得到如图所示立体图形，
故选：D．
3．（2020·内蒙古自治区初三二模）如图，是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（
）．
A．绕着旋转
B．绕着旋转
C．绕着旋转
D．绕着旋转
【答案】B
【解析】将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是：
故选：B．
4．（2019·山东省初一期中）夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，这是因为（
）
A．面对成体
B．线动成面
C．点动成线
D．面面相交成线
【答案】C
【解析】解：夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，是因为点动成线，
故选：C．
5．（2019·沈阳市第七中学初一期中）自行车的车轮辐条是一条线，当车轮飞速旋转时，辐条就飞速转动形成（ ）
A．点
B．线
C．面
D．体
【答案】C
【解析】解：∵点动成线，线动成面，面动成体，
∴辐条（线段）飞速转动形成面（圆），
故选：C．
6．（2020·银川市第三中学初一期中）六棱柱中，棱的条数有（ ）
A．6条
B．10条
C．12条
D．18条
【答案】D
【解析】六棱柱有六条侧棱，12条底棱，
故选D．
7．（2019·江苏省初一月考）观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（?
?）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体．
故选：C．
考点4：几何体的有关计算
典例：（2020·石家庄外国语教育集团初三一模）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先用图1中两个几何体可以组成一个新的圆柱体，
则圆柱的高为4+6=10cm，底面圆半径为4÷2=2cm，
∴这个圆柱的体积=，
则一个几何体的体积为：，
则图二的体积为：，
故选B.
方法或规律点拨
本题的关键是理解两个几何体可以组成一个规则的圆柱体，然后利用圆柱体体积的计算公式计算即可．
巩固练习
1．（2019·黑龙江省初三学业考试）一个圆柱和一个圆锥的底面圆的半径与高都分别相等，它们的体积差是24立方厘米，圆柱的体积是______立方厘米．
【答案】36
【解析】解：∵等底等高圆柱的体积就是圆锥体积的3倍，
则体积之差是圆锥体积的2倍，
∴圆柱的体积是24÷2×3=36立方厘米，
故答案为：36.
2．（2019·山东省初一期中）已知长方形的长为10cm，宽为4cm，将长方形绕边所在直线旋转后形成的立体图形的体积为______．
【答案】400πcm3或160πcm3
【解析】
解：若长方形绕长方形的长所在直线旋转后形成圆柱，
则体积是：π×42×10＝160π（cm3），
若长方形绕长方形的宽所在直线旋转后形成圆柱，
则体积是：π×102×4＝400π（cm3），
故答案为：400πcm3或160πcm3．
3．（2019·西安市铁一中学初一月考）已知长方形长为5，宽为2，将其绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，该几何体的体积为__________．（结果保留）
【答案】或
【解析】解：①当长方形绕它的长所在的直线旋转一周时：；
②当长方形绕它的宽所在的直线旋转一周时：．
故答案为：或．
4．（2019·西安交大阳光中学初一月考）长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱的最大体积为___
(结果保留π).
【答案】32π
【解析】由题意，旋转构成一个圆柱的体积为π××4=16π或π××2=32π，
故答案为：32π
5．（2020·青岛市崂山区育才学校初一期中）笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了_____．
【答案】点动成线
【解析】笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了点动成线.
故答案为点动成线.
6．（2020·辽宁省太和区第二初中初一月考）我们曾学过圆柱的体积计算公式：（R是圆柱底面半径，h为圆柱的高），现有一个长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？
【答案】或
【解析】
分两种情况：①绕长所在的直线为轴旋转一周，体积为；
②绕宽所在的直线为轴旋转一周，体积为；
故体积为或.
7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）一个正方体的棱长是12厘米，这个正方体的体积是多少？
【答案】这个正方体的体积是1728cm?．
【解析】V=12?
=1728（cm?）
答：这个正方体的体积是1728cm?．
2、展开与折叠
考点1：正方体与长方体的展开图
典例：（2020·河南省初一期末）在图1、图2中的无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图.
【答案】详见解析
【解析】
（1）图1中对照基本型，可选下面六种中的一种：
（2）图2对照基本型，可选下面四种中的一种：
方法或规律点拨
熟悉正方体展开图的11种基本型，可以帮助我们解答类似的问题.
巩固练习
1．（2020·四川省中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
2．（2020·吉林省初一期末）下列各图中,可以是一个正方体的平面展开图的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
A不是正方体的展开图,故不符合题意;
B不是正方体的展开图,
故不符合题意;
C是正方体的展开图,故符合题意;
D不是正方体的展开图,故不符合题意;
故选C．
3．（2020·吉林省初三二模）下列图形中，是正方体表面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
B、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
C、折叠后能折成正方体，故本项符合题意；
D、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意；
故选：C．
4．（2020·河北省初三三模）如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】D
【解析】解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁．故选D．
5．（2020·江苏省初三一模）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【解析】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，
故选A．
6．（2020·广东省初三其他）下列四个图形中，不是正方体展开图的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由正方体展开图的特征即可判定D不是正方体的展开图，
故选：D．
7．（2020·四川省初一期中）下列图形中，经过折叠不能围成正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解：A、有两个面重叠，不能折成正方体；
选项B、C、D经过折叠均能围成正方体．
故选A.
8．（2020·浙江省初三学业考试）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是
（填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【答案】（1）A；（2）见解析；（3）见解析
【解析】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，
故答案为：A．
（2）立方体表面展开图如图所示：
（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：
9．（2020·吉林省初一期末）小名准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，你能在图中的拼接图形上再接一个正方形画出阴影，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子吗？请在下面的图①和图②中画出两种不同的补充方法．
【答案】见解析
【解析】
解：如图所示：
新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．
考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图
典例：（2019·江苏省初一月考）如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．
（1）求x的值．
（2）求正方体的上面和底面的数字和．
【答案】（1）1；（2）4
【解析】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“A”与“-2”是相对面，
“3”与“1”是相对面，
“x”与“3x-2”是相对面，
（1）∵正方体的左面与右面标注的式子相等，
∴x=3x-2，
解得x=1；
（2）∵标注了A字母的是正方体的正面，左面与右面标注的式子相等，
∴上面和底面上的两个数字3和1，
∴3+1=4．
方法或规律点拨
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
巩固练习
1．（2020·内蒙古自治区初一期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是．
故选B．
2．（2020·黑龙江省中考真题）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
3．（2020·四川省初三其他）小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误；
B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误；
C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确；
D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误．
故选C
4．（2020·霍林郭勒市第五中学初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“国”字所在面的对面的汉字是（
）
A．祖
B．我
C．心
D．中
【答案】B
【解析】“国”字所在面的对面的汉字是“我”．
故选：B
5．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示是小聪制作的一个正方体模型的展开图，把“读书使人进步”六个字分别粘贴在六个面上，那么在正方体模型中与“书”相对的面上的字（
）．
A．读
B．步
C．使
D．人
【答案】B
【解析】根据正方体展开图的特点，“使”与“进”相对，“读”与“人”相对，“书”与“步”相对，
故选：B．
6．（2020·湖北省初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是(
)
A．国
B．的
C．中
D．梦
【答案】B
【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，
故选B.
7．（2020·河北省初一期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为(
)
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．1
【答案】B
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．“5”与“2x﹣3”是相对面，“y”与“x”是相对面，“﹣2”与“2”是相对面，∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，∴2x﹣3+5=0，x+y=0，解得x=﹣1，y=1，∴2x+y=2×（﹣1）+1=﹣2+1=﹣1．故选B．
8．（2020·河南省初三二模）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“河”字所在的面相对的面上标的字是（
）
A．建
B．设
C．美
D．丽
【答案】C
【解析】由正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形知：
“建”与“南”是相对面；
“设”与“丽”是相对面；
“河”与“美”是相对面，
故选：C.
9．（2020·甘肃省中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是( )
A．文
B．羲
C．弘
D．化
【答案】D
【解析】
解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故选：D．
10．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个展开图如图说是，正原正方体中，与“考”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A．祝
B．你
C．成
D．功
【答案】C
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“祝”与“试”是相对面，
“考”与“成”是相对面，
“你”与“功”是相对面；
故选：C．
11．（2020·四川省中考真题）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意；
B、手的对面是口，所以本选项符合题意；
C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意；
D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意．
故选：B．
12．（2018·河南省初一期末）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是_____．
【答案】我
【解析】由图1可得：“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对；
由图2可得：该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格时，“国”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“我”．
故答案为我．
13．（2020·四川省初三其他）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是_____．
【答案】亮
【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，与“想”字所在面相对的面上的汉字是亮．
故答案为：亮．
14．（2019·安徽省初一期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值．
【答案】x＝﹣
【解析】
解：根据题意得，x﹣3＝3x﹣2，
解得：x＝﹣．
15．（2020·江西省初一期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全．
（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的容积：
_________
cm3．
【答案】（1）作图见解析和；（2）12．
【解析】解：（1）拼图存在问题，如图：
（2）折叠而成的长方体的容积为;3×2×2=12（cm3）.
故答案为12.
考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图
典例：（2020·江西省中考真题）如图所示，正方体的展开图为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
方法或规律点拨
本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河南省初三）某正方体的每个面上都有一个汉字.它的一种平面展开图如图所示，那么在原正方体中，与“筑”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A．抗
B．疫
C．长
D．城
【答案】B
【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中与“筑”字所在面相对的面上的汉字是疫．
故选：B．
2．（2020·江苏省初三二模）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现在用一把剪刀沿着它的
棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】把四个选项的展开图折叠，能复原的是C，
故选C．
3．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
根据带有各种符号的面的特点及位置，故选D．
4．（2020·河北省初一期末）如图，该几何体的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】阴影面和带点面相邻，所以选C.
5．（2020·北京初三一模）如图，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B
点的位置为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解：将展开图恢复成正方体，①面成为了正方体的右面，可知B2点即B点所处位置.
6．（2019·吉林省第二实验学校初三二模）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的展开图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
故选：C．
考点4：由展开图计算几何体相关数据
典例：（2020·青岛超银中学初一月考）如图是某种产品展开图，高为3cm.
（1）求这个产品的体积.
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此长方体的表面积.
【答案】（1）长方形的体积为144cm3；（2）纸箱的表面积为516cm2．
【解析】（1）长方体的高为3cm，则长方形的宽为（12-2×3）cm，长为（25-3-6）cm，根据题意可得：
长方形的体积为：8×6×3=144（cm3）；
（2）因为长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，
所以装5件这种产品，应该尽量使得6×8的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
这样的话，5件这种产品可以用15×6×8的包装纸箱，再考虑15×8的面积最大，所以15×8的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
所以设计的包装纸箱为15×6×8规格，该产品的侧面积分别为：
8×6=48（cm2），8×15=120（cm2），6×15=90（cm2）
纸箱的表面积为：2（120+48+90）=516（cm2）．
方法或规律点拨
本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·江苏省初三其他）某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．
【答案】这个包装盒的体积为90cm3
【解析】解：设高为x
cm，则长为（13－2x）cm，宽为（14－2x）cm．由题意，得，
[（13－2x）（14－2x）+（14－2x）x＋x（13－2x）]×2＝146，
解得：x1＝2，x2＝－9（舍去）.
∴长为：9cm，宽为：5cm．长方体的体积为：9×5×2=90cm3．
答：这个包装盒的体积为90cm3．
2．（2020·四平市第三中学校初一月考）如图所示的长方体的容器，AB=BC，BB’=3AB
且这个容器的容积为192立方分米．
（1）求这个长方体容器底面边长AB的长为多少分米？
（2）若这个长方体的两个底面和侧面都是用铁皮制作的，则制作这个长方体容器需要多少平方分米铁皮？（不计损耗）
【答案】（1）4分米，（2）224平方分米．
【解析】
解：（1）设
AB=BC，BB’=3AB，
由这个容器的容积为192立方分米，
（分米）．
（2）
长方体的表面积为：
（平方分米），
制作这个长方体容器需要平方分米的铁皮．
3．（2020·青岛超银中学初一月考）如图是某种产品展开图，高为3cm.
（1）求这个产品的体积.
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此长方体的表面积.
【答案】（1）长方形的体积为144cm3；（2）纸箱的表面积为516cm2．
【解析】（1）长方体的高为3cm，则长方形的宽为（12-2×3）cm，长为（25-3-6）cm，根据题意可得：
长方形的体积为：8×6×3=144（cm3）；
（2）因为长方体的高为3cm，宽为6cm，长为8cm，
所以装5件这种产品，应该尽量使得6×8的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
这样的话，5件这种产品可以用15×6×8的包装纸箱，再考虑15×8的面积最大，所以15×8的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
所以设计的包装纸箱为15×6×8规格，该产品的侧面积分别为：
8×6=48（cm2），8×15=120（cm2），6×15=90（cm2）
纸箱的表面积为：2（120+48+90）=516（cm2）．
4．（2020·河北省初一期末）在我们的课本第142页“4.4课题学习”中，有包装纸盒的设计制作方法．这里的右图，是设计师为“XX快递”设计的长方体包装盒的轮廓草图，其中长30CM、宽20CM、高18CM，正面有“快递”字样，上面有“上”字样，棱AB是上盖的掀开处，棱CD是粘合处．请你想想，如何制作这个包装盒，然后完善下面的制作步骤．
步骤1：在符合尺寸规格的硬纸板上，画出这个长方体的展开图(草图)．注意，要预留出黏合处，并适当剪去棱角．
步骤2：在你上面画出的展开草图上，标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30CM、宽20CM、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．
【答案】步骤1见解析；步骤2见解析；步骤3见解析
【解析】
步骤一：如下图(有多种作图方案，画出一种合理的即可):
步骤2：在图中标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30CM、宽20CM、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：按图中所示裁下展开图，折叠并粘好黏合处，即可得到长方体包装盒．
5．（2019·山东省初一期中）
如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答
（1）如果A面在长方体的底部，那么
面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积．
【答案】（1）F；（2）这个长方体的表面积是22（米2）．这个长方体的体积是6（米3）．
【解析】（1）如图所示，A与F是对面，所以如果A面在长方体的底部，那么
F面会在上面；
故答案是：F；
（2）这个长方体的表面积是：2×（1×3+1×2+2×3）＝22（米2）．
这个长方体的体积是：1×2×3＝6（米3）．
6．（2020·河南省初一月考）小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.
【答案】（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm2；体积为：200cm3．
【解析】解：（1）多余一个正方形，如图所示：
（2）表面积为：，
体积为：
7．（2018·南通市启秀中学初一期末）如图，将一个饮料包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为；设包装盒底面的长为．
（1）用表示包装盒底面的宽；
（2）用表示包装盒的表面积，并化简；
（3）若包装盒底面的长为，求包装盒的表面积．
【答案】（1）宽=；（2）；（3）550．
【解析】解：（1）包装盒底面的宽为：（cm），
（2）包装盒的表面积为：
S=2×[（15-x）×15+15x+（15-x）×x]
=（cm2），
（3）包装盒底面的长为10cm，包装盒的表面积为：
S=2×[（15-10）×15+15×10+（15-10）×10]=550（cm2）．
考点5：一般几何体的侧面展开图
典例：（2020·湖南省中考真题）下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．
故选C．
方法或规律点拨
本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
巩固练习
1．（2020·河北省初一期末）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（
）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵正方体的展开图中，不存在“田”字形，
∴A错误；
∵圆的位置摆放不正确，
∴B错误；
∵两个圆和一个长方形，可以围成一个圆柱，
∴C正确；
∵三棱柱展开图有5个面，
∴D错误，
故选C.
2．（2020·泰兴市马甸初级中学初三二模）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（
）
A．圆柱
B．三棱锥
C．圆锥
D．四棱锥
【答案】C
【解析】圆柱：展开图为两个圆形和一个长方形
三棱锥：展开图为四个三角形
圆锥：展开图为一个圆形和一个扇形
四棱锥：展开图为四个三角形和一个四边形
答案故选C
3．（2020·重庆初三二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（
）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
【答案】B
【解析】
解：由几何体的表面展开图可知，该几何体的形状是三棱柱．
故选：B．
4．（2020·辽宁省初三二模）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱
B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱
D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱
【答案】D
【解析】根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱锥，圆柱；
故选：D
5．（2020·广西壮族自治区南宁三中初三三模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（
）
A．三棱柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．圆柱
【答案】A
【解析】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选A．
6．（2020·北京初三二模）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由侧面是3个矩形，上下为2个三角形，可得该几何体为三棱柱
故选：D．
7．（2020·四川省初三二模）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（
）
A．三棱柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．圆柱
【答案】A
【解析】
观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
8．（2020·北京初三二模）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．
3、截一个几何体
考点1：截几何体判断截面
典例：（2019·全国初一课时练习）用平面去截正方体.
（1）截面形状能是三角形吗？如果能，请画出一种截法.
（2）截面形状能是长方形吗？如果能，请画出一种截法.
（3）截面形状能是梯形吗？如果能，请画出一种截法.
（4）截面形状能是五边形吗？如果能，请画出一种截法.
（5）截面形状能是六边形吗？如果能，请画出一种截法.
（6）截面形状能是圆吗？为什么？
【答案】（1）能，见解析；（2）能，见解析；（3）能，见解析；（4）能，见解析；（5）能，见解析；（6）不能，见解析.
【解析】解：（1）能，如图1所示.
（2）能，如图2所示.
（3）能，如图3所示.
（4）能，如图4所示.
（5）能，如图5所示.
图1
图2
图3
图4
图5
（6）不能，因为正方体的各面都是平面，所以截正方体时，得到的交线都是直线，而圆是曲线围成的，所以截面形状不能是圆.
方法或规律点拨
此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握截面的形状既与被截的几何体有关.
巩固练习
1．（2020·重庆八中初三期末）用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是(
)
A．圆
B．矩形
C．椭圆
D．三角形
【答案】B
【解析】
解：平行于圆锥的底面的截面是圆，故A可能;
截面不可能是矩形，故B符合题意；
斜截且与底面不相交的截面是椭圆，故C可能;
过圆锥的顶点的截面是三角形，故D可能.
故答案为B.
2．（2019·山东省初一期中）用一个平面去截一个正方体，截面可能是（
）
A．七边形
B．圆
C．长方形
D．圆锥
【答案】C
【解析】∵组成正方体的每一个面为平面，截面的边只可能是线段，不可能是弧线，
∴选项B、D不符合题意，错误；
用一个平面去截一个正方体，截面边数最多只可能为6，如图所示，A选项不符合题意，错误；
当沿着正方体某个面的对角线去截一个正方体时，截面为长方形，如图所示，选项C符合题意，
故选C．
3．（2019·山西省初一期中）用一个平面去截一个立体图形，当截取的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，下列截面中属于三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：选项A中截出的是一个圆，故选项A错误；
选项B中截出的是一个三角形，故选项B正确；
选项C中截出的是一个平行四边形，故选项C错误；
选项D中截出的是一个平行四边形，故选项D错误.
故答案为：B.
4．（2020·湖北省黄石八中初三一模）圆锥的轴截面是(
)
A．梯形
B．等腰三角形
C．矩形
D．圆
【答案】B
【解析】解：圆锥的轴垂直于底面且经过圆锥的底面的圆心，
因此圆锥的轴与将轴截面分成了两个全等的三角形，
因此，轴截面应该是等腰三角形.
故选B.
5．（2019·临泽县教育体育和科学技术局初一月考）一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的(
)
A．圆柱和圆锥
B．球体和圆锥
C．球体和圆柱
D．正方体和圆锥
【答案】C
【解析】圆柱的截面可能是圆，长方形，不会是三角形，球体的截面永远是圆，也不会是三角形.
故选C．
6．（2019·沈阳市第一二六中学初一月考）用一个平面按照如图所示的位置与正方体相截，则截面图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】用一个平面按题目所给的方法去截一个正方体，则截面是三角形．
故选A．
7．（2019·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（
）．
A．圆柱
B．圆锥
C．五棱柱
D．正方体
【答案】B
【解析】
A.
用垂直于地面的一个平面截圆柱截面为矩形，与要求不符；
B.
圆锥由一个平面和一个曲面，截面最多有三条边，截面不可能是长方形，与要求相符；
C.
五棱柱的截面可以是长方形，与要求不符；
D.
正方体的截面可以是长方形，与要求不符。
故选：B.
8．（2019·重庆一中初一月考）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（
）
A．梯形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
【答案】D
【解析】用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形，四边形，五边形，六边形，不可能为七边形，故选D。
9．（2019·青岛大学附属中学初一月考）用一个平面去截①圆锥、②圆柱、③球、④五棱柱，能得到的截面是圆的图形是（
）
A．②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【解析】如果截面与圆锥底面平行，那么截面是圆，故①符合题意，
如果截面与圆柱的上下面平行，那么截面是圆，故②符合题意，
用一个平面去截球，截面一定是圆，故③符合题意，
用一个平面去截五棱柱，无论怎么去截，截面都不可能有弧度，故④不符合题意，
综上所述：能得到的截面是圆的图形是①②③，
故选：B．
10．（2019·全国初一课时练习）一个圆柱的底面半径是10
cm，高是18
cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(3)怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你画出这个截面并求其面积．
【答案】(1)圆；
(2)长方形；(3)
当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大．
面积为360cm2．图略
【解析】(1)所得的截面是圆；
(2)所得的截面是长方形；
(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大．这时，长方形的一边等于圆柱的高，另一边等于圆柱的底面直径．如图所示：
则这个长方形的面积为：10×2×18＝360(cm2)．
考点2：由截面判断几何体
典例：（2018·全国初一单元测试）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如：A(1，5，6)，则B(________)；C(________)；D(________)．
【答案】B(1，2，3，4)；C(5)；D(3，5，6)．
【解析】
B（正方体）的截面图形可能有（1，2，3，4）；C（球体）的截面图形可能有（5）；D（圆柱）的截面图形可能有（3，5，6）.
故答案为：B(1，2，3，4)；C(5)；D(3，5，6)．
方法或规律点拨
熟悉“常见几何体的常见截面图形”是解答本题的关键.
巩固练习
1．（2018·四川省双流县棠湖中学实验学校初一月考）下面几何体的截面图可能是圆的是（ ）
A．圆锥
B．正方体
C．长方体
D．棱柱
【答案】A
【解析】长方体和棱柱的截面都不可能有弧度，所以截面不可能是圆，而圆锥只要截面与底面平行，截得的就是圆．
故选A．
2．（2019·闽清县教育局初一期末）用一个平面去截下列3个几何体，能得到截面是长方形的几何体有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】D
【解析】长方体、圆柱体，三棱柱都能得到截面是长方形.
故选：D.
3．（2019·西安交大阳光中学初一月考）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：
①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱.
（
）
A．①②③④
B．①③④
C．①④
D．①②
【答案】B
【解析】①正方体截去一个角，截面为三角形，符合题意；
②圆柱体只能截出矩形或圆，不合题意；
③圆锥沿着中轴线截开，截面就是三角形，符合题意；
④正三棱柱从平行于底面的方向截取，截面即为三角形，符合题意.
故选.
4．（2020·山东省初一期中）用一个平面取截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（
）
A．圆柱
B．球体
C．圆锥
D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
解：A、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是四边形，故A选项符合题意；?
B、用一个平面去截一个球体，得到的图形可能是圆，故B选项不合题意；?
C、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是四边形，故C选项不符合题意；?
D、因为A选项符合题意，故D选项不合题意；?
故选A．
5．（2020·宁夏回族自治区景博中学初一期末）如图，用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】
用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，正方体，三棱柱，
故选:B．
6．（2020·甘肃省初一期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（ ）
A．圆柱;
B．圆锥;
C．正方体;
D．球
【答案】C
【解析】截面的形状是圆，这个几何体不可能是正方体，
故选C.
7．（2019·四川省成都市七中育才学校初一月考）(1)用一个平面去截一个几何体，可以得到圆形的截面的几何体有？
(2)用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有？
【答案】（1）球，圆柱，圆锥；（2）三棱柱，三棱锥，正方体.
【解析】
(1)用一个平面去截一个几何体，可以得到圆形的截面的几何体有球，圆柱，圆锥；
(2)用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有三棱柱，三棱锥，正方体，
故答案为：（1）球，圆柱，圆锥；（2）三棱柱，三棱锥，正方体.
8．（2019·全国初一课时练习）一物体的外形为正方体，为探明其内部结构，用一组沿竖直方向（自左向右）的平面截这个物体，得到如图所示的一组截面，请你猜猜这个正方体的内部构造.
【答案】内部为底面相对的两个圆锥或为一个球体.（答案不唯一，合理即可）
【解析】
根据截面图形的变化规律，可得出这个正方体的内部构造为：内部为底面相对的两个圆锥或为一个球体.
考点3：被截后的几何体
典例：（2019·山东省初一期中）一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（
）
A．7个
B．8个
C．9个
D．7个或8个或9个或10个
【答案】D
【解析】
解：如图所示：将一个正方体截去一个角，则其顶点的个数减少1；不变；增加1或2．
即顶点的个数是7个或8个或9个或10个．
故选D．
方法或规律点拨
本题结合截面考查正方体的相关知识，对于一个正方体：截去一个角，则其顶点的个数有三种情况：减少1；不变；增加1或2．
巩固练习
1．（2019·广东省初一月考）用一个平面去截一个正方体,下列选项中画有阴影的部分是截面,哪个画法是错误的( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此A是错误的，故选A．
2．（2019·山东省初一期中）如图，一正方体截去一角后，剩下的几何体的面数和棱数分别为（
）
A．6，14
B．7，15
C．7，14
D．6，15
【答案】B
【解析】
将一个正方体截去一个角，则其面数增加一个,故面数为：6+1=7;直接数棱数可得15条棱.
故答案选：B
3．（2018·河南省初一期末）将一个长方体截去一个角得到一个如图所示的新几何体，这个新几何体有_____个面．
【答案】7
【解析】
解：长方体截去一角变成一个如图的新几何体，这个新几何体有7个面．
故答案为：7．
4．（2019·浙江省初三二模）把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为__．
【答案】7，8，9，10．
【解析】把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为7，8，9，10，
故答案为：7，8，9，10
5．（2019·山西省初一期末）钻石原石看起来并不起眼，但经过精心设计、切割、打磨，就会成为璀璨夺目的钻石．钻石切割是多面体截面在实际生活中的一个应用．将已经加工成三棱柱形状的钻石原石进行切割，只切一刀，切截面的形状可能是___________．（填一种情况即可）
【答案】长方形（或三角形，答案不唯一）.
【解析】
用刀去切三棱三棱柱，如果竖着切，得到的截面是长方形，横着切是三角形，斜着切是三角形，
故答案为：长方形（或三角形，答案不唯一）.
6．（2019·山东省初一期中）如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有_____顶点，最少有_____条棱．
【答案】10，
12．
【解析】解：剩下的几何体可能有：7个顶点、12条棱、7个面；
或8个顶点、13条棱、7个面；
或9个顶点、14条棱、7个面；
或10个顶点、15条棱、7个面．
如图所示：则剩下的几何体最多有10顶点，最少有12条棱，
故答案为：10，12．
7．（2018·江苏省初一月考）如图①是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，类比梯形面积公式的推导方法(如图②)
，推导图①中的几何体的体积为_________.
【答案】63π
【解析】.
故答案为：63π．
8．（2019·全国初一专题练习）如图，图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到（2）、（3）、（4）、（5）所示的图形，问（2）、（3）、（4）、（5）图中切掉的部分可能是其他几块中的哪一块?
【答案】（2）图切掉的部分可能是（3）图和（5）图，（3）图切掉的部分可能是（2）图，（5）图切掉的部分可能是（2）图．
【解析】
解：（2）图切掉的部分可能是（3）图和（5）图，（3）图切掉的部分可能是（2）图，（5）图切掉的部分可能是（2）图．
9．（2020·贵州省初一期末）如图，将正方体沿面AB′C剪下，则截下的几何体为（??
）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
【答案】A
【解析】解：∵截下的几何体的底面为三角形，且AB、CB、B′B交于一点B，
∴该几何体为三棱锥．故选A．
考点4：与几何体切割相关的问题
典例：（2019·河南省初一期中）一块长方体豆腐切三刀，最多能切成的块数（形状，大小不限）是（ ）
A．10
B．8
C．7
D．6
【答案】B
【解析】解：如图：
切三刀，最多切成8块，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了切长方体的问题，掌握切长方体的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河南省初一期末）如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，
将水杯倒着放可得到B选项的形状，
将水杯正着放可得到C选项的形状，
不能得到三角形的形状，
故选D．
2．（2020·银川外国语实验学校初一期末）如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ）
A．圆
B．长方形
C．椭圆
D．平行四边形
【答案】B
【解析】解：水面的形状就是垂直圆柱底面的截面的形状，即为长方形；
故选B．
3．（2018·全国初一单元测试）爸爸给儿子阳阳买了一个生日蛋糕(圆柱形)，阳阳想把蛋糕切成至少七块分给七位小朋友，若沿竖直方向切分，则至少需切________刀．
【答案】3
【解析】
切一刀可分成2块，切2刀最多分成2+2=4块，切3刀最多分成2+2+3=7块.
故答案为3.
4．（2018·修水县大椿乡中学初一期中）小明的妈妈烙了一张大饼，需要切开吃，小方没有碰触大饼，而是直接用刀切了三次，她最多能把这张饼切成___________块.
【答案】7
【解析】如图：
最多可以把大饼切成7块．
故答案为7；
5．（2018·全国初一课时练习）一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成__
块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成____块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
【答案】16
56
【解析】当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+.
n=5代入公式得16,
n=10,代入公式得56.
点睛：找规律题需要记忆常见数列
1，2，3，4……n.
1，3，5，7……2n-1.
2，4，6，8……2n.
2，4，8，16，32……2n.
1，4，9，16，25……n2.
2，6，12，20……n(n+1).
学会常见数列的变形，才能具体问题找到规律.
6．（2019·河南省初一期中）如图所示是一个圆柱体，它的底面半径为3cm，高为6cm．
（1）请求出该圆柱体的表面积；
（2）用一个平面去截该圆柱体，你能截出截面最大的长方形吗？截得的长方形面积的最大值为多少？
【答案】（1）；（2）能截出截面最大的长方形，长方形面积的最大值为：
【解析】解：（1）圆柱体的表面积为：
；
；
（2）能截出截面最大的长方形．
该长方形面积的最大值为：．
7．（2019·四川省西航港一中初一月考）如图所示，长方形ABCD的长AB为10
cm，宽AD为6
cm，把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，然后用平面沿AB方向去截所得的几何体，求截面的最大面积．
【答案】120cm2
【解析】解：由题可得，把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，∴截面的最大面积为6×2×10=120（cm2）．
8．（2019·全国初一课时练习）如图①是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图②，四边形APQC是截正方体的一个截面．问截面的四条线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的什么位置上？
【答案】线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的面ABCD，BCGF，EFGH，EFBA上.
【解析】
根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A?A，C?C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．如图：
4、从三个方向看几何体
考点1：已知几何体判定三视图
典例：（2019·吉林省初一期末）如图是由个同样大小的小正方体搭成的物体.
（1）请画阴影分别表示从正面、上面观察得到的平面图形的示意图；
（2）分别从正面、上面观察这个图形，得到的平面图形不变的情况下，你认为最多还可以添加
个小正方体.
从正面看
从上面看
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
解：(1)如图，
从上面看
从正面看
(2)在上面两个平面图形不变的情况下，可以将多添加的小正方体放在最左侧的那一列上，最多还可以添加
3个小正方体．
故答案为：.
方法或规律点拨
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
巩固练习
1．（2020·甘肃省中考真题）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
2．（2019·黑龙江省初二期末）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.
故选：C.
3．（2020·海南省初三其他）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】从上面看到的形状图是
，
故选：D．
4．（2020·福建省南安市侨光中学初三）下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：A、主视图看到的是2行，3列，最下1行是3个，上面一行是1个，第2列是2个；左视图是2行，上下各1个；
B．主视图看到的是3行，最下1行是2个，上面2行在下面1行的中间，各1个，左视图是3行，每行各一个；
C．主视图是2行2列，下面1行是2个，上面1行1个，左面1列是2个；左视图是2行2列，下面1行是2个，上面1行1个，左面1列是2个，故主视图和左视图相同；
D．主视图是2行2列，下面1行2个，上面1行1个，右面1列2个，左视图也是2行2列，下面1行2个，上面1行1个，左面1列2个．
故选：C．
5．（2018·内蒙古自治区初一期末）如图,由8个小正方体堆积而成的几何体，其从左面看得到的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：从左面观察可知，图形有三列，由左到右依次有2个，3个和1个正方形，
故选：B．
6．（2020·河北省初一期末）在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，
从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，
综上所知这个几何体是圆柱．
故选A．
7．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图是由4个完全相同的正方形搭成的几何体，则（
）
A．三视图都相同
B．俯视图与左视图都相同
C．主视图与俯视图都相同
D．主视图与左视图相同
【答案】D
【解析】解：从正面看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，
从左边看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，
从上面看靠外边一层有1个小正方形，靠里边一层有2个小正方形，
故选：D．
8．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图，用大小一样的正方体搭建一个几何体，该几何体的主视图是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】从正面看可得到从左到右分别是2，1，1，1个正方形，
故选：D．
9．（2020·河南省初一期末）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的平面图形．
【答案】见解析
【解析】
从正面看：共有3列，从左往右分别有1，3，1个小正方形；
从左面看：共有2列，左面一列有3个，右边一列有1个小正方形；
从上面看：共分3列，左面一列有2个，右边二列靠上方各有1个小正方形．
如图所示：
10．（2019·山东省初一期中）如图是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体．
（1）请画出这个几何体从不同方向看到的图形
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看形状不变，那么最多可以再添加多少个小正方体．
【答案】（1）见解析；（2）最多可以再添加2个小正方体
【解析】(1)
主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；
左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；
俯视图有3列，第一列2个小正方数形，第二、三列的第二行的小正方形数目分别为1，1；
如图所示：
(2)可在第1列第二层、第三层第一行各加一个，共2个
∴最多可以再添加2个小正方体．
考点2：已知俯视图判断其它视图
典例：（2019·陕西省初一期中）一个几何体是由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数.
（1）请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状；
（2）若搭成该几何体的小正方体的棱长为1，现在需要给这个几何体外表面涂上颜色（不含底部），请求出需要涂色的面积.
【答案】（1）见解析；（2）31
【解析】
（1）主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，2，3，左视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，2．
如图所示：
（2）涂上颜色部分的总面积：
2×(6+7)+5=31(平方单位)．
答：涂上颜色部分的总面积是31(平方单位)．
方法或规律点拨
此题主要考查了作三视图，以及求几何体的表面积，关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
巩固练习
1．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的左视图是（
）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【解析】从左面看可得到从左到右分别是2，1个正方形．
故选C．
2．（2019·黑龙江省初三学业考试）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（
）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：从左面看可得到2列正方形，从左往右的个数分别是2个和3个
故答案为：D.
3．（2018·河南省初一期末）由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看，它的形状图如下图所示，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则从左面看这个几何体的形状是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】分析：根据俯视图和各位置上的小正方体的个数，还原几何体，再画左视图；
解：因为俯视图和各位置上的小正方体的个数如图所示，
所以原几何体如图所示：
4．（2020·山东省初三期末）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，
则符合题意的是D；
5．（2019·广东省初一期中）如图，这是一个由小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出它从正面和左面看到的几何体形状图．
【答案】见解析
【解析】如图所示，
6．（2020·宁夏回族自治区初一期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左边看到的这个几何体的形状图．
【答案】画图见解析．
【解析】如图所示：
考点3：已知视图判断正方体个数
典例：（2020·沭阳县怀文中学初一期末）用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：
（1）a，b，c各表示的数字是几？
（2）这个几何体最多由几个小立方体搭成？最少呢？
（3）当，时，画出这个几何体从左面看得到的形状图.
【答案】（1），，；（2）最多由11个小立方体搭成；最少由9个小立方体搭成；（3）见解析.
【解析】
（1），，；
（2）（个），（个）.
这个几何体最多由11个小立方体搭成；最少由9个小立方体搭成.
（3）如图所示.
方法或规律点拨
本题考查由三视图判断几何体及作三视图，解题关键在于熟练掌握几何体的三视图的相关知识.
巩固练习
1．（2020·河南省初三一模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(
)
A．3个或
4个或
5个
B．4个或
5个
C．5个或
6个
D．6个或
7个
【答案】A
【解析】
根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况.
所以选A.
2．（2019·山东省初三二模）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】由题目中所给出的俯视图可知底层有3个小正方体；由左视图可知第2层有1个小正方体．所以搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1=4个．故答案选B．
3．（2019·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一月考）如下图是由一些相同的小正方体构成几何体的左视图和俯视图，那么构成这几何体的小正方体最多有（
）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【答案】B
【解析】解：由俯视图及左视图知，构成该几何体的小正方形体个数最多的情况如下：
故选：B．
4．（2019·四川省初一期末）下列图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】由俯视图可以看出这个几何体是3行、4列，底层共7个小正方体，
由主视图可以看出左边数第2列最高是2层，第3列最高是3层，
从左视图可以看出第2行最高是3层，第1、3行是1层，
所以合计有7+1+2=10个小正方体．
故选D.
5．（2019·江西省初三）如图，是由相同的小正方体构成的立体图形的三视图，小正方体的个数是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】试题解析：俯视图中有4个正方形，那么最底层有4个正方体，
由主视图可得第二层最多有2个正方体，
由左视图可得第二层只有1个正方体，
所以共有4+1=5个正方体.
故选B.
6．（2018·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期末）如图是由六个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体(
)
A．从正面看改变，从左面看改变
B．从上面看不变，从左面看不变
C．从上面看改变，从左面看改变
D．从正面看改变，从左面看不变
【答案】D
【解析】如题中所说，将正方体①移走后，所得几何体的左视图并没有发生改变，即从左面看不变，而几何体的主视图与俯视图发生了改变，即从正面以及上面看发生了改变，所以A、B、C选项错误.
故选：D.
7．（2020·四川省初一期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的从正面看，从上边看到的图形，若组成的这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为____________．
【答案】38
【解析】
当个数最少的时候从俯视图看一共有8个正方体，如图一所示（其中一种情况），当个数最多的时候有11个正方体，如图二所示．
所以，n所有可能的值为8、9、10、11,则，n的所有可能值之和为38．
故答案为：38.
8．（2019·天津益中学校初一月考）用小立方块搭一个几何体，如图所示，这样的几何体最少需要____个小立方块，最多需要__个小立方块．
【答案】9，
13.
【解析】综合正视图和俯视图，这个几何体的底层要6个小立方块．第二层最少要2个小立方块，最多要4个，第三层最少要1个，最多要3个，因此这样的几何体最少要6+2+1=9个，最多要6+4+3=13个．
故答案为9，13
考点4：已知视图计算几何体相关数据
典例：（2020·江西省初一期末）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）
（1）该几何体中有
小正方体？
（2）其中两面被涂到的有
个小正方体；没被涂到的有
个小正方体；
（3）求出涂上颜色部分的总面积．
【答案】（1）14；（2）4，1；（3）33cm2
【解析】
（1）该几何体中正方体的个数为9+4+1=14个；
（2）根据图中小正方体的位置可知：最底层外边中间的小正方体被涂到2个面，共4个，只有最底层正中间的小正方体没被涂到，
故答案为4；1；
（3）先算侧面--底层12个小面；
中层8个小面；
上层4个小面；
再算上面--上层1个
中层3个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积总是它的底面积，也就是一个，所以中层是4减1个）底层（9-4）=5个，
∴总共12+8+4+1+3+5=33个小面．
∴涂上颜色部分的总面积=1133=33cm2.
方法或规律点拨
考查几何体三视图的画法及有关计算；有规律的找到正方体的个数和计算露出部分的总面积是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2019·济宁市第十五中学初三一模）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ）
A．主视图
B．俯视图
C．左视图
D．一样大
【答案】C
【解析】
如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，
左视图是由3个小正方形组成，
俯视图是由5个小正方形组成，
故三种视图面积最小的是左视图，
故选C．
2．（2019·湖北省初三零模）分别从正面和上面观察长方体的形状，如图所示（单位：m），则从左面观察此长方体，看到的图形的面积是（
）
A．4m2
B．12m2
C．1m2
D．3m2
【答案】D
【解析】
∵几何体的三视图满足长对正、高平齐、宽相等，
∴根据几何体的正视图和俯视图，可知几何体的左视图的长为3，宽为1，
∴几何体的左视图为3.
故选:D.
3．（2020·宁夏回族自治区初三期末）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是_______.
【答案】72
【解析】∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是36，
∴设高为h，则6×2×h=36，解得：h=3．
∴它的表面积是：2×3×2+2×6×2+3×6×2=72．
4．（2020·湖南省中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留）．
【答案】24π
cm?
【解析】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm?)．
故答案为：24π
cm?．
5．（2019·山东省初三期中）一位画家把7个边长为1m的相同正方体摆成如图的形状，然后把露出的表面（不包括底面）涂上颜色，则涂色面积为_________m2.
【答案】23
【解析】
根据分析得露出的面的个数为4×2+4×3+3=23，又每个面的面积为1m2，
则涂色面积为23m2.故答案为：23．
6．（2019·河北省初一期中）如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求此几何体表面展开图的面积．
【答案】（1）这个几何体是圆柱；（2）表面积为1000π．
【解析】解：（1）根据题意，这个几何体是圆柱；
（2）该圆柱的高为40，底面直径为20，
表面积为：2×π×102+20π×40=1000π．
7．（2019·陕西省初一期末）如图是一些由棱长均为的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数．
（1）请分别画出这个几何体的主视图和左视图；
（2）求这个几何体的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）从正面看到的图形有3列，每列的小正方形的个数分别为3、1、3；从左面看到的图形有2列，每列的小正方形的个数分别为3、3；
∴这个几何体的主视图和左视图如图所示：
（2）由俯视图可以看到，这个几何体由10个立方体组成，
∵小正方体的棱长为2cm，
∴这个几何体的体积为23×10=80cm3．
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专题4.1
几何图形（本专题共64页）
典例体系
一、知识点
1.立体图形与平面图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
二、考点点拨与训练
1、生活中的立体图形
考点1：几何体的识别
典例：（2019·江西省初三月考）下列几何体中，是圆柱的为
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键.
巩固练习
1．（2019·河北省初一期末）下面几种图形：①三角形，②长方形，③立方体，④圆，⑤圆锥，⑥圆柱．其中属于立体图形的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020·贵州省初三学业考试）下列列举的物体中，与铅球的形状类似的是（
）
A．音箱
B．铅笔
C．西瓜
D．水杯
3．（2020·浙江省初三学业考试）如图，一个正方体有盖盒子（可密封）里装入六分之一高度的水，改变正方体盒子的放置方式，下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是（
）
A．正方体
B．长方体
C．三棱柱
D．三棱锥
4．（2018·山东省初一期中）下列几何体属于柱体的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2019·西安交大阳光中学初一月考）直角三角形绕它的一条直角边旋转一周围成的几何体是（ ）
A．三棱锥
B．圆锥
C．圆柱
D．正方体
6．（2019·山东省聊城二中初一月考）下列几何体中，属于锥体的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2019·山东省初一期中）下面的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点2：几何体的点、棱和面
典例：（2020·山东省中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat
surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
方法或规律点拨
本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·河北省初一期中）如图，含有曲面的几何体编号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
2．（2020·重庆中考真题）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·河北省金华中学初一期中）下图几何体面的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( )
A．三棱柱
B．四棱柱
C．三棱锥
D．四棱锥
5．（2020·成都市金花中学初一期中）一个棱柱有12个面，它有__________个顶点，___________条棱．
6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）这是一个_______体，它的长是_______
cm，宽是_______
cm，高是_______
cm．棱长总和是_______cm．
7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体有个6面，每个面都是_______形，面积都_______．
8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等（_______）
9．（2018·四川省双流县棠湖中学实验学校初一月考）如图所示的几何体的名称是____，它由____个面组成，它有____个顶点，经过每个顶点有____条边．
考点3：点、线、面、体的关系
典例：（2020·山东省初一期中）如图1，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成两个相同的直角三角形．
（1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？
（2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？
方法或规律点拨
本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式的计算应用，关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高．
巩固练习
1．（2019·河北省初一期中）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河北省初一期末）如图所给的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到立体图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·内蒙古自治区初三二模）如图，是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（
）．
A．绕着旋转
B．绕着旋转
C．绕着旋转
D．绕着旋转
4．（2019·山东省初一期中）夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，这是因为（
）
A．面对成体
B．线动成面
C．点动成线
D．面面相交成线
5．（2019·沈阳市第七中学初一期中）自行车的车轮辐条是一条线，当车轮飞速旋转时，辐条就飞速转动形成（ ）
A．点
B．线
C．面
D．体
6．（2020·银川市第三中学初一期中）六棱柱中，棱的条数有（ ）
A．6条
B．10条
C．12条
D．18条
7．（2019·江苏省初一月考）观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（?
?）
A．
B．
C．
D．
考点4：几何体的有关计算
典例：（2020·石家庄外国语教育集团初三一模）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
本题的关键是理解两个几何体可以组成一个规则的圆柱体，然后利用圆柱体体积的计算公式计算即可．
巩固练习
1．（2019·黑龙江省初三学业考试）一个圆柱和一个圆锥的底面圆的半径与高都分别相等，它们的体积差是24立方厘米，圆柱的体积是______立方厘米．
2．（2019·山东省初一期中）已知长方形的长为10cm，宽为4cm，将长方形绕边所在直线旋转后形成的立体图形的体积为______．
3．（2019·西安市铁一中学初一月考）已知长方形长为5，宽为2，将其绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，该几何体的体积为__________．（结果保留）
4．（2019·西安交大阳光中学初一月考）长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱的最大体积为___
(结果保留π).
5．（2020·青岛市崂山区育才学校初一期中）笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了_____．
6．（2020·辽宁省太和区第二初中初一月考）我们曾学过圆柱的体积计算公式：（R是圆柱底面半径，h为圆柱的高），现有一个长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？
7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）一个正方体的棱长是12厘米，这个正方体的体积是多少？
2、展开与折叠
考点1：正方体与长方体的展开图
典例：（2020·河南省初一期末）在图1、图2中的无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图.
方法或规律点拨
熟悉正方体展开图的11种基本型，可以帮助我们解答类似的问题.
巩固练习
1．（2020·四川省中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·吉林省初一期末）下列各图中,可以是一个正方体的平面展开图的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·吉林省初三二模）下列图形中，是正方体表面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河北省初三三模）如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
5．（2020·江苏省初三一模）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
6．（2020·广东省初三其他）下列四个图形中，不是正方体展开图的（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·四川省初一期中）下列图形中，经过折叠不能围成正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江省初三学业考试）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是
（填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
9．（2020·吉林省初一期末）小名准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，你能在图中的拼接图形上再接一个正方形画出阴影，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子吗？请在下面的图①和图②中画出两种不同的补充方法．
考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图
典例：（2019·江苏省初一月考）如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．
（1）求x的值．
（2）求正方体的上面和底面的数字和．
方法或规律点拨
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
巩固练习
1．（2020·内蒙古自治区初一期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·黑龙江省中考真题）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2020·四川省初三其他）小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·霍林郭勒市第五中学初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“国”字所在面的对面的汉字是（
）
A．祖
B．我
C．心
D．中
5．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示是小聪制作的一个正方体模型的展开图，把“读书使人进步”六个字分别粘贴在六个面上，那么在正方体模型中与“书”相对的面上的字（
）．
A．读
B．步
C．使
D．人
6．（2020·湖北省初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是(
)
A．国
B．的
C．中
D．梦
7．（2020·河北省初一期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为(
)
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．1
8．（2020·河南省初三二模）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“河”字所在的面相对的面上标的字是（
）
A．建
B．设
C．美
D．丽
9．（2020·甘肃省中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是( )
A．文
B．羲
C．弘
D．化
10．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个展开图如图说是，正原正方体中，与“考”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A．祝
B．你
C．成
D．功
11．（2020·四川省中考真题）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2018·河南省初一期末）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是_____．
13．（2020·四川省初三其他）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是_____．
14．（2019·安徽省初一期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值．
15．（2020·江西省初一期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全．
（2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的容积：
_________
cm3．
考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图
典例：（2020·江西省中考真题）如图所示，正方体的展开图为（
）
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河南省初三）某正方体的每个面上都有一个汉字.它的一种平面展开图如图所示，那么在原正方体中，与“筑”字所在面相对的面上的汉字是（
）
A．抗
B．疫
C．长
D．城
2．（2020·江苏省初三二模）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现在用一把剪刀沿着它的
棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河北省初一期末）如图，该几何体的展开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·北京初三一模）如图，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B
点的位置为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·吉林省第二实验学校初三二模）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的展开图是（
）
A．
B．
C．
D．
考点4：由展开图计算几何体相关数据
典例：（2020·青岛超银中学初一月考）如图是某种产品展开图，高为3cm.
（1）求这个产品的体积.
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此长方体的表面积.
方法或规律点拨
本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2020·江苏省初三其他）某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．
2．（2020·四平市第三中学校初一月考）如图所示的长方体的容器，AB=BC，BB’=3AB
且这个容器的容积为192立方分米．
（1）求这个长方体容器底面边长AB的长为多少分米？
（2）若这个长方体的两个底面和侧面都是用铁皮制作的，则制作这个长方体容器需要多少平方分米铁皮？（不计损耗）
3．（2020·青岛超银中学初一月考）如图是某种产品展开图，高为3cm.
（1）求这个产品的体积.
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此长方体的表面积.
4．（2020·河北省初一期末）在我们的课本第142页“4.4课题学习”中，有包装纸盒的设计制作方法．这里的右图，是设计师为“XX快递”设计的长方体包装盒的轮廓草图，其中长30CM、宽20CM、高18CM，正面有“快递”字样，上面有“上”字样，棱AB是上盖的掀开处，棱CD是粘合处．请你想想，如何制作这个包装盒，然后完善下面的制作步骤．
步骤1：在符合尺寸规格的硬纸板上，画出这个长方体的展开图(草图)．注意，要预留出黏合处，并适当剪去棱角．
步骤2：在你上面画出的展开草图上，标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30CM、宽20CM、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上．
步骤3：裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．
5．（2019·山东省初一期中）
如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答
（1）如果A面在长方体的底部，那么
面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积．
6．（2020·河南省初一月考）小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.
7．（2018·南通市启秀中学初一期末）如图，将一个饮料包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为；设包装盒底面的长为．
（1）用表示包装盒底面的宽；
（2）用表示包装盒的表面积，并化简；
（3）若包装盒底面的长为，求包装盒的表面积．
考点5：一般几何体的侧面展开图
典例：（2020·湖南省中考真题）下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
巩固练习
1．（2020·河北省初一期末）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（
）.
A．B．C．D．
2．（2020·泰兴市马甸初级中学初三二模）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（
）
A．圆柱
B．三棱锥
C．圆锥
D．四棱锥
3．（2020·重庆初三二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（
）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
4．（2020·辽宁省初三二模）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱
B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱
D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱
5．（2020·广西壮族自治区南宁三中初三三模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（
）
A．三棱柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．圆柱
6．（2020·北京初三二模）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是(
)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·四川省初三二模）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（
）
A．三棱柱
B．圆锥
C．四棱柱
D．圆柱
8．（2020·北京初三二模）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
3、截一个几何体
考点1：截几何体判断截面
典例：（2019·全国初一课时练习）用平面去截正方体.
（1）截面形状能是三角形吗？如果能，请画出一种截法.
（2）截面形状能是长方形吗？如果能，请画出一种截法.
（3）截面形状能是梯形吗？如果能，请画出一种截法.
（4）截面形状能是五边形吗？如果能，请画出一种截法.
（5）截面形状能是六边形吗？如果能，请画出一种截法.
（6）截面形状能是圆吗？为什么？
方法或规律点拨
此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握截面的形状既与被截的几何体有关.
巩固练习
1．（2020·重庆八中初三期末）用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是(
)
A．圆
B．矩形
C．椭圆
D．三角形
2．（2019·山东省初一期中）用一个平面去截一个正方体，截面可能是（
）
A．七边形
B．圆
C．长方形
D．圆锥
3．（2019·山西省初一期中）用一个平面去截一个立体图形，当截取的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，下列截面中属于三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·湖北省黄石八中初三一模）圆锥的轴截面是(
)
A．梯形
B．等腰三角形
C．矩形
D．圆
5．（2019·临泽县教育体育和科学技术局初一月考）一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的(
)
A．圆柱和圆锥
B．球体和圆锥
C．球体和圆柱
D．正方体和圆锥
6．（2019·沈阳市第一二六中学初一月考）用一个平面按照如图所示的位置与正方体相截，则截面图形是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2019·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（
）．
A．圆柱
B．圆锥
C．五棱柱
D．正方体
8．（2019·重庆一中初一月考）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（
）
A．梯形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
9．（2019·青岛大学附属中学初一月考）用一个平面去截①圆锥、②圆柱、③球、④五棱柱，能得到的截面是圆的图形是（
）
A．②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
10．（2019·全国初一课时练习）一个圆柱的底面半径是10
cm，高是18
cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
(3)怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你画出这个截面并求其面积．
考点2：由截面判断几何体
典例：（2018·全国初一单元测试）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如：A(1，5，6)，则B(________)；C(________)；D(________)．
方法或规律点拨
熟悉“常见几何体的常见截面图形”是解答本题的关键.
巩固练习
1．（2018·四川省双流县棠湖中学实验学校初一月考）下面几何体的截面图可能是圆的是（ ）
A．圆锥
B．正方体
C．长方体
D．棱柱
2．（2019·闽清县教育局初一期末）用一个平面去截下列3个几何体，能得到截面是长方形的几何体有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．（2019·西安交大阳光中学初一月考）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：
①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱.
（
）
A．①②③④
B．①③④
C．①④
D．①②
4．（2020·山东省初一期中）用一个平面取截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（
）
A．圆柱
B．球体
C．圆锥
D．以上都有可能
5．（2020·宁夏回族自治区景博中学初一期末）如图，用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6．（2020·甘肃省初一期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（ ）
A．圆柱;
B．圆锥;
C．正方体;
D．球
7．（2019·四川省成都市七中育才学校初一月考）(1)用一个平面去截一个几何体，可以得到圆形的截面的几何体有？
(2)用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有？
8．（2019·全国初一课时练习）一物体的外形为正方体，为探明其内部结构，用一组沿竖直方向（自左向右）的平面截这个物体，得到如图所示的一组截面，请你猜猜这个正方体的内部构造.
考点3：被截后的几何体
典例：（2019·山东省初一期中）一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（
）
A．7个
B．8个
C．9个
D．7个或8个或9个或10个
方法或规律点拨
本题结合截面考查正方体的相关知识，对于一个正方体：截去一个角，则其顶点的个数有三种情况：减少1；不变；增加1或2．
巩固练习
1．（2019·广东省初一月考）用一个平面去截一个正方体,下列选项中画有阴影的部分是截面,哪个画法是错误的( )
A．
B．
C．
D．
2．（2019·山东省初一期中）如图，一正方体截去一角后，剩下的几何体的面数和棱数分别为（
）
A．6，14
B．7，15
C．7，14
D．6，15
3．（2018·河南省初一期末）将一个长方体截去一个角得到一个如图所示的新几何体，这个新几何体有_____个面．
4．（2019·浙江省初三二模）把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为__．
5．（2019·山西省初一期末）钻石原石看起来并不起眼，但经过精心设计、切割、打磨，就会成为璀璨夺目的钻石．钻石切割是多面体截面在实际生活中的一个应用．将已经加工成三棱柱形状的钻石原石进行切割，只切一刀，切截面的形状可能是___________．（填一种情况即可）
6．（2019·山东省初一期中）如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有_____顶点，最少有_____条棱．
7．（2018·江苏省初一月考）如图①是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，类比梯形面积公式的推导方法(如图②)
，推导图①中的几何体的体积为_________.
8．（2019·全国初一专题练习）如图，图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到（2）、（3）、（4）、（5）所示的图形，问（2）、（3）、（4）、（5）图中切掉的部分可能是其他几块中的哪一块?
9．（2020·贵州省初一期末）如图，将正方体沿面AB′C剪下，则截下的几何体为（??
）
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
考点4：与几何体切割相关的问题
典例：（2019·河南省初一期中）一块长方体豆腐切三刀，最多能切成的块数（形状，大小不限）是（ ）
A．10
B．8
C．7
D．6
方法或规律点拨
本题考查了切长方体的问题，掌握切长方体的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河南省初一期末）如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是
A．
B．
C．
D．
2．（2020·银川外国语实验学校初一期末）如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ）
A．圆
B．长方形
C．椭圆
D．平行四边形
3．（2018·全国初一单元测试）爸爸给儿子阳阳买了一个生日蛋糕(圆柱形)，阳阳想把蛋糕切成至少七块分给七位小朋友，若沿竖直方向切分，则至少需切________刀．
4．（2018·修水县大椿乡中学初一期中）小明的妈妈烙了一张大饼，需要切开吃，小方没有碰触大饼，而是直接用刀切了三次，她最多能把这张饼切成___________块.
5．（2018·全国初一课时练习）一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成__
块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成____块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
6．（2019·河南省初一期中）如图所示是一个圆柱体，它的底面半径为3cm，高为6cm．
（1）请求出该圆柱体的表面积；
（2）用一个平面去截该圆柱体，你能截出截面最大的长方形吗？截得的长方形面积的最大值为多少？
7．（2019·四川省西航港一中初一月考）如图所示，长方形ABCD的长AB为10
cm，宽AD为6
cm，把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，然后用平面沿AB方向去截所得的几何体，求截面的最大面积．
8．（2019·全国初一课时练习）如图①是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图②，四边形APQC是截正方体的一个截面．问截面的四条线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的什么位置上？
4、从三个方向看几何体
考点1：已知几何体判定三视图
典例：（2019·吉林省初一期末）如图是由个同样大小的小正方体搭成的物体.
（1）请画阴影分别表示从正面、上面观察得到的平面图形的示意图；
（2）分别从正面、上面观察这个图形，得到的平面图形不变的情况下，你认为最多还可以添加
个小正方体.
从正面看
从上面看
方法或规律点拨
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
巩固练习
1．（2020·甘肃省中考真题）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·黑龙江省初二期末）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·海南省初三其他）如图所示的几何体，从上面看到的形状图是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·福建省南安市侨光中学初三）下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )
A．
B．
C．
D．
5．（2018·内蒙古自治区初一期末）如图,由8个小正方体堆积而成的几何体，其从左面看得到的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河北省初一期末）在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·广西壮族自治区中考真题）如图是由4个完全相同的正方形搭成的几何体，则（
）
A．三视图都相同
B．俯视图与左视图都相同
C．主视图与俯视图都相同
D．主视图与左视图相同
8．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图，用大小一样的正方体搭建一个几何体，该几何体的主视图是( )
A．
B．
C．
D．
9．（2020·河南省初一期末）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的平面图形．
10．（2019·山东省初一期中）如图是由若干个完全相同的小正方体组成的几何体．
（1）请画出这个几何体从不同方向看到的图形
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看形状不变，那么最多可以再添加多少个小正方体．
考点2：已知俯视图判断其它视图
典例：（2019·陕西省初一期中）一个几何体是由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置正方体的个数.
（1）请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状；
（2）若搭成该几何体的小正方体的棱长为1，现在需要给这个几何体外表面涂上颜色（不含底部），请求出需要涂色的面积.
方法或规律点拨
此题主要考查了作三视图，以及求几何体的表面积，关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
巩固练习
1．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的左视图是（
）
A．
B．C．
D．
2．（2019·黑龙江省初三学业考试）如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（
）
A．B．C．D．
3．（2018·河南省初一期末）由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看，它的形状图如下图所示，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则从左面看这个几何体的形状是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东省初三期末）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2019·广东省初一期中）如图，这是一个由小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出它从正面和左面看到的几何体形状图．
6．（2020·宁夏回族自治区初一期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左边看到的这个几何体的形状图．
考点3：已知视图判断正方体个数
典例：（2020·沭阳县怀文中学初一期末）用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题：
（1）a，b，c各表示的数字是几？
（2）这个几何体最多由几个小立方体搭成？最少呢？
（3）当，时，画出这个几何体从左面看得到的形状图.
方法或规律点拨
本题考查由三视图判断几何体及作三视图，解题关键在于熟练掌握几何体的三视图的相关知识.
巩固练习
1．（2020·河南省初三一模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(
)
A．3个或
4个或
5个
B．4个或
5个
C．5个或
6个
D．6个或
7个
2．（2019·山东省初三二模）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2019·深圳市龙岗区龙岗街道新梓学校初一月考）如下图是由一些相同的小正方体构成几何体的左视图和俯视图，那么构成这几何体的小正方体最多有（
）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
4．（2019·四川省初一期末）下列图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
5．（2019·江西省初三）如图，是由相同的小正方体构成的立体图形的三视图，小正方体的个数是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．（2018·山东省招远市金岭镇邵家初级中学初一期末）如图是由六个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体(
)
A．从正面看改变，从左面看改变
B．从上面看不变，从左面看不变
C．从上面看改变，从左面看改变
D．从正面看改变，从左面看不变
7．（2020·四川省初一期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的从正面看，从上边看到的图形，若组成的这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为____________．
8．（2019·天津益中学校初一月考）用小立方块搭一个几何体，如图所示，这样的几何体最少需要____个小立方块，最多需要__个小立方块．
考点4：已知视图计算几何体相关数据
典例：（2020·江西省初一期末）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）
（1）该几何体中有
小正方体？
（2）其中两面被涂到的有
个小正方体；没被涂到的有
个小正方体；
（3）求出涂上颜色部分的总面积．
方法或规律点拨
考查几何体三视图的画法及有关计算；有规律的找到正方体的个数和计算露出部分的总面积是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2019·济宁市第十五中学初三一模）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ）
A．主视图
B．俯视图
C．左视图
D．一样大
2．（2019·湖北省初三零模）分别从正面和上面观察长方体的形状，如图所示（单位：m），则从左面观察此长方体，看到的图形的面积是（
）
A．4m2
B．12m2
C．1m2
D．3m2
3．（2020·宁夏回族自治区初三期末）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是_______.
4．（2020·湖南省中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留）．
5．（2019·山东省初三期中）一位画家把7个边长为1m的相同正方体摆成如图的形状，然后把露出的表面（不包括底面）涂上颜色，则涂色面积为_________m2.
6．（2019·河北省初一期中）如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求此几何体表面展开图的面积．
7．（2019·陕西省初一期末）如图是一些由棱长均为的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数．
（1）请分别画出这个几何体的主视图和左视图；
（2）求这个几何体的体积．
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