2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何（文）(Word版，含解析）

（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(
)
A.2
B.
C.4
D.
2.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O，半径为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为.该卫星信号覆盖的地球表面面积（单位：），则S占地球表面积的百分比为(
)
A.26%
B.34%
C.42%
D.50%
3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(
)
A.
B.
C.
D.
4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积(单位：)是(
)
A.
B.3
C.
D.
5.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为(
)
A.
B.
C.
D.
6.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体，分别是，的中点，则(
)
A.直线与直线垂直，直线平面
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面
D.直线与直线异面，直线平面
7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨（mm），中雨（10mm—25mm），大雨（25mm—50mm），暴雨（50mm—100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级(
)
A.小雨
B.中雨
C.大雨
D.暴雨
8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为(
)
A.
B.
C.
D.
9.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________.
10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，点C为下底底面圆周上的一个动点，点C绕着下底底面旋转一周，则面积的取值范围为____________.
11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.
12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，M为BC的中点，且.
（1）证明：平面平面PBD；
（2）若，求四棱锥的体积.
13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱中，侧面底面，且，O为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若点E在上，且平面，求三棱锥的体积.
14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，Q为线段AB中点，，，.
证明：（1）平面ABD；
（2）求点D到平面QCF的距离.
15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，，
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题意可得，所以.
2.答案：C
解析：由题意可知，，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积，此面积与地球表面积之比约为.
3.答案：A
解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：
.
4.答案：A
解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为，故其体积是.
5.答案：D
解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台补成四棱锥，作底面ABCD于点O，交平面于点，则棱台的体积.由题意，，易知，，，而，所以，则
，，所以棱台的体积.
6.答案：A
解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知平面，故，排除B，C项；连接，可知，所以平面ABCD，A项正确；因为AB不垂直于平面，，所以直线MN不垂直于平面，D项错误.
7.答案：B
解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径，故，积水厚度，属于中雨，故选B.
8.答案：D
解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a，则，所以，.在中，由余弦定理得，所以.又因为，所以即为直线PB与所成的角，所以直线PB与所成的角为.
9.答案：
解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积，可得，故圆锥的母线，所以圆锥的侧面积.
10.答案：
解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O，下底面圆心记为，连接OC，过点C作，垂足为点M，则，根据题意，AB为定值2，所以的大小随着CM长短的变化而变化.当点M与点O重合时，，取得最大值，此时.当点M与点B重合时，CM取最小值2，此时.综上所述，的取值范围为.
11.答案：②⑤或③④
解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.
当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面平面ABC，，，，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，平面ABC，，，，此时俯视图为④.
12.答案：（1）因为底面ABCD，底面ABCD，
所以.
又因为，，PB，平面PBD，
所以平面PBD.
因为平面PAM，所以平面平面PBD.
（2）由底面ABCD，所以PD即为四棱锥的高，是直角三角形.
由题可知底面ABCD是矩形，，M为BC的中点，且.
设，取CD的中点为E，CP的中点为F，连接MF，AF，
EF，AE，可得，，
那么，为直角三角形，且，，，.
因为是直角三角形，
所以根据勾股定理得，则.
由是直角三角形，
可得，解得，
所以底面ABCD的面积，
则四棱锥的体积.
13.答案：（1），
在中，，O是的中点，，又平面平面，平面平面，
平面.
平面.
平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）如图，连接，设与交于点E，连接，
易得，
平面平面，平面，
满足条件的E为的中点.
，
故三棱锥的体积为.
14.答案：（1）平面BCD，CF，平面BCD，，.
，F为BD中点，.
又，，AB，平面ABD，
平面ABD.
（2）在三棱锥中，设D到平面QFC距离为d.
，，.
，.
，，Q，F分别为AB，BD的中点.
.
中，，，.
，.
.
.
15.答案：（1）如图，取BC的中点为M，连接EM.由已知易得，，，，，
由得，
又易得，，
所以平面BCF，
故.
（2）连接，，由（1）知，
所以ED在平面内.
在正方形中，由于F，M分别是，BC的中点，所以，，
且这两个角都是锐角，所以，
所以，
所以，
又，，所以平面，
又平面，所以.