2021年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标参数与不等式选讲
一、解答题
1．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
2．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
3．（2021·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.
4．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
5．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
答案解析部分
1．【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
2．【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
3．【答案】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图象如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（2）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由 f（x+a）≥g（x）， 确定a的取值范围。
4．【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
5．【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
1 / 12021年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标参数与不等式选讲
一、解答题
1．（2021·全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
【知识点】平面向量的综合题；圆的标准方程；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；
由于圆M的圆心已知，且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；
（2）先设出三点的坐标，分 斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。
2．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 = ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定；点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程；
（2）先 设 及M 再由 ，建立ｘ，ｙ与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。
3．（2021·全国甲卷）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.
【答案】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图象如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；不等式的综合
【解析】【分析】（1）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；
（2）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与 f（x）图象的关系），由 f（x+a）≥g（x）， 确定a的取值范围。
4．（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.
【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2；
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，
综上，解集为(-∞，-4]U[2，-∞).
（2）f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.
A≥-3时，2a+3>0，得a>- ；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.
综上，a>- .
【知识点】不等式的综合
【解析】【分析】（1）当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式；
（2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
5．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；
（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。
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