2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之导数及其应用(Word版，含解析）

（3）导数及其应用——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年广西桂林模拟(文)，3】曲线在点处的切线的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
2.【2021年全国乙卷(理)，10】设，若为函数的极大值点，则(
)
A.
B.
C.
D.
3.【2021年广西桂林模拟(文)，12】已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则
①；②；③；④.
其中所有正确结论的编号是(
)
A.①③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④
4.【2021年全国乙卷(理)，12】设，，，则(
)
A.
B.
C.
D.
5.【2021年全国甲卷(理)，13】曲线在点处的切线方程为_____________.
6.【2021年新高考Ⅰ卷，15】函数的最小值为________.
7.【2021年新高考Ⅱ卷，16】已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是__________.
8.【2021年北京卷，19】已知函数.
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值.
9.【2021年全国甲卷(文)，20】设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
10.【2021年全国乙卷(理)，20】设函数，已知是函数的极值点.
（1）求a.
（2）设函数，证明：.
11.【2021年全国乙卷(文)，21】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.
12.【2021年全国甲卷(理)，21】已知且，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围.
13.【2021年新高考Ⅱ卷，22】已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点.
①，；
②，.
14.【2021年新高考Ⅰ卷，22】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：.
15.【2021年浙江卷，22】设a，b为实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足.(注：是自然对数的底数)
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，则切线方程为.
2.答案：D
解析：本题考查函数的性质、导数的计算与应用.（穿针引线法）当时，若a为极大值点，则如图1，必然有，，可知B项和C项错误；当时，若a为极大值点，则如图2，则有，，可知A项错误，综上所述，可知D项正确.
3.答案：A
解析：设，则
因为时，，
所以时，，
因此在上单调递增，所以，，，即，，.
4.答案：B
解析：本题考查代数式的大小比较、函数的图象与性质、导函数及其应用.由于，，，则有，可以排除选项A，D；设函数，则有，求导可得，当时，，则，故函数在上单调递增，所以，所以，可排除选项C.综上所述，.
5.答案：
解析：本题考查导数的几何意义、直线的方程.可知切点为，求导可得，故，则所求切线方程为，即.
6.答案：1
解析：本题考查分段函数的概念与单调性.因为所以当时，单调递减，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，所以当时，取得最小值1.
7.答案：
解析：本题考查利用导数的几何意义求切线方程及取值范围问题.画出的图象，如图所示，由题意知两条切线的斜率存在且不为零.当时，，，过点的切线斜率；当时，，，过点的切线斜率.因为两条切线互相垂直，所以，即，即，所以.过点的切线方程为，令，则；过点的切线方程为，令，则，则，，所以.因为，所以，所以的取值范围为.
8.答案：（1）当时，，，
所以，，
故在处切线方程为，整理得；
（2）因为，则，
若函数在处取得极值，令，即，解得，
经检验，当时，为函数的极大值，符合题意.
此时，，函数定义域为R，，
令，解得，，
，随x的变化趋势如下表：
x
-1
4
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
故函数的单调递增区间为和，单调递增区间为.
极大值为，极小值为.
又因为时，，时，，
故可判断函数的最大值为，最小值为.
9.答案：（1）由题意，的定义域为，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知函数的最小值为，
要使的图象与x轴没有公共点，只需的最小值恒大于0，即恒成立，
故，得，
所以a的取值范围为.
10.答案：（1）由题意，的定义域为，
令，则，，
则.
因为是函数的极值点，则有，即，
所以.
当时，.
因为，
所以在上单调递减，
又因为，
所以当时，；当时，，
所以当时，是函数的极大值点.
综上所述，.
（2）由（1）知，，
要证，只需证明，
因为当时，；
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
当时，；当时，，又，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，所以.
11.答案：（1）由题知，.
①当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在R上单调递增；
②当，即时，令，解得，.
令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）设曲线过坐标原点的切线为l，切点为，，
则切线方程为，
将原点代入切线方程，得，
所以，解得，
所以切线方程为，
令，即，
所以，解得或，
所以曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
12.答案：（1）当时，，
，
令，则，此时函数单调递增，
令，则，此时函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）曲线与直线有且仅有两个交点，
可转化为方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解.
设，则，
令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
故，且当时，，
又，所以，所以且，
即a的取值范围为.
13.答案：（1）由题意得，
当时，令，得；令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，得或，
①当时，令，得或，
令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减，
②当时，且等号不恒成立，所以在R上单调递增.
③当时，令，得或；
令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
（2）选择条件①，证明如下：
由（1）知当时，在，上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，
且，.
由于，，所以，，.
令，
则，
令，得，当时，.
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值.
由于，，，
所以在上恒成立，所以.
当时，，所以有一个零点，得证.
选择条件②，证明如下：
由（1）知，当时，在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，
在处取得极小值.
由于，，所以，，，，
则，所以.
当，，所以有一个零点，得证.
14.答案：（1）由题可得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在单调递增，在单调递减.
（2）由，得，
即.
令，，则，为的两根，其中.
不妨令，，则，
先证，即证，
即证.
令，
则.
因为，所以.
所以在内，恒成立，所以单调递增，
所以，所以，所以得证.
同理，不妨令，，则.要证，
即证.
令，，
则，令，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，，且，
故，，
，
所以恒成立，所以得证，
所以.
15.答案：（1）因为，所以.
①当时，恒成立，所以的单调递增区间是.
②当时，当时，；当时，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）因为，函数有两个零点，
由（1）知，有，（
）
即.
记.当时，，所以在上单调递减，
当时，，又，因此当且仅当时，.
（
）式即为，所以对任意必须有.
即，得.
所以，此时，.
故实数a的取值范围为.
（3）当时，，所以，
令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，.
所以函数在和上各存在一个零点，分别为，，
则，所以，
所以要证，只需证.
因为，所以可知，
所以，所以，
故只需证，即.
，
因为，所以，所以，
所以，所以.
所以成立.