2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之平面解析几何(Word版，含解析）

（9）平面解析几何——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年新高考Ⅱ卷，3】若抛物线的焦点到直线的距离为，则(
)
A.1
B.2
C.
D.4
2.【2021年新高考Ⅰ卷，5】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为(
)
A.13
B.12
C.9
D.6
3.【2021年全国甲卷(理)，5】已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
4.【2021年全国甲卷(文)，5】点到双曲线的一条渐近线的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
5.【2021年全国乙卷(理)，11】设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.【2021年新高考Ⅱ卷，11】（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是(
)
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
7.【2021年新高考Ⅰ卷，11】（多选）已知点P在圆上，点，，则(
)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当最小时，
D.当最大时，
8.【2021年全国乙卷(理)，13】已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_____________.
9.【2021年新高考Ⅱ卷，13】已知双曲线，离心率，则双曲线C的渐近线方程为___________.
10.【2021年新高考Ⅰ卷，14】已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且.若，则C的准线方程为_____.
11.【2021年全国甲卷(理)，15】已知，为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________.
12.【2021年全国甲卷(理)，20】抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交C于P，Q两点，且.已知点，且与l相切.
（1）求C，的方程.
（2）设，，是C上的三个点，直线，均与相切.判断直线与的位置关系，并说明理由.
13.【2021年新高考Ⅱ卷，20】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是.
14.【2021年新高考Ⅰ卷，21】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足，记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
15.【2021年全国乙卷(理)，21】已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.
（1）求p.
（2）若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标.抛物线的焦点为.由题意，得，解得.
2.答案：C
解析：本题考查椭圆的性质，二次函数的最值.设点M的坐标为，所以.因为，所以，当时，取得最大值9.
3.答案：A
解析：本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设，由，可知，，又，，故，解得，所以离心率是.
4.答案：A
解析：本题考查双曲线的性质与渐近线方程、点到直线的距离公式.由于双曲线的渐近线方程为，即，则点到该渐近线的距离为.
5.答案：C
解析：本题考查椭圆的方程与几何性质、离心率，二次函数的图象与性质，不等式的求解.由题可得，设，，则有，可得，故，根据题目条件知时，取得最大值，则有，整理得，即，解得，故椭圆离心率，即.
6.答案：ABD
解析：本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系.圆心到直线的距离，若点A在圆上，则，则，所以直线l与圆C相切，故A项正确；若点A在圆内，则，则，所以直线l与圆C相离，故B项正确；若点A在圆外，则，则，所以直线l与圆C相交，故C项错误；若点A在直线l上，则，即，则点A也在圆C上，，所以直线l与圆C相切，故D项正确.
7.答案：ACD
解析：本题考查圆的图象与切线的性质、点到直线的距离及最值问题.由题可知直线AB的方程为，即，所以圆心到直线AB的距离为，所以点P到直线AB的距离的最大值为，A项正确；点P到直线AB的距离的最小值为，B项错误；由于直线AB和圆C的位置确定，所以取得最值应为切线位置，如图，因为，半径，所以，C项，D项正确.
8.答案：4
解析：本题考查双曲线的方程与几何性质、渐近线方程及其性质.由双曲线可得其渐近线方程为，而其中一条渐近线为，则有，解得，故，所以C的焦距为.
9.答案：
解析：本题考查双曲线的几何性质.双曲线C的离心率，所以，所以双曲线C的渐近线方程为.
10.答案：
解析：本题考查抛物线的图象与性质.因为轴，所以点P的坐标为（假设点P在x轴上方，点P在x轴下方同理）.因为，所以，所以，即，所以，解得，所以C的准线方程为.
11.答案：8
解析：本题考查椭圆的定义、焦点，矩形的判定和面积.由题可知四边形是矩形，且，，可得.
12.答案：（1）由题意，直线与C交于P，Q两点，且，
设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，，
所以，.
设C的方程为，则，得，
所以C的方程为.
因为圆心到l的距离即的半径，且距离为1，
所以的方程为.
（2）设，，，
当，，中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线与相切.
当时，直线，
则，即，
同理可得，
所以，是方程的两个根，
则，.
直线的方程为，
设点M到直线的距离为，则，即，
所以直线与相切.
综上所述，直线与相切.
13.答案：（1）由题意得，，可得，
从而，
所以椭圆C的方程为.
（2）设，，若轴，由MN与相切可知，
直线MN的方程为，不过点F，不合题意，所以MN的斜率必存在且不为0.
设直线MN的方程为.
由直线MN与相切知，即.
将与椭圆方程联立，消去y，化简得，
.
由根与系数的关系得，，
所以
.
又，所以.（
）
若点M，N，F共线，则，即.
又，所以，代入（
）式可得
.
反之，若，则，
即，
整理得，又，所以.
又曲线为右半圆，则m与k异号，
所以，或，，
即MN的方程为或，经检验，都经过点F，
所以M，N，F三点共线的充要条件是.
14.答案：（1）因为，
所以轨迹C为双曲线右半支，设C的方程为，
所以解得
所以C的方程为.
（2）设，，，
设直线，
联立
整理得，
所以，，
，，
所以.
设直线，
同理可得，，
因为，
所以，化简得.
因为，所以，
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
15.答案：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得.
（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，直线PA的方程为，又点在抛物线上，所以，所以，同理可得，，
联立从而得到.
设，
联立消去y并整理可得，
所以，即，且，，
所以.
因为，点P到直线AB的距离，
所以①，
又点在圆上，代入得，代入①得，，
而，
所以当时，.