第十六章 二次根式 专题复习（含解析）
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人教新版数学专题复习《二次根式》
一．选择题（共10小题）
1．（2021?荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
2．（2021春?海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
3．（2021春?龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣4
4．（2021春?龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020?（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
5．（2020春?德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
6．（2019秋?永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm
B．16cm
C．2（+4）cm
D．4（﹣4）cm
7．（2019春?济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2
B．﹣4x﹣2
C．﹣2
D．2
8．（2018春?涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强
B．小芳
C．小强和小芳
D．小强与小芳均错误
9．（2020秋?崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．（2019?随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3
B．5+
C．5﹣
D．5﹣3
二．填空题（共10小题）
11．（2021春?海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝
．
12．（2021春?江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于
．
13．（2021春?江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为
．
14．（2020秋?宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为
．
15．（2019秋?温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为
．
16．（2020?浙江自主招生）化简＝
．
17．（2018秋?金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝
．
18．（2019秋?港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝
．
19．（2019秋?嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系：
．
20．（2014秋?资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为
．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋?商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝
．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
22．（2020?唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
23．（2020秋?浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
24．（2020春?孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
25．（2020春?泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
26．（2019秋?峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
27．（2019?随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
+
＝（
+
）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
28．（2019春?宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
29．（2018春?常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与
互为有理化因式，将分母有理化得
；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
30．（2017春?江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝
，y＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空：
+
＝（
+
）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
人教新版数学专题复习《二次根式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021?荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
2．（2021春?海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【解答】解：A．（+）?（﹣﹣）＝﹣（+）2，因此+和﹣﹣不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．（2﹣）?（﹣2）＝﹣（2﹣）2，所以2﹣和﹣2不是有理化因式，因此选项B不符合题意；
C．（a+）（﹣a）＝（）2﹣（a）2＝3﹣2a2，所以a+和﹣a是有理化因式，因此选项C符合题意；
D．?＝a，因此．和不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
3．（2021春?龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣4
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
4．（2021春?龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020?（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．（）2020?（）2021＝[（）（）]2020?（+）＝（﹣1）2020?（+）＝+，此选项正确；
C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；
D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；
故选：B．
5．（2020春?德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
6．（2019秋?永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm
B．16cm
C．2（+4）cm
D．4（﹣4）cm
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
7．（2019春?济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2
B．﹣4x﹣2
C．﹣2
D．2
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
8．（2018春?涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强
B．小芳
C．小强和小芳
D．小强与小芳均错误
【解答】解：原式＝a+＝a+|1﹣a|＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17,
∴小芳的解答正确，
故选：B．
9．（2020秋?崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
10．（2019?随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3
B．5+
C．5﹣
D．5﹣3
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春?海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝ 3 ．
【解答】解：＝＝＝3．
故答案为：3．
12．（2021春?江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于 0 ．
【解答】解：∵≥0，b2≥0，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
∴|2a﹣3|≥1，|b+2|≥0，≥0，
∵|2a﹣3|+|b+2|+＝1，
∴|2a﹣3|＝1，|b+2|＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
13．（2021春?江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 4 ．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
14．（2020秋?宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为 486 ．
【解答】解：∵＝z，＝3，
∴z＝3，x﹣y＝9，
∴2x2z﹣4xyz+2zy2
＝2z（x2﹣2xy+y2）
＝2z（x﹣y）2
＝2×3×92
＝486，
故答案为：486．
15．（2019秋?温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为 ．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a＞0，b＞0，
∴原式＝＝＝，
故答案为：．
16．（2020?浙江自主招生）化简＝ ．
【解答】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴原式＝＝，
∵2+＝＝，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为．
17．（2018秋?金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
18．（2019秋?港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ 2018 ．
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
19．（2019秋?嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系： a+b＝0 ．
【解答】解：∵（+a）（+b）＝1，
等式的两边都乘以（﹣a），得+b＝﹣a①，
等式的两边都乘以（﹣b）得+a＝﹣b②，
①+②，得+b++a＝﹣b+﹣a，
整理，得2a+2b＝0
所以a+b＝0
故答案为：a+b＝0
20．（2014秋?资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 41 ．
【解答】解：∵+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，
∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，
∴a2+b2的最大值为：
52+（﹣4）2＝41．
故答案为：41．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋?商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝ ﹣ ．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
【解答】解：（1）＝＝﹣．
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）
＝
＝+．
故答案为：+．
22．（2020?唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
【解答】解：（1）＝＝
（2）化简＝＝﹣
（3）化简：+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）
23．（2020秋?浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【解答】解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
24．（2020春?孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
25．（2020春?泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
26．（2019秋?峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
【解答】解：（1）原式＝2（8﹣9+2）
＝2×
＝10；
（2）原式＝+1+3﹣1+
＝4；
（3）∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．
∴﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
27．（2019?随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1
）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
28．（2019春?宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）＝＝2+．
29．（2018春?常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 3+ 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
30．（2017春?江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝ a2+3b2 ，y＝ 2ab ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+3b2）+2ab，
所以x＝a2+3b2，y＝2ab；
（2）x、y、a、b的值分别取4，2，1，1；
故答案为a2+3b2，2ab；4，2，1，1；
（3）由题意得
a2+3b2＝x，2ab＝8，
∵ab＝4，且a、b为正整数，
∴a＝2，b＝2或a＝1，b＝4或a＝4，b＝1，
∴当a＝2，b＝2时，x＝22+3×22＝16
当a＝1，b＝4时，x＝12+3×42＝49
当a＝4，b＝1时，x＝42+3×12＝19．
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人教新版数学专题复习《二次根式》
一．选择题（共10小题）
1．（2021?荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
2．（2021春?海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
3．（2021春?龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣4
4．（2021春?龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020?（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
5．（2020春?德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
6．（2019秋?永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm
B．16cm
C．2（+4）cm
D．4（﹣4）cm
7．（2019春?济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2
B．﹣4x﹣2
C．﹣2
D．2
8．（2018春?涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强
B．小芳
C．小强和小芳
D．小强与小芳均错误
9．（2020秋?崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．（2019?随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3
B．5+
C．5﹣
D．5﹣3
二．填空题（共10小题）
11．（2021春?海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝
．
12．（2021春?江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于
．
13．（2021春?江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为
．
14．（2020秋?宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为
．
15．（2019秋?温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为
．
16．（2020?浙江自主招生）化简＝
．
17．（2018秋?金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝
．
18．（2019秋?港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝
．
19．（2019秋?嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系：
．
20．（2014秋?资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为
．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋?商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝
．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
22．（2020?唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
23．（2020秋?浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
24．（2020春?孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
25．（2020春?泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
26．（2019秋?峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
27．（2019?随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
+
＝（
+
）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
28．（2019春?宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
29．（2018春?常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与
互为有理化因式，将分母有理化得
；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
30．（2017春?江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝
，y＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空：
+
＝（
+
）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
人教新版数学专题复习《二次根式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021?荆门）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
2．（2021春?海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【解答】解：A．（+）?（﹣﹣）＝﹣（+）2，因此+和﹣﹣不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．（2﹣）?（﹣2）＝﹣（2﹣）2，所以2﹣和﹣2不是有理化因式，因此选项B不符合题意；
C．（a+）（﹣a）＝（）2﹣（a）2＝3﹣2a2，所以a+和﹣a是有理化因式，因此选项C符合题意；
D．?＝a，因此．和不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
3．（2021春?龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣4
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
4．（2021春?龙口市期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝
B．（）2020?（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．（）2020?（）2021＝[（）（）]2020?（+）＝（﹣1）2020?（+）＝+，此选项正确；
C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；
D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；
故选：B．
5．（2020春?德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
6．（2019秋?永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4cm
B．16cm
C．2（+4）cm
D．4（﹣4）cm
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
7．（2019春?济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2
B．﹣4x﹣2
C．﹣2
D．2
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
8．（2018春?涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（ ）
A．小强
B．小芳
C．小强和小芳
D．小强与小芳均错误
【解答】解：原式＝a+＝a+|1﹣a|＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17,
∴小芳的解答正确，
故选：B．
9．（2020秋?崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
10．（2019?随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3
B．5+
C．5﹣
D．5﹣3
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春?海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝ 3 ．
【解答】解：＝＝＝3．
故答案为：3．
12．（2021春?江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于 0 ．
【解答】解：∵≥0，b2≥0，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
∴|2a﹣3|≥1，|b+2|≥0，≥0，
∵|2a﹣3|+|b+2|+＝1，
∴|2a﹣3|＝1，|b+2|＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
13．（2021春?江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 4 ．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
14．（2020秋?宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为 486 ．
【解答】解：∵＝z，＝3，
∴z＝3，x﹣y＝9，
∴2x2z﹣4xyz+2zy2
＝2z（x2﹣2xy+y2）
＝2z（x﹣y）2
＝2×3×92
＝486，
故答案为：486．
15．（2019秋?温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为 ．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a＞0，b＞0，
∴原式＝＝＝，
故答案为：．
16．（2020?浙江自主招生）化简＝ ．
【解答】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴原式＝＝，
∵2+＝＝，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为．
17．（2018秋?金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ 4030 ．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
18．（2019秋?港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝ 2018 ．
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
19．（2019秋?嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系： a+b＝0 ．
【解答】解：∵（+a）（+b）＝1，
等式的两边都乘以（﹣a），得+b＝﹣a①，
等式的两边都乘以（﹣b）得+a＝﹣b②，
①+②，得+b++a＝﹣b+﹣a，
整理，得2a+2b＝0
所以a+b＝0
故答案为：a+b＝0
20．（2014秋?资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为 41 ．
【解答】解：∵+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，
∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，
∴a2+b2的最大值为：
52+（﹣4）2＝41．
故答案为：41．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋?商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝ ﹣ ．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
【解答】解：（1）＝＝﹣．
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）
＝
＝+．
故答案为：+．
22．（2020?唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
【解答】解：（1）＝＝
（2）化简＝＝﹣
（3）化简：+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）
23．（2020秋?浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【解答】解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
24．（2020春?孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
25．（2020春?泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
26．（2019秋?峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|
【解答】解：（1）原式＝2（8﹣9+2）
＝2×
＝10；
（2）原式＝+1+3﹣1+
＝4；
（3）∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．
∴﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
27．（2019?随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1
）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
28．（2019春?宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）＝＝2+．
29．（2018春?常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 3+ 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
30．（2017春?江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝ a2+3b2 ，y＝ 2ab ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+3b2）+2ab，
所以x＝a2+3b2，y＝2ab；
（2）x、y、a、b的值分别取4，2，1，1；
故答案为a2+3b2，2ab；4，2，1，1；
（3）由题意得
a2+3b2＝x，2ab＝8，
∵ab＝4，且a、b为正整数，
∴a＝2，b＝2或a＝1，b＝4或a＝4，b＝1，
∴当a＝2，b＝2时，x＝22+3×22＝16
当a＝1，b＝4时，x＝12+3×42＝49
当a＝4，b＝1时，x＝42+3×12＝19．
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