2021-2022学年苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程 同步优生能力达标测评（word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》
同步优生能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．±2
D．±
2．一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值以及另一个根为（　　）
A．1，﹣1
B．1，1
C．﹣1，﹣1
D．﹣1，1
3．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是（　　）
A．23
B．17
C．15
D．9
4．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤
B．m＞
C．m≤且m≠1
D．m＜且m≠1
5．受新冠疫情影响，我国2020年国内生产总值（GDP）比2019年增长了2.3%，是全球唯一保持经济正增长的国家，预计今年2021年比2020年增长6%，若这两年年平均增长率为x，则x满足的关系是（　　）
A．2.3%+6%＝x
B．（1+2.3%）（1+6%）＝2（1+x）
C．2.3%+6%＝2x
D．（1+2.3%）（1+6%）＝（1+x）2
6．将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A．
B．3（x+1）2+1
C．3（x+1）2﹣1
D．
7．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（　　）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．4
8．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8
B．32
C．8或32
D．16或40
9．已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（　　）
A．2020
B．2021
C．
D．
10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7
B．﹣3
C．2
D．5
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．长方形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为　
　．
12．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　
　元时，商场每天盈利达1500元．
13．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是　
　．
14．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　
　．
15．为了践行“绿水青山就是金山银山”，蜀山区计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是　
　．
16．已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4．依此方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是　
　．
17．若a是方程2x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021﹣a2﹣a的值是　
　．
18．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为　
　．
19．一个直角三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，则这个直角三角形的第三边长为　
　．
20．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．用适当的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（2）2x2+x＝3．
22．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
24．2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
25．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
26．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．
因此，代数式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．
因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式x2﹣4x+1的最小值为
　
　；
（2）求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；
（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
故选：A．
2．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，
解得t＝﹣1，p＝﹣1．
故选：C．
3．解：方程整理得：x2﹣8x＝﹣3，
配方得：x2﹣8x+16＝13，即（x﹣4）2＝13，
∴m＝﹣4，n＝13，
则m+n＝9．
故选：D．
4．解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝12﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤且m≠1．
故选：C．
5．解：设2019年国内生产总值为1，则2021年国内生产总值为1×（1+2.3%）（1+6%），
依题意得：1×（1+x）2＝1×（1+2.3%）（1+6%），
即（1+2.3%）（1+6%）＝（1+x）2．
故选：D．
6．解：3x2+6x+2
＝3（x2+2x+1﹣1）+2
＝3（x+1）2﹣3+2
＝3（x+1）2﹣1，
故选：C．
7．解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
∵b﹣1≥0，
∴b≥1，
∴b＝2．
故选：A．
8．解：由题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
9．解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根，
∴a2+a﹣2021＝0，
∴a2+a＝2021，
∴
＝﹣
＝
＝，
故选：D．
10．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：设长方形的一边长为x，则相邻的一边长为（﹣x）＝（7﹣x），
依题意得：x（7﹣x）＝12，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
∴x2﹣7x＝﹣12，
∴对角线AC的长＝＝＝＝5．
故答案为：5．
12．解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x1＝150，x2＝170．
故答案为：150或170．
13．解：解方程x2﹣11x+30＝0得：x＝5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5＝10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10＝22，
故答案为：22．
14．解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，
∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，
∴|x1﹣x2|＝7，
故答案为：7．
15．解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，
依题意，得：（1+x）2＝1+44%，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率是20%，
故答案为：20%．
16．解：y2﹣6y+10＝y2﹣6y+32+1＝（y﹣3）2+1≥1，
则代数式y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
17．解：∵a是方程2x2+x﹣2＝0的根，
∴2a2+a＝2，
∴2021﹣a2﹣a＝2021﹣（2a2+a）＝2021﹣×2＝2020．
故答案为：2020．
18．解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
19．解：∵直角三角形的两边长恰好是方程x2﹣8x+15＝0的两个根，
∴直角三角形的两边是3，5，
当是原方程的两边的是两条直角边时，根据勾股定理得其斜边为＝；
当是原方程的两边的是一条直角边和斜边时，斜边一定是5，根据勾股定理得其另一条直角边为＝4．
故答案为或4．
20．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）∵3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝；
（2）∵2x2+x＝3，
∴2x2+x﹣3＝0，
则（x﹣1）（2x+3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1.5．
22．（1）证明：∵Δ＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，
（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，
当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；
当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；
当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，
综合上述，k的值为2或1或3．
23．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
24．解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）?＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：11月份和12月份的平均增长率为50%．
（2）依题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，
解得：a≥53．
又∵a为整数，
∴a可取的最小值为54，
∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．
答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．
25．解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
26．解：（1）x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）﹣3＝（x﹣2）2﹣3，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣3≥﹣3，原式有最小值是﹣3；
故答案为：﹣3；
（2）﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10＝﹣（a2+6a+9）﹣（b2﹣4b+4）+3＝﹣（a+3）2﹣（b﹣2）2+3，
∵（a+3）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴﹣（a+3）2≤0，﹣（b﹣2）2≤0，
∴﹣（a+3）2﹣（b﹣2）2+3的最大值为3；
（3）花圃的面积：x（100﹣2x）＝（﹣2x2+100x）平方米；
﹣2x2+100x＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵当x＝25时，100﹣2x＝50＜100，
∴当x＝25时，花圃的最大面积为1250平方米．