2021年高考数学真题模拟试题专项汇编在之数列(Word版，含解析）

（6）数列——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年北京卷，6】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则(
)
A.64
B.100
C.128
D.132
2.【2021年全国甲卷(理)，7】等比数列的公比为q，前n项和为.设甲：，乙：是递增数列，则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.【2021年全国甲卷(文)，9】记为等比数列的前n项和.若，，则(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
4.【2021年北京卷，10】数列是递增的整数数列，且，，则n的最大值为(
)
A.9
B.10
C.11
D.12
5.【2021年浙江卷，10】已知数列满足，，记数列的前n项和为，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.【2021年上海卷，8】已知无穷等比数列和，满足，，的各项和为9，则数列的各项和为____________.
7.【2021年上海卷，12】已知，对任意的，或中有且仅有一个成立，且，，则的最小值为___________.
8.【2021年新高考Ⅰ卷，16】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么____.
9.【2021年新高考Ⅱ卷，17】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值.
10.【2021年新高考Ⅰ卷，17】已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
11.【2021年全国甲卷(文)，18】记为的前n项和，已知，，且数列是等差数列.证明：是等差数列.
12.【2021年全国甲卷(理)，18】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③.
注：若选择不同的组合分別解答，则按第一个解答计分.
13.【2021年全国乙卷(文)，19】设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和.证明：.
14.【2021年全国乙卷(理)，19】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
15.【2021年浙江卷，20】已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记的前n项和为.若对任意恒成立，求实数的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题，，则，故.
2.答案：B
解析：本题考查等比数列的定义和求和、充要条件.若，，则是递减数列.若是递增数列，则，一定可得.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
3.答案：A
解析：本题考查等比数列的求和公式与性质应用.设等比数列的公比为q，显然，根据题目条件可得化简可得，即，所以.
4.答案：C
解析：要想n最大，前面的项应该越小越好，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14前12项和为102超过了100，故n的最大值为11.如3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，25.故选C.
5.答案：A
解析：本题考查递推数列数列求和、不等式.
第1步（对数列通项进行放缩）：
由已知可知，，，，故数列是正项递减数列，.因为，所以.利用累加法，知，可得，即，即，所以.利用累乘法，知，即，所以.
第2步（求和比较）：
.显然，.综上所述，.
6.答案：
解析：已知，故的各项和为，解得，数列的公比为，因为，故有，即数列的公比为，又，所以数列的各项和.故本题正确答案为.
7.答案：31
解析：令，则依题意，和中，仅有一个为1（即只能隔项为1）若，则，，，，，，，，，此时的最小值为31.若，则，，，，，，，此时的最小值为32；故最小值为31.
8.答案：5；
解析：本题考查等比数列的前n项和、错位相减法求和及逻辑推理.（1）折4次可以得到，，，，共五种规格的图形.（2）由题意可知折k次共有种规格的图形，每个图形的面积为，则这些图形的面积之和，从而可知.令，则，所以，两式相减得，所以，所以.
9.答案：（1）设等差数列的公差为，
则解得
所以.
（2）结合（1）可知，，
则等价于，
解得或，又，所以，
故使成立的n的最小值为7.
10.答案：（1）因为2n为偶数，
所以，，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，，.
（2）当n为奇数时，，
所以的前20项和为
.
由（1）可知，，
所以的前20项和为.
11.答案：由题意可知，数列的首项为，设等差数列的公差为d，
则，
所以，即，
所以当时，，当时也满足，所以，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
12.答案：选择①③作为条件：已知是等差数列，.
设数列的公差为d，则，得，
所以.
因为数列的各项均为正数，所以，
所以（常数），所以数列是等差数列.
选择①②作为条件：已知是等差数列，是等差数列.
设数列的公差为d，
则.
因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n的一次函数，则，即，所以.
选择②③作为条件：已知数列是等差数列，，所以，.
设数列的公差为d，，则，
得，所以，所以，
所以，是关于n的一次函数，所以数列是等差数列.
13.答案：（1）因为，，成等差数列，所以.
因为是首项为1的等比数列，设其公比为q，
则，所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
，①
所以，②
①-②，得，
所以，
所以，
所以.
14.答案：（1）当时，，
由，解得.
当时，由题知，代入，
可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由题意，得.
由（1）可得.
由，可得.
当时，，显然不满足该式，
所以
15.答案：（1）由，得，则.
又因为，，所以，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
因此.
（2）由题意得.
则，
.
两式相减，得.
所以.
由题意得恒成立，
所以，
记，
所以解得.