2021-2022学年苏科版九年级数学上册1.3一元二次方程的根与系数的关系 同步优生辅导训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》
同步优生辅导训练（附答案）
1．已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）
A．﹣6
B．﹣3
C．3
D．6
2．α、β是方程2x2﹣2x﹣3＝0的两根，则（α+1）（β+1）的值为（　　）
A．﹣
B．
C．
D．
3．一元二次方程（x﹣1）（x+3）＝5x﹣5的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个正根，一个负根
4．已知矩形的长和宽是方程x2﹣7x+8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（　　）
A．6
B．7
C．
D．
5．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（　　）
A．当k＝时，方程的两根互为相反数
B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤
D．若方程有实数根，则k≤
6．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）的值是（　　）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
7．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（　　）
A．﹣，6
B．﹣3，10
C．﹣2，11
D．﹣5，21
8．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（　　）
A．x2＝1，k＝2
B．x2＝2，k＝2
C．x2＝1，k＝﹣1
D．x2＝2，k＝﹣1
9．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2
B．k＞2
C．﹣2＜k≤0
D．0≤k＜2
10．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．则x12+2x2﹣2x1x2的值为　
　．
11．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　
　．
12．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　
　．
13．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则+的值是　
　．
14．已知α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，则α3+8β+6的值为　
　．
15．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：　
　．
16．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　
　．
17．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为　
　．
18．已知方程x2+5x﹣6＝0的解是x1＝1，x2＝﹣6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0的解是　
　．
19．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝10，求m的值．
21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）当方程有一个根为﹣1时，求k的值及另一个根；
（2）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围；
（3）若方程有两个实数根x1，x2且满足x12+x22＝5，求k的值．
22．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　
　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
参考答案
1．解：由题意可知：x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴原式＝x1x2（x1+x2）
＝1×3
＝3，
故选：C．
2．解：∵α+β＝1，α?β＝﹣，
∴（α+1）（β+1）
＝α+β+α?β+1
＝1﹣+1
＝．
故选：B．
3．解：方程化为x2﹣3x+2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3＞0，x1x2＝2＞0，
∴方程有两个正的实数根．
故选：B．
4．解：设矩形的长和宽分别为m、n，
根据题意知m+n＝7，mn＝8，
则矩形对角线的长为
＝
＝
＝，
故选：D．
5．解：若k＝0，则此方程为﹣x+1＝0，所以方程有实数根为x＝1，则B错误；
若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0，
∴k≤且k≠0；
综上所述k的取值范围是k≤．
故A错误，C错误，D正确．
故选：D．
6．解：∵m，n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，
∴m2﹣2019m+2020＝0，n2﹣2019n+2020＝0，mn＝2020，
∴（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）
＝（﹣m）（﹣n）
＝mn
＝2020．
故选：D．
7．解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，
∴＝﹣，，
∴，，
解方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c得，
（x﹣1）2+（x﹣1）+＝0，
∴（x﹣1）2﹣7（x﹣1）﹣30＝0，
（x﹣1+3）（x﹣1﹣10）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝11，
故选：C．
8．解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，
∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+x2＝﹣，
解得：x2＝1，k＝2，
则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．
故选：A．
9．解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，
∴k＞﹣2，
∵Δ＝4﹣4（k+1）≥0，
∴k≤0，
∴﹣2＜k≤0，
故选：C．
10．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为x1，x2．
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12+2x2﹣2x1x2＝2x1+1+2x2﹣2x1x2＝2×2+1﹣2×（﹣1）＝7，
故答案为：7．
11．解：根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
12．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
13．解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴+＝＝＝7．
故答案为7．
14．解：∵α方程x2﹣2x﹣4＝0的实根，
∴α2﹣2α﹣4＝0，即α2＝2α+4，
∴α3＝2α2+4α＝2（2α+4）+4α＝8α+8，
∴原式＝8α+8+8β+6
＝8（α+β）+14，
∵α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实根，
∴α+β＝2，
∴原式＝8×2+14＝30．
故答案为30．
15．解：∵（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0，
∴x﹣1＝0或x2﹣2x+m＝0，
∴原方程的一个根为1，
设x2﹣2x+m＝0的两根为a、b，
则Δ＝4﹣4m≥0，a+b＝2，ab＝m，
又∴|a﹣b|＝＝＜1，
∴4﹣4m＜1，
解得m＞，
∴＜m≤1．
故答案为：＜m≤1．
16．解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1?x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
17．解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2?﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
18．解：把方程（2x+3）2+5（2x+3）﹣6＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣6，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣．
故答案为x1＝﹣1，x2＝﹣．
19．解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
20．解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，x1+x2+x1x2＝10，
∴2m﹣2+m2﹣2m＝10，
∴m2＝12，
∴m＝﹣2或m＝2．
21．解：（1）把x＝﹣1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0得：（﹣1）2﹣（2k+1）+k2+1＝0，
整理得：k2﹣2k+1＝0，
解得：k＝1，
即原方程为：x2+3x+2＝0，
∴x1?x2＝2，
∵x1＝﹣1，
∴x2＝﹣2，
即k的值为1，另一个根为﹣2；
（2）根据题意得：Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，
解得：，
即k的取值范围为．
（3）根据题意得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1?x2＝k2+1，
∵x21+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（﹣2k﹣1）2﹣2（k2+1）＝5，
整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1，
∵方程有两个实数根时，k≥，
∴k＝1．
22．解：（1）∵，
∴，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0
（a，b，c均不为0）的两根，
∴，，
∴，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴，
∴，
∴＝，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”