3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)
1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
3．向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？
(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？
[提示] (1)以a，b，c为相邻棱的平行六面体的体对角线．
(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．
4．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．
5．共线向量和共面向量
(1)共线向量
①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．
③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使＝＋t．
(2)共面向量
①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x
a＋y
b．
③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),
使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y．
思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)
即＝＋，因此点P与点A，B，C共面．
1．如图所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D [共四条：AB，A1B1，CD，C1D1．]
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b－c
B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
C [＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c．]
3．在三棱锥A?BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0．]
4．在三棱锥A?BCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则－(＋)的化简结果为________．
[(＋)＝，
－(＋)＝－＝．]
空间向量的有关概念
【例1】 (1)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p．
其中正确命题的序号是________．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
(1)②③④ (2)，， ，，， [(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；
对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确；
对于④，根据相等向量的定义知正确．]
(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，．与向量相反的向量有，，，．]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
?1?关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
?2?注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.
1．如图所示，以长方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] (1)与向量相等的向量有，，，，共3个；
(2)向量的相反向量为，，，，共4个；
(3)||2＝22＋22＋12＝9，所以||＝3．
空间向量的线性运算
【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；
②；
③＋．
思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解．
(2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解．
(1)D [对于①，(＋)＋＝＋＝，
对于②，(＋)＋＝＋＝，
对于③，(＋)＋＝＋＝，
对于④，(＋)＋＝＋＝．]
(2)解：①∵点P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b，
②∵点N是BC的中点，∴＝＋＋
＝－＋＋＝－a＋b＋c，
③∵点M是AA1的中点，∴＋＝＋＋＋＋
＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c．
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
2．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中点O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋．
[解] (1)如图所示，＝＋，由向量加法的平行四边形法则可得＝(＋)，
∴＝－－，
∴＝＋
＝－－，
∴x＝－，y＝－．
(2)∵＝＋＝＋2
＝＋2(－)＝＋2－2，
∴x＝2，y＝－2．
共线问题
【例3】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．
(2)如图正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线．
思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解．
(2)用向量，，分别表示和．
(1)1 [＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2．
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以，解得k＝1．]
(2)解：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋＝(＋)＋
(＋)
＝＋＋(＋＋)
＝＋－－＋
＝＋＋＝a＋b＋c，
＝＋＝＋＝(＋)＋，
＝a＋b＋c，
∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线．
1．判断向量共线的策略
(1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b．
(2)判断向量共线的关键：找到实数λ．
2．证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
3．(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
A [因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b
所以＝3．
又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．]
(2)如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．
求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线．
向量共面问题
[探究问题]
1．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？
[提示] (1)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y．
(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
(3)∥．
2．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
[提示] 设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋
y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c．
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
【例4】 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求证：向量，，共面．
思路探究：可通过证明＝x＋y求证．
[证明] 因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋．同理＝＋．
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋．
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
1．利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．
2．证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
4．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解] (1)因为＝＋＋，
所以6＝3＋2＋，
所以3－3＝(2－2)＋(－)，
因此3＝2＋＝－2－．
故向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
2．四点P，A，B，C共面?对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1．
3．＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4．证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A，B，C共线．
5．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
1．下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同
D．若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>c
B [对于A，由|a|＝|b|可得a与b的长度相同，但方向不确定；对于B，a与b是相反向量，则它们的模相等，故B正确；对于C，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C错；对于D，向量不能比较大小，故D错．]
2．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
A [①－－＝－＝；
②＋－＝＋＝；
③－－＝－＝－＝≠；
④－＋＝＋＋＝＋≠，故选A．]
3．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________．
a＋b－c [原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c．]
4．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c．试用a，b，c表示，．
[解] ＝＋＋
＝－a＋c＋
＝－a＋c＋(a＋b)
＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋
＝－b－a＋b＋c
＝－a－b＋c．
PAGE
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13
-3.1.3 空间向量的数量积运算
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．
1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)空间两向量的数量积的性质：
垂直
若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0
共线
同向：则a·b＝|a|·|b|
反向：则a·b＝－|a|·|b|
向量数量积的性质
模
a·
a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2|a|＝|a·b|≤|a|·|b|
夹角
θ为a，b的夹角，则cos
θ＝
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为( )
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．
A．0
B．3
C．2
D．1
D [命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
D [△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°．]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
π [cos〈a，b〉＝＝＝－．
所以〈a，b〉＝π．]
4．在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．
[＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝42＋52＋32＋2×4×5×cos
60°＋2×4×3×cos
60°＋2×5×3×cos
60°
＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，
∴|AC′|＝．]
空间向量的数量积运算
【例1】 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①·；
②·；
③·；
④·．
(1)A [由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1．]
(2)解：①·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos
60°＝．
②·＝·＝||2＝．
③EF·＝·＝－·
＝－×cos
60°＝－．
④·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos
60°－cos
60°＝0．
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
?1?首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
?2?利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
?3?根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
?4?代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________．
a2 [·＝·
＝(·＋·)＝(a2cos
60°＋a2cos
60°)＝a2．]
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．
[＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋．
∴·(＋＋)＝·(＋＋)
＝2＋2＋2
＝×22＋×32＋×12＝．]
利用数量积证明空间的垂直关系
【例2】 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为________．
(2)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．
(1)6 [由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6．]
(2)解：连接OG(图略)，设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．
因为＝＋
＝＋(＋)＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c．
所以·＝·(b－a)＝0，
·＝·＝0，
所以⊥，⊥，即A1O⊥BD，A1O⊥OG，
又BD∩OG＝O，所以A1O⊥平面GBD．
用向量法证明垂直关系的步骤
?1?把几何问题转化为向量问题.
?2?用已知向量表示所证向量.
?3?结合数量积公式和运算律证明数量积为0.
?4?将向量问题回归到几何问题.
2．已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN．
[证明] 如图，设＝a，＝b，＝c，
又P，M分别为OA，BC的中点，
∴＝－
＝(b＋c)－a
＝[(b－a)＋c]．
同理，＝(a＋c)－b
＝－[(b－a)－c]．
∴·＝－(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴·＝0，
∴⊥，即PM⊥QN．
利用数量积求夹角
【例3】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
[解] ∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·
cos〈，〉＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°
＝24－16．
∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为．
利用向量数量积求夹角问题的思路
?1?求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉.
?2?我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量?即直线的方向向量?；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小.
3．如图，已知直三棱柱ABC?A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0．
∴＝b＋c，＝－c＋b－a．
∴·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D．
(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝．
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．
利用数量积求距离
[探究问题]
1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈，〉的值是多少？
[提示] 〈，〉＝60°或120°．
2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．
[提示] ∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·CD＋2·＝12＋2(2·2·cos
90°＋2·2·cos
120°＋2·2·cos
90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2．
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
思路探究：→
[解] ∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0．∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°．又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为．
1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．
2．用数量积求两点间距离的步骤：
(1)用向量表示此距离；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；
(4)|a|即为所求距离．
4．如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
[解] ＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝－＋＋，
所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2．
∴||＝，即E，F间的距离为．
1．空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝1．]
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A．
B．
C．－
D．0
D [·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－|||O|＝0，
∴⊥，∴cos〈，〉＝0．]
3．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________．
[∵(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝6－1＋2－2＝5，
∴|a－b＋2c|＝．]
4．正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC?A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．
[解] 如图所示，设＝a，＝b，＝c．由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°．
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以EF2＝||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos
60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝．
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-
1
-3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
.学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解空间向量基本定理及其意义．2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点)3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)
1．通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养．2．借助基底的判断及应用、空间向量的坐标运算，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋y
b＋zc．
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．
(2)唯一确定．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正交基底
有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3
空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz
空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)
1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10)
D．(4,3,2)
A [依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．]
2．已知向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间另一个基底的是( )
A．a
B．b
C．c
D．a·c
C [p，q与a，b共面，a·c是一个数量．只有c不与p，q共面．]
3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
a＝(4，－8,3) b＝(－2，－3,7) [由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列关于的表达式中：
①＋＋；
②＋＋；
③＋＋；
④(＋)＋．
正确的个数有________个．
3 [＋＋＝＋＝＋≠，
②不正确；
(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝，④正确；①③明显正确．]
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
(1)C [如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C．
]
(2)解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y
使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．
所以{，，}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路及方法
?1?基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.
?2?方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
②假设a＝λb＋μ
c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
用基底表示向量
【例2】 如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，．
思路探究：
[解] 连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c．
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c．
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋
(－c＋b)＝－a＋b＋c．
＝＝＝a．
1．本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a，b，c}，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．
2．基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
2．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为( )
A．－，，
B．，－，
C．－，，－
D．－，－，
D [如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝
－(－)＝－
＝－
＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D．]
空间向量的坐标表示
[探究问题]
1．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？
[提示] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
2．若＝(a，b，c)，则的坐标是多少？
[提示] ＝(－a，－b，－c)．
【例3】 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
思路探究：以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．
[解] 法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C?xyz，如图所示．
∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)，
而＝－＝－＋，
∴的坐标为(1，－1,2)．
又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．
法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，
∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．
用坐标表示空间向量的步骤
3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
[解] (1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，
(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，
由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．
所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则( )
A．，，共线
B．，共线
C．，共线
D．O，A，B，C四点共面
D [由题意知，向量，，共面，从而O，A，B，C四点共面．]
2．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．
B．
C．
D．
A [如图，由已知＝1
＝(＋)
＝[＋(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，从而x＝y＝z＝．]
3．三棱锥P?ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
[＝－
＝(＋)－(＋)
＝－，
故＝．]
4．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
[解] 因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A?xyz．
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋＝e2＋e3，
所以＝．
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1
-3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)
1．通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．
1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
2．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
模
|a|＝＝
夹角公式
cos〈a，b〉＝＝
思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b一定有＝＝成立吗？
[提示] 当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立．
3．向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝．
1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则4a＋2b等于( )
A．(10，－18，－18)
B．(－10,18,18)
C．(－14，－2,22)
D．(－14,2，－22)
B [∵4a＝(－12,8,20)，2b＝(2,10，－2)，
∴4a＋2b＝(－10,18,18)．]
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )
A．1
B．
C．
D．
D [ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·
(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝．]
3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________．
－3 [＝(3，－1,1)，＝(m＋1，n－2，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ．
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－，2，)，b＝(3，6,0)，则|a|＝________，
a与b夹角的余弦值等于________．
3 [|a|＝＝＝3，
cos〈a，b〉＝＝＝．]
空间向量的坐标运算
【例1】 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标；
①＝(－)；②＝(－)．
(1)2 [c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
(2)解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
①＝(－)＝(6,3，－4)＝，则点P的坐标为．
②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵＝(－)＝，∴
解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．
求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
[解] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7．
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14．
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
【例2】 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF．
[证明] (1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为
，(0,0,1)．
∴＝．
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝．
∴＝．
又NE与AM不共线，∴NE∥AM．
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
(2)由(1)知＝．
∵D(，0,0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，
∴·＝0，
∴⊥．
同理，⊥．
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF．
解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.
2．已知空间向量a＝(－1,2，－3)，b＝(2，－4，x)，c＝(4，y,6)．
(1)若m∥a，且|m|＝2，求向量m；
(2)若a⊥c，求实数y的值；
(3)若(2a－b)∥(a＋3b)，求实数x的值．
[解] (1)由于m∥a，可设m＝λa＝λ(－1,2，－3)＝(－λ，2λ，－3λ)．
因为|m|＝2，
所以＝2，
即λ2＝2，解得λ＝±．
故m＝(－，2，－3)或m＝(，－2，3)．
(2)因为a⊥c，所以a·c＝0，
即－4＋2y－18＝0，解得y＝11．
(3)由已知得2a－b＝(－4,8，－6－x)，a＋3b＝(5，－10,3x－3)，而(2a－b)∥(a＋3b)，
所以＝＝，解得x＝6．
空间向量夹角与长度的计算
[探究问题]
1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少？
[提示] P．
2．设异面直线AB，CD所成的角为θ，则cos
θ＝cos〈，〉一定成立吗？
[提示] 当cos〈，〉≥0时，cos
θ＝cos〈，〉，
当cos〈，〉<0时，cos
θ＝－cos〈，〉．
【例3】 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
思路探究：
―→―→―→
―→
[解] (1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G．
所以＝．
＝，＝，＝．
因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF．
(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，
||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝，
||＝eq
\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝，
所以cos〈，〉＝
＝＝．
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为．
(3)|CE|＝||＝eq
\r(02＋?－1?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝．
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
3．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝p，＝q，＝r．
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°．
＝－＝(＋)－
＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p
＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos
60°＋a2cos
60°－a2)＝0．
∴⊥，即MN⊥AB．同理可证MN⊥CD．
(2)设向量与的夹角为θ．
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·
＝
＝
＝＝．
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cos
θ＝a×a×cos
θ＝．
∴cos
θ＝．
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为．
1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝
＝．
3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
1．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3．]
2．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若＝2，则点P的坐标是________．
(－1,3,3) [设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则解得即P(－1,3,3)．]
3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．
6 [a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝－．
∴sin〈a，b〉＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7))))＝．
因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6．]
4．已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，c＝(2，x，－4)．
(1)判断a，b的位置关系；
(2)若a∥c，求|c|；
(3)若b⊥c，求c在a方向上的投影的长．
[解] (1)因为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，所以b＝－2a，所以a∥b．
(2)因为a∥c，所以＝＝，解得x＝4．
所以c＝(2,4，－4)，从而|c|＝＝6．
(3)因为b⊥c，所以b·c＝0，即(－2，－4,4)·(2，x，－4)＝－4－4x－16＝0，解得x＝－5，
所以c＝(2，－5，－4)．
所以c在a方向上的投影的长为
|c|cos〈a，c〉＝|c|×＝＝＝0．
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1
-3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
1．通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．2．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养．
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)
有无数个，它们分别是共线向量．
2．空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
线面平行
设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
A [＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直
D．α∥β或α与β重合
D [∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．]
3．已知u，v分别是平面α，β的法向量，则下列条件能使α与β垂直的是( )
A．u＝(－2,2,5)，v＝(6，－4,4)
B．u＝(1,2，－2)，v＝(－2，－4,4)
C．u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)
D．u＝(－2,1,4)，v＝(6,3,3)
A [对于A，因为u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β．
对于B，u∥v，∴α∥β或α与β重合．
对于C，u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交．
对于D，u与v不垂直，也不平行，∴α与β相交，故选A．]
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
l?α或l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l?α或l∥α．]
利用方向向量和法向量判定线线、线面、面面的位置关系
【例1】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1,2)，v＝；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2，1)；
(5)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3)．
[解] (1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2．
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．
(3)∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β．
(4)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u·v≠0且u≠k
v
(k∈R)，∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．
(5)∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
∴u＝－a，∴u∥a，即l⊥α．
1．不重合的两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
1．设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
4 [∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，
∴∴λ＝－，k＝4．]
求平面的法向量
【例2】 如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
[解] 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1，1,0)，D，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，所以
得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1,1)．
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，．
(3)列方程组：由列出方程组．
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．
(6)得结论：得到平面的一个法向量．
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0．
2．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
[解] 设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．
(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．
(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．
设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∴∴∴
令x＝2，得y＝－2，z＝－1．
∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．
利用空间向量证明平行关系
[探究问题]
在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？
[提示] 可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．
【例3】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
思路探究：
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，
N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
＝．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．∴MN∥平面A1BD．
法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．
法三：＝－＝－＝－＝－＝－．
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD．
1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1．
[证明] 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)，
设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，
又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1．
2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG．
[证明] ∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE．
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n．
∵AB?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0．
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β?μ∥v．
1．利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．
1．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝( )
A．2∶3∶(－4)
B．1∶1∶1
C．∶1∶1
D．3∶2∶4
A [＝，＝(－3,2,0)，因为平面α的法向量为a＝(x，y，z)，
所以取y＝3，
则x＝2，z＝－4．
所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4)．]
2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2,3,3)
B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)
D．P(3，－3,4)
A [逐一验证法，对于选项A，＝(1,4,1)，
所以·n＝6－12＋6＝0，所以⊥n，
所以点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．]
3．若直线l的方向向量为a＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n＝，则直线l与平面α的位置关系是________．
l∥α或l?α [因为a·n＝(3，－1,4)·＝0，
所以a⊥n，所以l∥α或l?α．]
4．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1．
[证明] 法一：以D为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴＝(－2,0,2)，
＝(0，－2,2)，
＝(－1，－1,2)，
∴＝＋，
∴与，共面．
又BO1?平面ACD1，
∴BO1∥平面ACD1．
法二：在法一建立的空间直角坐标系下，取AC的中点O，连接D1O，则O(1,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，O1(1,1,2)，∴＝(1,1，－2)．
又＝(－1，－1,2)，∴＝－，
∴∥1．又D1O与BO1不重合，∴D1O∥BO1．
又BO1?平面ACD1，D1O?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1．
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-第2课时 空间向量与垂直关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1．能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．(重点)2．掌握用向量方法证明有关空间垂直关系的方法步骤．(重点、难点)
借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．
空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)
面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β
?
u⊥v
?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
[提示] 垂直．
1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
B [∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α．]
2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
B [因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B．]
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．
l1⊥l2 [＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2．]
4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．
α⊥β [u1·u2＝0，则α⊥β．]
用向量方法处理线线垂直问题
【例1】 (1)已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
(2)如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC．
(1) [设M(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，
＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，
由点M在直线AB上得与共线，＝λ，即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，
又CM⊥AB，向量与向量的数量积为0，
即·＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，
联立得
所以x＝－，y＝，z＝1，
所以点M的坐标为．]
(2)证明：设＝a，＝b，＝v．由条件知，v是平面ABC的法向量，所以v·a＝0，v·b＝0，
因为D为AB中点，所以＝(a＋b)，因为O在CD上，
所以存在实数λ，使＝λ＝(a＋b)．
因为CA＝CB，所以|a|＝|b|，
所以·＝(b－a)·
＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v
＝(|b|2－|a|2)＋b·v－a·v＝0，
所以⊥，所以AB⊥PC．
利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种：
?1?坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；
?2?基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
1．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．
求证：AB1⊥MN．
[证明] 设AB中点为O，作OO1∥AA1．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz．
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC中点，
∴M．
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0．
∴⊥，∴AB1⊥MN．
应用向量法证明线面垂直
【例2】 如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
思路探究：法一：通过证明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD
法二：证明与平面A1BD的法向量平行．
[证明] 法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．
因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0，0，)，B1(1,2,0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0．
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0．
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同方法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)，
又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n．
所以AB1⊥平面A1BD．
本例中增加条件：E，F分别是BC，BB1的中点，求证：EF⊥平面ADE．
[证明] 如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0，)，D(－1,1,0)，E(0,0,0)，F(1,1,0)，
所以＝(0,0，)，＝(－1,1,0)，＝(1,1,0)．
所以·＝1×0＋1×0＋0×＝0，
·＝1×(－1)＋1×1＋0×0＝0．
所以⊥，⊥，即EF⊥EA，EF⊥ED，
又因为EA∩ED＝E，所以EF⊥平面ADE．
1．坐标法证明线面垂直有两种思路
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0．
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
应用向量法证明面面垂直
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0．
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝?－2,0，．
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则?
令x1＝1，得y1＝1．∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1．∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
2．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC．A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1．
[证明] 如图，建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，
A1(0,0，)，C1(0,1，)，
因为D为BC的中点，
所以D点坐标为(1,1,0)，
所以＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)，＝(0,0，)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC?平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1．
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°．(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α．(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β．(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β．(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
1．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．直线l与平面α相交但不垂直
D．无法确定
B [∵μ＝a．∴μ∥a，∴l⊥α．]
2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A．
B．
C．
D．
B [设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则y＝－2，z＝2．
所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是．]
3．下列命题中：①若u，v分别是两个不同的平面α，β的法向量，则u∥v?α∥β；
②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β?u∥v；
③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确的命题序号是________．
①②③④ [①正确；②正确；∵u⊥α，a所在直线与平面α平行或在平面α内，
∴u⊥a．
∴u·a＝0，③正确；④正确．]
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD．
[证明] 以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，＝(1,1,1)，＝，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，则y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD．
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-第3课时 空间向量与空间角
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养．
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角θ
设l1与l2的方向向量为a，b，则cos
θ＝＝
直线l与平面α所成的角θ
设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin
θ＝＝
二面角α?l?β的平面角θ
设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos
θ|＝＝
[0，π]
思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] (1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
(2)
条件
平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos
θ＝cos
φ
cos
θ＝－cos
φ
1．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90° B．小于90°
C．大于90°
D．不确定
A [A1B1⊥平面BCC1B1，
故A1B1⊥MN，
则·＝(＋)·＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°．]
2．已知二面角α?l?β等于θ，异面直线a，b满足a?α，b?β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成的角等于( )
A．θ
B．π－θ
C．－θ
D．θ或π－θ
D [应考虑0≤θ≤与＜θ≤π两种情况．]
3．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选B．]
4．正方体ABCD?A′B′C′D′中，M，N分别是棱BB′和B′C′的中点，则异面直线MN与AD所成角的大小为________．
45° [以，，为正交基底建立空间直角坐标系O?xyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，M，N，
∴＝(－1,0,0)，＝．
∵cos〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝45°，即MN和AD所成角的大小为45°．]
求两条异面直线所成的角
【例1】 如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉
＝
＝＝．
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为．
1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
2．由于两异面直线夹角θ的范围是，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos
θ＝|cos
α|，求解时要特别注意．
1．如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝，DC＝DD1＝2，DA＝，∠ADC＝，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(，0,0)，D1(0,1，)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，
由＝得A1(，1，)．
因为＝－＝(－，1，－)，
＝－＝(，－1，－)．
所以cos〈，〉＝
＝＝－．
所以异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为．
求直线与平面所成的角
【例2】 如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
思路探究：(1)线面平行的判定定理?MN∥平面PAB．
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角?直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2．
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2．
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
(2)如图，取BC的中点E，连接AE．
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝eq
\r(AB2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2))))＝．
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，＝，
＝．
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝．
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
2．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF?平面PEF，EF?平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF．
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．
(2)作PH⊥EF，垂足为H．由(1)得，PH⊥平面ABFD．
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz．
由(1)可得，DE⊥PE．又DP＝2，DE＝1，所以PE＝．又PF＝1，EF＝2，PF2＋PE2＝EF2，故PE⊥PF．
可得PH＝，EH＝．
则H(0,0,0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，
则sin
θ＝＝＝．
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为．
求二面角
[探究问题]
1．建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？
[提示] 应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系．
2．如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？
[提示] 法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于．
法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．
【例3】 如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A?PB?C的余弦值．
思路探究：(1)先证线面垂直，再证面面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．
因为AB∥CD，所以AB⊥PD．
又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．
因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F．
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，又AD∩AB＝A，可得PF⊥平面ABCD．
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F?xyz．
由(1)及已知可得A，P，B，C，
所以＝，＝(，0,0)，
＝，＝(0,1,0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则
即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则
即
所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－．
所以二面角A?PB?C的余弦值为－．
利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2．
(3)计算：设n1与n2所成锐角θ，cos
θ＝．
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．
3．如图，四棱锥P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A?PM?B的正弦值．
[解] (1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC．
在矩形ABCD中，AD⊥DC，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设BC＝t，则A(t,0,0)，B(t,1,0)，
M，P(0,0,1)，
所以＝(t,1，－1)，＝．
因为PB⊥AM，所以·＝
－＋1＝0，得t＝，
所以BC＝．
(2)易知C(0,1,0)，由(1)可得＝(－，0,1)，＝，＝(，0,0)，＝(，1，－1)．
设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
即
令x1＝，则z1＝2，y1＝1，所以平面APM的一个法向量为n1＝(，1,2)．设平面PMB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
得x2＝0，令y2＝1，则z2＝1，所以平面PMB的一个法向量为n2＝(0,1,1)．
cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以二面角A?PM?B的正弦值为．
利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决．需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果．
1．如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D?xyz(图略)，设AB＝1．
则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，
cos〈，〉＝
＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．]
2．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，1,0)
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，
∴令x＝1，∴n＝(1,1,1)，又∵＝(0,0,1)，
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为
＝．]
3．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．
± [设a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)，则cos〈a，b〉＝＝，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±．]
4．如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C1，∠BCA＝90°，点F1是A1C1的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1．
(1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；
(2)求直线AF1与平面BCC1B1所成的角．
[解] (1)如图所示，分别以，，为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由BC＝CA＝2，CC1＝1，得
A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,1)，A1(2,0,1)，B1(0,2,1)．
因为F1为A1C1的中点，所以F1(1,0,1)．
所以＝(0,2,1)，＝(－1,0,1)．
所以cos〈，〉＝
＝＝，
即异面直线AF1与CB1所成角的余弦值为．
(2)因为三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC，AC?平面ABC，
所以BB1⊥AC．
因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，
因为BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1，
所以AC⊥平面BCC1B1，
所以＝(2,0,0)是平面BCC1B1的一个法向量．
设直线AF1与平面BCC1B1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，〉|＝＝，
所以θ＝，所以直线AF1与平面BCC1B1所成的角为．
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1
-第3章
空间向量与立体几何
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
空间向量的基本概念及运算
【例1】 (1)已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb．若m⊥n，则λ＝( )
A．
B．－
C．
D．－
(2)如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0．
其中正确结论的序号是________．
(1)D (2)③④ [(1)由题意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×3×4×cos
135°＋3×4×cos
135°＋λ×16＝6＋4λ．
因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－．
(2)容易推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④．]
1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos
θ等．
1．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O是正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于( )
A．
B．3
C．6
D．0
C [∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴O是对角线AD的中点，也是对角线BE的中点，
还是对角线CF的中点．
∴＝，＝，＝，
∴＋＋＋＋＋＝6，故选C．]
空间向量的坐标运算
【例2】 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝( )
A．(0,3，－6)
B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6)
D．(6,6，－6)
(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c．
①求向量a，b，c；
②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．
(1)B [由b＝x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，
所以x＝(0,6，－20)．]
(2)解：①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴，解得
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝＝，|b＋c|
＝＝，
∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝．
熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝?x1，y1，z1?，b＝?x2，y2，z2?，
?1?加减运算：a±b＝?x1±x2，y1±y2，z1±z2?.
?2?数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
?3?向量夹角：cos〈a，b〉＝.
?4?向量长度：设M1?x1，y1，z1?，M2?x2，y2，z2?，,则.
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.
2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C [∵＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，∴||＝＝，||＝＝，||＝＝，∴||2＋||2＝||2，∴△ABC一定为直角三角形．]
利用空间向量证明平行、垂直问题
【例3】 在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．
求证：(1)EF∥平面ABD；
(2)平面PAD⊥平面PDC．
[证明] (1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．因为点E，F分别是PB，PD的中点，所以F，E，＝，＝，＝－，
即EF∥BD，又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
所以EF∥平面ABD．
(2)由(1)可知＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，
因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又AP∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD．
因为DC?平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC．
利用空间向量证明空间中的位置关系
?1?线线平行：
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
?2?线线垂直：
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.
?3?线面平行：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.
?4?线面垂直：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
?5?面面平行：
①证明两个平面的法向量平行?即是共线向量?；
②转化为线面平行、线线平行问题.
?6?面面垂直：
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
3．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
求证：(1)BM∥平面ADEF；
(2)BC⊥平面BDE．
[证明] ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，∴ED⊥平面ABCD．
以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．
(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，
则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，
∴＝＋，故，，共面．
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．
又·＝0，∴BC⊥DE．
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE．
利用空间向量求空间角
【例4】 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．
(1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O?EF?C的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
[解] 依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0，0,2)，G(－1,0,0)．
(1)证明：依题意，＝(2,0,0)，＝(1，－1,2)．
设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即
不妨设z＝1，可得n1＝(0,2,1)．
又＝(0,1，－2)，所以·n1＝0．
又因为直线EG?平面ADF，
所以EG∥平面ADF．
(2)易证，＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量．
依题意，＝(1,1,0)，＝(－1,1,2)．
设n2＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，
则
即
不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．
因此cos〈，n2〉＝＝－，
于是sin〈，n2〉＝．
所以，二面角O?EF?C的正弦值为．
(3)由AH＝HF，得AH＝AF．
因为＝(1，－1,2)，
所以＝＝，
进而有H，
从而＝，
因此cos〈，n2〉＝＝－．
所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为．
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
4．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F?BC?A的余弦值．
[解] (1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI．
在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，
所以GI∥EF．
又EF∥OB，所以GI∥OB．
在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，
所以HI∥BC．
又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，
所以平面GHI∥平面ABC．
因为GH?平面GHI，
所以GH∥平面ABC．
(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC．
又AB＝BC，且AC是圆O的直径，
所以BO⊥AC．
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得B(0,2，0)，C(－2，0,0)．
过点F作FM⊥OB于点M，
所以FM＝＝3，
可得F(0，，3)．
故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)．
设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．
由可得
可得平面BCF的一个法向量m＝．
因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝，
所以二面角F?BC?A的余弦值为．
利用空间向量求距离
【例5】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，
P(0,0,1)，A(1,0,0)，
C(0,1,0)，E，
F．
＝1，，－1，＝，1，－1，＝1，，0．
令平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令x＝2，
则y＝2，z＝3，∴n＝(2,2,3)，∴点D到平面PEF的距离为＝＝．
(2)连接AC，则AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
由(1)得平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
则所求距离为＝＝．
即直线AC到平面PEF的距离为．
用向量法求点面距的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标．
(4)求法向量：设出平面法向量利用向量垂直的条件转化为求解方程组求出法向量．
(5)求距离d＝．
5．如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
(1)求证：AB1⊥A1D；
(2)求点C到平面A1BD的距离．
[解] (1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO．
∵△ABC为等边三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1的中点O1，以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，
∴＝(1,2，－)，＝(－1，－1，－)．
∵·＝－1－2＋3＝0，
∴⊥，∴AB1⊥A1D．
(2)设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)．
＝(－1，－1，－)，＝(－2,1,0)．
∴
∴
∴
令x＝1，得n＝(1,2，－)．
∵C(－1,0,0)，∴＝(－2,0,0)，
∴点C到平面A1BD的距离d＝＝＝．
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