2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之函数的概念与基本初等函数(Word版，含解析）

（2）函数的概念与基本初等函数——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年北京卷，3】设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.【2021年全国甲卷(理)，4】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）(
)
A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6
3.【2021年全国甲卷(文)，4】下列函数中是增函数的为(
)
A.
B.
C.
D.
4.【2021年全国乙卷(理)，4】设函数，则下列函数中为奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.【2021年上海卷，13】下列函数中，既是奇函数又是减函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.【2021年北京卷，7】函数，试判断函数的奇偶性及最大值(
)
A.奇函数，最大值为2
B.偶函数，最大值为2
C.奇函数，最大值为
D.偶函数，最大值为
7.【2021年新高考Ⅱ卷，7】若，，，则(
)
A.
B.
C.
D.
8.【2021年浙江卷，7】已知函数，，则图象为如图的函数可能是(
)
A.
B.
C.
D.
9.【2021年全国乙卷(文)，8】下列函数中最小值为4的是(
)
A.
B.
C.
D.
10.【2021年新高考Ⅱ卷，8】设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则(
)
A.
B.
C.
D.
11.【2021年全国甲卷(文)，12】设是定义域为R的奇函数，且.若，则(
)
A.
B.
C.
D.
12.【2021年全国甲卷(理)，12】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则(
)
A.
B.
C.
D.
13.【2021年浙江卷，12】已知，函数若，则_______.
14.【2021年新高考Ⅰ卷，13】已知函数是偶函数，则____________.
15.【2021年北京卷，15】已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点.
以上正确结论的序号是__________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：若函数在上单调递增，根据函数的单调性可知：函数在的最大值为，所以“函数在上单调递增”为“函数在的最大值为”的充分条件.若函数在的最大值为，函数在上可能先递减在递增，且最大值为，所以“函数在上单调递增”不是“函数在的最大值为”的必要条件.故选A.
2.答案：C
解析：本题考查对数的运算.可知，故.
3.答案：D
解析：本题考查函数的单调性，一次函数是R上的减函数；指数函数是R上的减函数；二次函数在上单调递减，在上单调递增；幂函数是R上的增函数.
4.答案：B
解析：本题考查函数的性质.由，得，，所以，显然不是奇函数；是奇函数；显然不是奇函数；，显然不是奇函数.
5.答案：A
解析：A选项，函数是奇函数，也是减函数，故A选项正确；B选项，函数是奇函数，也是增函数，故B选项错误；C选项，函数的定义域为，所以它不是奇函数，是增函数，故C选项错误；D选项，函数是增函数，但是，所以函数不是奇函数，故D选项错误.故选A.
6.答案：D
解析：函数定义域为R，且，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选D.
7.答案：C
解析：本题考查对数的大小比较.因为，，所以.
8.答案：D
解析：本题考查函数的图象与奇偶性.由图象可知函数是奇函数，排除A项和B项；因为和在上均为增函数且为正，故在上为增函数，排除C项.
9.答案：C
解析：本题考查复合函数的最小值.A项，；B项，由，令函数，，则函数在内为减函数，所以；C项，由，令函数，，则函数在内单调递减，在内单调递增，故当，即时取得最小值，所以，当且仅当时等号成立；D项，由，得且，当时，，此时，故函数的最小值不可能为4.综上可知C项正确.
10.答案：B
解析：本题考查函数的奇偶性、周期性和函数图象的对称性.因为函数为偶函数，所以其图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称；又函数为奇函数，所以其图象关于点对称，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象且函数的图象关于点对称，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，且函数的图象关于点对称，所以函数图象既关于直线对称，又关于点对称，所以4为函数的一个周期.又，所以.
11.答案：C
解析：本题考查函数的基本性质、奇偶性与周期性以及函数值的求解.由于是定义域为R的奇函数，则有，结合，可得，故，即函数是周期为2的周期函数，所以.
12.答案：D
解析：本题考查函数的奇偶性与周期性.可知，，故，，则，，得，得，由，得，故，所以.
13.答案：2
解析：本题考查分段函数的性质与运算.由，可知，故，可得.
14.答案：1
解析：本题考查函数的奇偶性.因为为偶函数，所以，所以，由得.
15.答案：①②④
解析：零点问题.转化成两个函数的交点来分析.
令，可转化成两个函数，的交点问题.对于①，当时，，有两个交点，①正确；对于②，存在，使与相切，有一个交点，②正确；对于③，若，与最多有2个交点，③错误；对于④，当时，过点存在函数的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确.故答案为①②④.