2021-2022学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的对称性 优生辅导专题训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的对称性》
优生辅导专题训练（附答案）
1．如图，△ABC中，AB与AC的垂直平分线EF和MN分别交BC于E，N，垂足分别为F，M若∠EAN＝40°，则∠BAC的度数是
　
　．
2．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为
　
　．
3．如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD＝CD；②AB＝AC；
③D到AB、BC所在直线的距离相等；
@点D在∠B的平分线上；
其中正确的说法的序号是　
　．
4．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1　
　S2+S3．（填“＞”“＜”或“＝”）
5．如图AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　
　°．
6．如图，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，AG＝16，AE＝8，若S△ADG＝64，则△DEF的面积为　
　．
7．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝　
　°．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为　
　．
9．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　
　．
10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　
　．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝12，CD＝18，E为BC边中点，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，则AD的长为　
　．
12．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
13．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
14．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
15．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．
（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；
（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．
16．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
17．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
18．在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝　
　；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．
19．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，求∠BAE的度数；
（2）若∠EAN＝40°，求∠F的度数；
20．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
参考答案
1．解：EF、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
故答案为：110°．
2．解：过D点作DH⊥BC于H，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD
＝×6×2+×4×2
＝10．
故答案为10．
3．解：AD与CD不能确定相等，AB与AC也不能确定相等，所以①②错误；
作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴DE＝DH，
同理可得DH＝DF，
∴DE＝DF，
即D到AB、BC所在直线的距离相等，所以③正确；
∴点D在∠B的平分线上；所以④正确．
故答案为③④．
4．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PF，PD＝PE，
∴PD＝PE＝PF，
设PD＝PE＝PF＝t，
∵S1＝PD?AB＝?AB，S2+S3＝PE?BC+PF?AC＝?（BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故答案为＜．
5．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
6．解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵S△ADG＝64，
∴×AG×DH＝64，
∴DH＝＝8，
∵AD是△ABC的平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∵DF＝DH＝8，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴EF＝HG，
同理可得Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴AF＝AH，
∵EF＝AF﹣AE＝AH﹣AE＝AG﹣HG﹣AE＝16﹣EF﹣8，
∴EF＝4，
∴S△DEF＝×EF×DF＝×4×8＝16．
故答案为16．
7．解：设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABP＝x，
∵直线l垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠CBP＝x，
∴60°+15°+x+x+x＝180°，
解得，x＝35°，即∠ABP＝35°，
故答案为：35．
8．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
连接AM，AN，
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，
∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴CM＝2AM＝2BM，
∴3BM＝BC＝12cm，
∵BM＝4cm，
同理可得，CN＝4，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．
故答案为：4cm．
9．解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．
10．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB?DE+BC?CD，
＝×6×4+×9×4，
＝30．
故答案为：30．
11．解：如图，在线段AD上截取AF＝AB，DC＝DG，连接EF，EG．
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC，
∵AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，EA＝EA，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
同法可证，△DEG≌△DEC（SAS），
∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED，
∵BE＝CE，
∴EF＝EG，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AEF+∠GED＝60°，
∴∠FEG＝60°，
∴△FEG是等边三角形．
∴FG＝GE＝EF＝BC，
∵AD＝AF+FG+GD，
∴AD＝AB+CD+BC＝2+18+6＝26，
故答案为26．
12．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．
13．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
14．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴PH＝PQ＝8，
即点P到直线BC的距离为8cm；
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD＝PQ，
而PH＝PQ，
∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上．
15．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．
16．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
17．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
18．解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝∠BAC＝×30°＝15°，∠FCA＝∠ACB＝×90°＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；
故答案为：120°．
②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠AFC＝90°+×60°＝120°；
（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH+∠DFH＝120°，
∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF＝DF．
19．解：（1）∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵∠B＝20°，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
∴△AEN周长的范围为：＜AE+EN+AN＜17．
20．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．