高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2021高二下·湖南期末）已知椭圆 的离心率为 ，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二下·南昌期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线右支上一点， ，直线 交 轴于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　）．
A． B．3 C． D．
5．（2021高二下·云南期末）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上一点A满足 ，则以点A为圆心， 为半径的圆被 轴所截得的弦长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．（2021高二下·辽宁期末）椭圆 的左右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．坐标原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点.若点 ，则 面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．（2021高二下·湖北期末）已知双曲线 的离心率为2，点 ， 是 上关于原点对称的两点，点 是 的右支上位于第一象限的动点（不与点 、 重合），记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则下列结论正确的是（　　）
A．以线段 为直径的圆与 可能有两条公切线
B．
C．存在点 ，使得
D．当 时，点 到 的两条渐近线的距离之积为3
10．（2021·青岛模拟）已知曲线 分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率 ，则
C．若 ，则曲线C上不存在点P，使得
D．若 为C上一个动点，则 面积的最大值为
11．（2021·深圳模拟）已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于点 ， ，若 ， 两点在准线上的射影分别为 ， ，线段 的中点为 ，则（　　）
A．
B．四边形 的面积等于
C．
D．直线 与抛物线相切
12．（2021·河北模拟）已知椭圆 的左 右焦点分别为 是圆 上且不在x轴上的一点，且 的面积为 .设C的离心率为e， ，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2021·和平模拟）设 ，已知抛物线 的准线l与圆 相切，则 　 　.
14．（2021高二下·浙江期末）已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点， ，则线段 长为　 　．
15．（2021高三上·水富月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为第二象限内椭圆上的一点，连接 交 轴于点 ，若 ， ，其中 为坐标原点，则该椭圆的离心率为　 　．
16．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为　 　。
四、解答题
17．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
18．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
19．（2021高二下·浙江期末）如图， ， 为椭圆 的左右顶点，直线 交椭圆于 ， 两点，直线 的斜率是直线 的斜率3倍．
（1）若 为椭圆上异于 ， 的一点，证明：直线 和 的斜率之积为常数；
（2）证明：直线 过定点．
20．（2021高二下·湖南期末）设点 为双曲线 上任意一点，双曲线 的离心率为 ，右焦点与椭圆 的右焦点重合．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过点 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点 ， ，求证：平行四边形 的面积为定值，并求出此定值．
21．（2021·苏州模拟）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 ，渐近线方程为 ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： ．
22．（2021·青岛模拟）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，抛物线 上不同两点 同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③直线 的方程为 .
（1）请分析说明两点 满足的是哪两个条件？并求抛物线 的标准方程；
（2）若直线 与抛物线 相切于点 与椭圆 相交于 两点， 与直线 交于点 ，以 为直径的圆与直线 交于 两点，求证：直线 经过线段 的中点.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
2．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 ，得 ，得 ，即 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而求出a，b的关系式。
3．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解法一： 由题意知 ， ，
所以 ．
设 ，则 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
将 代入双曲线方程，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
故答案为：C．
解法二 ：设 为坐标原点，
由题得 ∽ ，所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，则 ，得 ．
又 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 。
故答案为：C．
【分析】利用两种方法解题。解法一： 由题意结合双曲线的定义和勾股定理，再结合双曲线中a，b，c三者的关系，所以 ，设 ，则 ，所以 ，因为 ，再利用向量共线的坐标表示，所以 ，将 代入双曲线方程结合双曲线离心率的取值范围，从而求出双曲线的离心率。
解法二 ：设 为坐标原点，由题得 ∽ ，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，设 ，因为 ，再利用向量共线定理，所以 ，则 ，得 ，再利用勾股定理结合焦距的定义，从而利用双曲线的定义得出 ，再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
5．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线 ，可得 ，
由抛物线定义可得 ，则 ， ，
则以点A为圆心， 为半径的圆被 轴所截得的弦长为 .
故答案为：B.
【分析】由抛物线定义可得 ， ，结合圆的弦长公式，即可求解。
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ， ，所以 ，
所以 ，所以离心率为 ．
故答案为：C．
【分析】 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】直线 方程为 ，代入椭圆方程得 ， ，
设 ，则
，
点 到直线 的距离为 ，
所以 （ ），
记 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时， 取得唯一的极大值也是最大值 ．即△MAN面积的最大值为 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意联立直线与椭圆的方程，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，由此得出三角形面积的代数式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而求出面积的最大值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当点 ， 分别是 的左、右顶点时，圆与 恰有两条公切线，A符合题意；
设 ， ， ，则 ，则 ，
所以 ，B符合题意；
，C不符合题意；
当 时， ，渐近线方程为 ，即 ，
点 到两条渐近线的距离之积为 ，
双曲线 ，点 是 的右支上位于第一象限，则 ，
整理可得 ，代入上式可得 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】当点 ， 分别是 的左、右顶点时，圆与 恰有两条公切线可判断A；由直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，计算可判断B；由基本不等式计算可判断C；根据已知条件求得双曲线的渐近线方程，点 到两条渐近线的距离之积为 ，点 是 的右支上位于第一象限，计算可判断D。
10．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，当 时，曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，渐近线方程为 ，故渐近线的倾斜角分别为 ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ，A选项正确；
对于B选项，离心率 ，则曲线C为焦点在 轴上的双曲线， ，故 ，所以 ，所以 ，B选项正确；
对于C选项，若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，此时 ，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为 ，则 ，故 为钝角，所以线 上存在点 ，使得 ，C选项错误；
对于D选项，若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，此时 ， 为 上一个动点，则 面积的最大值为 ，D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】A根据双曲线渐近线方程可渐近线的倾斜角分别为 ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ，A选项正确。
B根据椭圆离心率和椭圆中a,b,c的关系可求出m=-27，故B正确。
C根据椭圆标准方程可判断C表示焦点在 轴上的椭圆，再结合余弦定理即可判断C错误。
D根据椭圆标准方程和椭圆性质可判出P在短轴顶点时 面积的最大，根据三角形面积公式即可求出为 ，故D正确。
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；曲线与方程
【解析】【解答】设 ， ，直线 的方程为 ，将直线 的方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系得 .
如图，由题意可得 ，准线方程为 .
设 ， ，直线 的方程为 ，
代人抛物线方程，得 ，所以 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，A符合题意.
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 的面积等于 ，B不符合题意.
根据抛物线的定义知 ， ，
所以 ，
，
所以 ，所以C符合题意.
不妨设点 在 轴上方，
当 时，由 得 ， ，
所以抛物线以点 为切点的切线方程为
，
令 ，得 ，
所以点 在以点 为切点的切线上，
即直线 与抛物线相切，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对于选项AB，利用向量知识研究AC与BC，AC与MF的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定义确定AF、BF的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线AC的斜率，并设
抛物线以点 为切点的切线方程为，与抛物线的方程联立得点 在以点 为切点的切线上，判断D选项的正误。
12．【答案】A,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】如图，
连接 ， ，设 交椭圆于 ，则 ，
，故 正确；
设 ， ， ，
， ，
，故 错误；
设 ， ，则 ，
又△ 的面积为 ， ，即 ，
，又 ， ，故 正确；
由 ， ，
两式作商可得： ，故 错误．
故答案为：AC
【分析】对于A，由椭圆的定义有，显然，即A正确；
对于B，引进参数，设，借助向量的数量积，可以得到B错；
对于C，由，而△ 的面积为 ，建立不等式，即可求得 ，故C正确；
对于D，由及可以得到，故D不正确。
13．【答案】-1
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的准线l的方程为 ，
圆C的标准方程为 ，圆心为 ，半径长为 ，
由于直线l与圆C相切，则 ，解得 。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件求出抛物线 的准线l的方程为 ，再将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法从而求出a的值。
14．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，不妨设 ，直线方程为 ，
由 ，得 ，由韦达定理得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据题意联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程结合韦达定理，求出由已知条件即可得出，，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，由题意可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ， ，所以 ，可得 ，解得 ．
【分析】 由题意画出图形，由三角形相似得比例关系，再由椭圆定义列式求得|PF1|与|PF2|的值，然后利用勾股定理列式求解椭圆的离心率.
16．【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
17．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
18．【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
19．【答案】（1）由题意，设 点的坐标 则 ，而 ， ，
∴ ，故为定值，得证.
（2）设 点坐标 ，设 点坐标 ，
由（1）可得： ，又 ，
∴
联立直线与椭圆方程，整理得 ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
整理得 ，即 ，可得 或 ，
当 时，直线 ，直线过定点 （舍），
当 时，直线 ，直线过定点 ，得证.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意把点的坐标代入结合直线斜率的坐标公式整理即可得出答案。
(2)由设而不求法设出点的坐标，再由(1)的结论结合直线的斜率公式整理得出，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理即可得出关于两根之和以及两根之积关于m的代数式，结合直线的方程整理得出，代入到整理得出为定值，由此得出m的取值再把数值代入到直线的方程，整理即可得到答案。
20．【答案】（1）
则 ， ， ．
所以双曲线 的标准方程为： ．
（2）设 点坐标为 ，过 与渐近线平行的直线分别为 ， ，
方程分别为 ， ，
联立方程： ，得 ，
同理可得： ，得 ，
又渐近线方程为 ，则 ，
，
又点 在双曲线上，则 ，
所以 ，即平行四边形 的面积为定值，且此定值为 ．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线 的离心率为 结合离心率公式求出a，c的关系式，再利用双曲线的右焦点与椭圆 的右焦点重合，从而由椭圆的右焦点求出双曲线的右焦点，从而求出c的值，进而求出a的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2） 设点 坐标为 ，过 与渐近线平行的直线分别为 ， ，再利用点斜式设出直线方程分别为 ， ，再联立两直线的方程求出交点坐标，又因为渐近线方程为 ，则 ，再利用平行四边形面积求解方法得出 ，又因为点 在双曲线上结合代入法，则 ，从而得出 ，即平行四边形 的面积为定值，且此定值为 。
21．【答案】（1）由双曲线C的渐近线方程为 ，可设双曲线C的方程为 ，
由题意可得 ，因此，双曲线C的方程为 ；
（2）设点 、 且 ，
，
由已知可得 ，则 ，则 ，
同理可得 ，
，
易知 、 ，故 .
【知识点】双曲线的标准方程；曲线与方程
【解析】【分析】（1）由双曲线C的渐近线方程为 ，可设双曲线C的方程为 ，把点 代入方程即可得出双曲线C的方程；
（2） 设点 、 且 ，由已知可得 ， ，则 ，即可得证。
22．【答案】（1）若同时满足条件①②：
由① 知 过焦点 ，
当 时， ，而 ，
所以①②不同时成立.
若同时满足条件①③：
由① 知 过焦点 ，
显然，直线 不可能过焦点 ，
所以①③不同时成立.
只能同时满足条件②③：
因为 ，且直线 的方程为： ，
所以 ，解得 ，
拋物线 的标准方程为： .
（2）设 ，因为抛物线 ，所以 ，
直线 的斜率 ，
设 中点为 ，所以 ，
两式作差得：直线 的斜率 ，
因为 为直径，所以 ，
从而 ，直线 的斜率 ，
所以 ，所以 共线，
所以直线 经过线段 的中点.
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式；三点共线；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质通过推理可判断 ①②不同时成立 ， ①③不同时成立 ， 只能同时满足条件②③，再由抛物线标准方程即可求得。
（2）由导数求出直线 的斜率 ， 设 中点为 ，A,B坐标代入椭圆方程所得两式做差求出 直线 的斜率 ，再由斜率公式求出 直线 的斜率 ，得 所以 共线，即可证出。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可
2．（2021高二下·湖南期末）已知椭圆 的离心率为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 ，得 ，得 ，即 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而求出a，b的关系式。
3．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.
4．（2021高二下·南昌期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线右支上一点， ，直线 交 轴于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　）．
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解法一： 由题意知 ， ，
所以 ．
设 ，则 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
将 代入双曲线方程，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
故答案为：C．
解法二 ：设 为坐标原点，
由题得 ∽ ，所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，则 ，得 ．
又 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 。
故答案为：C．
【分析】利用两种方法解题。解法一： 由题意结合双曲线的定义和勾股定理，再结合双曲线中a，b，c三者的关系，所以 ，设 ，则 ，所以 ，因为 ，再利用向量共线的坐标表示，所以 ，将 代入双曲线方程结合双曲线离心率的取值范围，从而求出双曲线的离心率。
解法二 ：设 为坐标原点，由题得 ∽ ，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，设 ，因为 ，再利用向量共线定理，所以 ，则 ，得 ，再利用勾股定理结合焦距的定义，从而利用双曲线的定义得出 ，再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
5．（2021高二下·云南期末）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上一点A满足 ，则以点A为圆心， 为半径的圆被 轴所截得的弦长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线 ，可得 ，
由抛物线定义可得 ，则 ， ，
则以点A为圆心， 为半径的圆被 轴所截得的弦长为 .
故答案为：B.
【分析】由抛物线定义可得 ， ，结合圆的弦长公式，即可求解。
6．（2021高二下·辽宁期末）椭圆 的左右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ， ，所以 ，
所以 ，所以离心率为 ．
故答案为：C．
【分析】 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.
7．（2021·全国乙卷）设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得，
故答案为：C。
【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。
8．坐标原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点.若点 ，则 面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】直线 方程为 ，代入椭圆方程得 ， ，
设 ，则
，
点 到直线 的距离为 ，
所以 （ ），
记 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时， 取得唯一的极大值也是最大值 ．即△MAN面积的最大值为 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意联立直线与椭圆的方程，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，由此得出三角形面积的代数式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而求出面积的最大值。
二、多选题
9．（2021高二下·湖北期末）已知双曲线 的离心率为2，点 ， 是 上关于原点对称的两点，点 是 的右支上位于第一象限的动点（不与点 、 重合），记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则下列结论正确的是（　　）
A．以线段 为直径的圆与 可能有两条公切线
B．
C．存在点 ，使得
D．当 时，点 到 的两条渐近线的距离之积为3
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当点 ， 分别是 的左、右顶点时，圆与 恰有两条公切线，A符合题意；
设 ， ， ，则 ，则 ，
所以 ，B符合题意；
，C不符合题意；
当 时， ，渐近线方程为 ，即 ，
点 到两条渐近线的距离之积为 ，
双曲线 ，点 是 的右支上位于第一象限，则 ，
整理可得 ，代入上式可得 ，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】当点 ， 分别是 的左、右顶点时，圆与 恰有两条公切线可判断A；由直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，计算可判断B；由基本不等式计算可判断C；根据已知条件求得双曲线的渐近线方程，点 到两条渐近线的距离之积为 ，点 是 的右支上位于第一象限，计算可判断D。
10．（2021·青岛模拟）已知曲线 分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率 ，则
C．若 ，则曲线C上不存在点P，使得
D．若 为C上一个动点，则 面积的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，当 时，曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，渐近线方程为 ，故渐近线的倾斜角分别为 ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ，A选项正确；
对于B选项，离心率 ，则曲线C为焦点在 轴上的双曲线， ，故 ，所以 ，所以 ，B选项正确；
对于C选项，若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，此时 ，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为 ，则 ，故 为钝角，所以线 上存在点 ，使得 ，C选项错误；
对于D选项，若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，此时 ， 为 上一个动点，则 面积的最大值为 ，D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】A根据双曲线渐近线方程可渐近线的倾斜角分别为 ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 ，A选项正确。
B根据椭圆离心率和椭圆中a,b,c的关系可求出m=-27，故B正确。
C根据椭圆标准方程可判断C表示焦点在 轴上的椭圆，再结合余弦定理即可判断C错误。
D根据椭圆标准方程和椭圆性质可判出P在短轴顶点时 面积的最大，根据三角形面积公式即可求出为 ，故D正确。
11．（2021·深圳模拟）已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于点 ， ，若 ， 两点在准线上的射影分别为 ， ，线段 的中点为 ，则（　　）
A．
B．四边形 的面积等于
C．
D．直线 与抛物线相切
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；曲线与方程
【解析】【解答】设 ， ，直线 的方程为 ，将直线 的方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系得 .
如图，由题意可得 ，准线方程为 .
设 ， ，直线 的方程为 ，
代人抛物线方程，得 ，所以 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，A符合题意.
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以四边形 的面积等于 ，B不符合题意.
根据抛物线的定义知 ， ，
所以 ，
，
所以 ，所以C符合题意.
不妨设点 在 轴上方，
当 时，由 得 ， ，
所以抛物线以点 为切点的切线方程为
，
令 ，得 ，
所以点 在以点 为切点的切线上，
即直线 与抛物线相切，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对于选项AB，利用向量知识研究AC与BC，AC与MF的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定义确定AF、BF的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线AC的斜率，并设
抛物线以点 为切点的切线方程为，与抛物线的方程联立得点 在以点 为切点的切线上，判断D选项的正误。
12．（2021·河北模拟）已知椭圆 的左 右焦点分别为 是圆 上且不在x轴上的一点，且 的面积为 .设C的离心率为e， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】如图，
连接 ， ，设 交椭圆于 ，则 ，
，故 正确；
设 ， ， ，
， ，
，故 错误；
设 ， ，则 ，
又△ 的面积为 ， ，即 ，
，又 ， ，故 正确；
由 ， ，
两式作商可得： ，故 错误．
故答案为：AC
【分析】对于A，由椭圆的定义有，显然，即A正确；
对于B，引进参数，设，借助向量的数量积，可以得到B错；
对于C，由，而△ 的面积为 ，建立不等式，即可求得 ，故C正确；
对于D，由及可以得到，故D不正确。
三、填空题
13．（2021·和平模拟）设 ，已知抛物线 的准线l与圆 相切，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的准线l的方程为 ，
圆C的标准方程为 ，圆心为 ，半径长为 ，
由于直线l与圆C相切，则 ，解得 。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件求出抛物线 的准线l的方程为 ，再将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法从而求出a的值。
14．（2021高二下·浙江期末）已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点， ，则线段 长为　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，不妨设 ，直线方程为 ，
由 ，得 ，由韦达定理得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据题意联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程结合韦达定理，求出由已知条件即可得出，，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
15．（2021高三上·水富月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为第二象限内椭圆上的一点，连接 交 轴于点 ，若 ， ，其中 为坐标原点，则该椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，由题意可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ， ，所以 ，可得 ，解得 ．
【分析】 由题意画出图形，由三角形相似得比例关系，再由椭圆定义列式求得|PF1|与|PF2|的值，然后利用勾股定理列式求解椭圆的离心率.
16．（2021·全国甲卷）已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为　 　。
【答案】8
【知识点】椭圆的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，
所以
故答案为：8
【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可
四、解答题
17．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
18．（2021·北京）已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.
19．（2021高二下·浙江期末）如图， ， 为椭圆 的左右顶点，直线 交椭圆于 ， 两点，直线 的斜率是直线 的斜率3倍．
（1）若 为椭圆上异于 ， 的一点，证明：直线 和 的斜率之积为常数；
（2）证明：直线 过定点．
【答案】（1）由题意，设 点的坐标 则 ，而 ， ，
∴ ，故为定值，得证.
（2）设 点坐标 ，设 点坐标 ，
由（1）可得： ，又 ，
∴
联立直线与椭圆方程，整理得 ，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
整理得 ，即 ，可得 或 ，
当 时，直线 ，直线过定点 （舍），
当 时，直线 ，直线过定点 ，得证.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意把点的坐标代入结合直线斜率的坐标公式整理即可得出答案。
(2)由设而不求法设出点的坐标，再由(1)的结论结合直线的斜率公式整理得出，联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理即可得出关于两根之和以及两根之积关于m的代数式，结合直线的方程整理得出，代入到整理得出为定值，由此得出m的取值再把数值代入到直线的方程，整理即可得到答案。
20．（2021高二下·湖南期末）设点 为双曲线 上任意一点，双曲线 的离心率为 ，右焦点与椭圆 的右焦点重合．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过点 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点 ， ，求证：平行四边形 的面积为定值，并求出此定值．
【答案】（1）
则 ， ， ．
所以双曲线 的标准方程为： ．
（2）设 点坐标为 ，过 与渐近线平行的直线分别为 ， ，
方程分别为 ， ，
联立方程： ，得 ，
同理可得： ，得 ，
又渐近线方程为 ，则 ，
，
又点 在双曲线上，则 ，
所以 ，即平行四边形 的面积为定值，且此定值为 ．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线 的离心率为 结合离心率公式求出a，c的关系式，再利用双曲线的右焦点与椭圆 的右焦点重合，从而由椭圆的右焦点求出双曲线的右焦点，从而求出c的值，进而求出a的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2） 设点 坐标为 ，过 与渐近线平行的直线分别为 ， ，再利用点斜式设出直线方程分别为 ， ，再联立两直线的方程求出交点坐标，又因为渐近线方程为 ，则 ，再利用平行四边形面积求解方法得出 ，又因为点 在双曲线上结合代入法，则 ，从而得出 ，即平行四边形 的面积为定值，且此定值为 。
21．（2021·苏州模拟）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 ，渐近线方程为 ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： ．
【答案】（1）由双曲线C的渐近线方程为 ，可设双曲线C的方程为 ，
由题意可得 ，因此，双曲线C的方程为 ；
（2）设点 、 且 ，
，
由已知可得 ，则 ，则 ，
同理可得 ，
，
易知 、 ，故 .
【知识点】双曲线的标准方程；曲线与方程
【解析】【分析】（1）由双曲线C的渐近线方程为 ，可设双曲线C的方程为 ，把点 代入方程即可得出双曲线C的方程；
（2） 设点 、 且 ，由已知可得 ， ，则 ，即可得证。
22．（2021·青岛模拟）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，抛物线 上不同两点 同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③直线 的方程为 .
（1）请分析说明两点 满足的是哪两个条件？并求抛物线 的标准方程；
（2）若直线 与抛物线 相切于点 与椭圆 相交于 两点， 与直线 交于点 ，以 为直径的圆与直线 交于 两点，求证：直线 经过线段 的中点.
【答案】（1）若同时满足条件①②：
由① 知 过焦点 ，
当 时， ，而 ，
所以①②不同时成立.
若同时满足条件①③：
由① 知 过焦点 ，
显然，直线 不可能过焦点 ，
所以①③不同时成立.
只能同时满足条件②③：
因为 ，且直线 的方程为： ，
所以 ，解得 ，
拋物线 的标准方程为： .
（2）设 ，因为抛物线 ，所以 ，
直线 的斜率 ，
设 中点为 ，所以 ，
两式作差得：直线 的斜率 ，
因为 为直径，所以 ，
从而 ，直线 的斜率 ，
所以 ，所以 共线，
所以直线 经过线段 的中点.
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式；三点共线；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质通过推理可判断 ①②不同时成立 ， ①③不同时成立 ， 只能同时满足条件②③，再由抛物线标准方程即可求得。
（2）由导数求出直线 的斜率 ， 设 中点为 ，A,B坐标代入椭圆方程所得两式做差求出 直线 的斜率 ，再由斜率公式求出 直线 的斜率 ，得 所以 共线，即可证出。
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