2020-2021学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期中数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年湖南省张家界市永定区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，M为斜边AB的中点，且BC＝2，AB＝5，则线段CM的长是（　　）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．四边相等
4．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　）
A．3，5，7
B．6，8，10
C．5，12，13
D．1，2，
5．下列说法正确的是（　　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部；
③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；
④三角形的三条高都在三角形内部．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AC＝3cm，若△ABC的周长为11cm，则平行四边形的周长为（　　）
A．6cm
B．12cm
C．16cm
D．11cm
7．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（　　）
A．14
B．19
C．18
D．16
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，则∠B＝　
　度．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝4，则DE的长为　
　．
11．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠A＝　
　．
12．一个n边形的内角和比它的外角和大360°，则n等于　
　．
13．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是　
　．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第2021个正方形的边长为　
　．
三、解答题（本大题共8个小题，共计58分）
15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF．求证：AE＝DF．
16．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，AD＝16，CB＝15．
（1）求DC，AB的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
18．如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？
19．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，若AB＝10cm，求四边形ADEF的周长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足什么位置关系时，四边形AECF是菱形？请证明．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE的面积．
22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≌△BDF；
（2）M，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，MN，求AN+MN的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．请将正确答案的字母代号填在下表中）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．在Rt△ABC中，M为斜边AB的中点，且BC＝2，AB＝5，则线段CM的长是（　　）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解答．
解：在Rt△ABC中，M为斜边AB的中点，则CM是Rt△ABC斜边上的中线．
∵AB＝5，
∴CM＝AB＝2.5．
故选：C．
3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．四边相等
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：B．
4．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　）
A．3，5，7
B．6，8，10
C．5，12，13
D．1，2，
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题．
解：32+52≠72，故选项A符合题意；
62+82＝102，故选项B不符合题意；
52+122＝132，故选项C不符合题意；
12+（）2＝22，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．下列说法正确的是（　　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部；
③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；
④三角形的三条高都在三角形内部．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断④；根据三角形的中线的定义及性质判断③即可．
解：①三角形的角平分线是线段，故①说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，故②说法正确；
③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故③说法正确；
④锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故④说法错误．
故正确的有②③．
故选：B．
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AC＝3cm，若△ABC的周长为11cm，则平行四边形的周长为（　　）
A．6cm
B．12cm
C．16cm
D．11cm
【分析】由平行四边形的对边相等直接可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AC＝3cm，△ABC的周长为11cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∴平行四边形的周长＝2×8＝16（cm），
故选：C．
7．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（　　）
A．14
B．19
C．18
D．16
【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AO＝OC，
∴BO＝AC＝5，
∵AO＝OC，AM＝MD＝4，
∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
故选：C．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．2
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝BE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OA，
∵AB＝BC＝4，
∴OA＝AC＝＝2，
∴PE+PF＝2，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，则∠B＝　52　度．
【分析】根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，
则∠B＝90°﹣38°＝52°，
故答案为：52．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝4，则DE的长为　4　．
【分析】根据角平分线的性质解答即可．
解：∵AD平分∠BAC，∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝4，
故答案为：4．
11．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠A＝　80°　．
【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝200°，
∴∠B＝∠D＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°，
故答案为：80°．
12．一个n边形的内角和比它的外角和大360°，则n等于　6　．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）?180°，外角和等于360°列出方程求解即可．
解：根据题意得：
（n﹣2）?180°﹣360°＝360°，
解得n＝6．
故答案为：6．
13．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是　8　．
【分析】由菱形的性质得AB＝AD＝8，再证△ABD是等边三角形，得BD＝AB＝8即可．
解：∵菱形ABCD的边长为8，
∴AB＝AD＝8，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝8，
故答案为：8．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第2021个正方形的边长为　（）2020　．
【分析】求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴AC2＝12+12，AC＝；
同理可求：AE＝（）2，HE＝（）3…，
∴第n个正方形的边长an＝（）n﹣1，
∴第2021个正方形的边长为（）2020，
故答案为：（）2020．
三、解答题（本大题共8个小题，共计58分）
15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF．求证：AE＝DF．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“HL”证明Rt△BAE≌Rt△ADF，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
又∵BE＝AF，
在Rt△BAE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝DF．
16．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】由垂直的定义得到∠AED＝∠BFC＝90°，得到BF＝DE根据全等三角形的性质得到AD＝BC，根据平行线的判定定理得到AD∥BC，于是得到结论．
【解答】证明：∵AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即：BF＝DE
又∵∠1＝∠2，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AD＝BC，
又∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
17．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，AD＝16，CB＝15．
（1）求DC，AB的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
【分析】（1）根据勾股定理，可以求得CD的长，再根据BC的长，利用勾股定理可以得到BD的长，然后即可求得AB的长；
（2）根据题目中的数据和（1）中得到的AB的长，利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状．
解：（1）∵CD⊥AB，AC＝20，AD＝16，
∴CD＝＝＝12，
∵CB＝15，CD⊥AB，
∴BD＝＝＝9，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
由上可得，DC的长是12，AB的长是25；
（2）证明：∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2+BC2＝202+152＝400+225＝625＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18．如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？
【分析】在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理计算出B′O的长，进而可得BB′的长．
解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，
则根据勾股定理求得AO＝＝＝2.4（米），
∵A点下移0.4米，
∴A′O＝2米，
在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，
则根据勾股定理B′O＝＝1.5（米），
∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
所以梯子向外平移0.8米．
19．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，若AB＝10cm，求四边形ADEF的周长．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DE∥AF，EF∥AD，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判定得出四边形ADEF是菱形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE，EF分别是△ABC
的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴DE∥AF，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵D是AB的中点，F是AC的中点，AB＝10cm，AB＝AC，
∴AD＝AF＝AB＝5（cm），
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴四边形ADEF的周长为4AD＝4×5＝20（cm）．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB与AC满足什么位置关系时，四边形AECF是菱形？请证明．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由已知条件得AF＝EC，AF∥EC，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得AE＝BC＝CE，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点．
∴AF＝DF＝AD，BE＝CE＝BC，
∴AF＝CE且AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：当AB⊥AC时，四边形
AECF是菱形，证明如下：
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE的面积．
【分析】（1）由矩形的性质可得AC＝BD，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得DE＝AC＝BD；
（2）由矩形的性质可得OA＝OB＝2，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝2，由勾股定理可求AD，由面积和差关系可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AC＝BD，AB∥CD，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，CD＝AE，
∴DE＝BD；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝2，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝2＝CD＝AE，
∴AD＝＝＝2，
∴四边形BCDE的面积＝×2×2+2×2＝6．
22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≌△BDF；
（2）M，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，MN，求AN+MN的最小值．
【分析】（1）根据正方形的性质得出BD＝AB，∠DBA＝90°，进而得出∠DBF＝∠CAB，因为∠C＝∠DFB＝90°．根据AAS即可证得结论；
（2）根据正方形的性质AN＝DN，如使得AN+MN最小，只需D、N、M在一条直线上，根据垂线段最短，作DM1⊥AC，交BE于点N1，垂足为M1，则AN+MN的最小值等于DM1＝FC＝21．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
在△BDF与△ABC中，
，
∴△BDF≌△ABC（AAS）；
（2）解：∵AB＝15，AC＝12，
∴BC＝＝9，
∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝9，BF＝AC＝12，
∴FC＝BF+BC＝9+12＝21．
如图，连接DN，
∵顶点A与顶点D关于BE对称，
∴AN＝DN．
如使得AN+MN最小，只需D、N、M在一条直线上，
由于点M、N分别是AC和BE上的动点，
作DM1⊥AC，交BE于点N1，垂足为M1，
∵DF∥AC，
∴AN+MN的最小值等于DM1＝FC＝21．