2021-2022学年苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性 能力达标专题提升训练 (word解析版)

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》
能力达标专题提升训练（附答案）
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50°
B．80°
C．50°或80°
D．40°或65°
2．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
4．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
6．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个
B．6个
C．4个
D．3个
7．△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
9．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）
A．△ABD≌△EBC
B．△NBC≌△MBD
C．DM＝DC
D．∠ABD＝∠EBC
10．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12
B．16
C．20
D．16或20
11．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
12．如图，∠MAN＝63°，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，以线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（　　）
A．54°
B．63°
C．117°
D．126°
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为　
　．
15．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝　
　cm．
16．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝　
　度．
17．如图，点P是等边△ABC内一点，∠ACP＝∠PBC，∠BPC＝　
　°．
18．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　
　．
19．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　
　．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：△ABC是等腰三角形．
21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
22．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
23．已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：AB＝AC．
24．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
参考答案
1．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
2．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
3．解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
4．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，
∴DB＝DO，OE＝EC，
∵DE＝DO+OE，
∴DE＝BD+CE＝5．
故选：A．
5．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：D．
6．解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
7．因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC，
又因为D，E，F为各边中点，所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA；
又因为DE，DF，EF分别为中位线，所以DE＝BC，EF＝AC，DF＝AB，
即DE＝EF＝DF．所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA＝DE＝EF＝FD．
所以此图中所有的三角形均为等边三角形．
因此应选择5个，
故选：D．
8．解：第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA＝PB；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP＝BA，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP＝AB，与BC在右边交于点P；
∴符合条件的点P有6个点．
故选：C．
9．解：A、可以利用SAS验证，正确；
B、可以利用AAS验证，正确；
C、可证∠MBN＝60°，若DM＝DC＝DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM＝60°
∵∠EAB＝∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM＝∠EAD＝60°．与已知不符，错误；
D、可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．
所以错误的是第三个．故选C．
10．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
11．解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
12．解：由作图可知BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA＝63°，则∠BCN＝180°﹣∠BCA＝117°，
故选：C．
13．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵ED∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴BE＝DE，
△AED的周长＝AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD，
∵AB＝3，AD＝1，
∴△AED的周长＝3+1＝4．
故选：C．
14．解：当高在三角形内部时，顶角是60°；
当高在三角形外部时，顶角是120°．
故答案为：60°或120°．
15．解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3cm．
∴BC＝6cm．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
16．解：∵△ABC中，AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠A＝∠C
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°
故填60．
17．解：∵△ABC的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACP+∠PCB＝60°，
∵∠ACP＝∠PBC，
∴∠PCB+∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为120．
18．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即
a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
19．解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
20．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
21．证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
22．证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
23．证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
24．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．