第五章 分式与分式方程 专题复习（含解析）

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北师大新版数学专题复习《分式与分式方程》
一．选择题（共10小题）
1．（2021?十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝1
B．﹣＝1
C．﹣＝50
D．﹣＝50
2．（2021?嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20
B．﹣＝20
C．﹣＝20
D．﹣＝20
3．（2021?重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5
B．8
C．12
D．15
4．（2021春?沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝4﹣有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（2021春?茅箭区月考）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（　　）
A．＝+2
B．＝﹣2
C．＝+1
D．＝﹣1
6．（2021?铜梁区校级一模）若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝﹣2的解为正数，则满足上述条件的a的和为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．（2021?九龙坡区校级模拟）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
8．（2021春?重庆月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．12
B．13
C．14
D．15
9．（2018春?温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时
B．13小时
C．14小时
D．14小时
10．设x＜0，x﹣＝，则代数式的值（　　）
A．1
B．
C．
D．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋?锦江区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　
　．
12．（2020秋?沙坪坝区校级月考）中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5：4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是　
　元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
13．（2019?雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　
　．
14．（2014春?青羊区期末）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是　
　．
15．（2009春?营山县期末）已知，则＝　
　．
16．已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式++﹣﹣﹣的值等于　
　．
17．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有　
　人．
18．（2021?九龙坡区模拟）临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务（三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为　
　个．
19．（2020秋?北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是　
　（只填写序号），输出的运算结果是　
　．
20．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且＝++，则++＝　
　
三．解答题（共10小题）
21．（2021?包河区三模）市政府为美化城市环境，计划在某区城种植树木2000棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务．求实际每天植树多少棵？
22．（2021?平房区三模）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元，用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍．
（1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元；
（2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3800元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？
23．（2021?岳阳二模）岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
24．（2021?宝安区模拟）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．
（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？
（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？
25．（2020秋?香洲区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝　
　，n＝　
　；
（2）若m＝﹣2，，求的值；
（3）若n＝﹣1，当时，求m的值．
26．（2021春?滨湖区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
27．（2021春?大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
28．（2020秋?连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．
所以＝＝﹣＝3x+1﹣．
这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
29．（2020秋?乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
30．（2021?禅城区校级一模）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
北师大新版数学专题复习《分式与分式方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021?十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝1
B．﹣＝1
C．﹣＝50
D．﹣＝50
【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，
根据题意，得﹣＝1．
故选：B．
2．（2021?嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20
B．﹣＝20
C．﹣＝20
D．﹣＝20
【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得：﹣＝20．
故选：B．
3．（2021?重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5
B．8
C．12
D．15
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣1≠0，
∴1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，
∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，
∴和为8，
故选：B．
4．（2021春?沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝4﹣有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：
解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴﹣1＜2，
解得a＜9，
解分式方程＝4﹣得y＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0且≠3，
∴a＞﹣且a≠3，
∴﹣＜a＜9且a≠3，
满足使方程的解为正整数的整数a的值有0，6两个．
故选：A．
5．（2021春?茅箭区月考）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（　　）
A．＝+2
B．＝﹣2
C．＝+1
D．＝﹣1
【解答】解：设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，
根据题意，得：＝+1．
故选：C．
6．（2021?铜梁区校级一模）若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝﹣2的解为正数，则满足上述条件的a的和为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x≤2，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴0＜≤1，
∴0＜a≤3；
分式方程两边都乘以（y﹣1）得：1﹣3y+2a＝﹣2（y﹣1），
解得：y＝2a﹣1，
∵分式方程的解为正数，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞；
∵y﹣1≠0，
∴y≠1，
∴2a﹣1≠1，
∴a≠1，
∴＜a≤3，且a≠1，
∵a是整数，
∴a＝2或3，
∴2+3＝5，
故选：C．
7．（2021?九龙坡区校级模拟）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜，
∵不等式组有解且至多3个整数解，
∴﹣1＜＜2，
∴﹣3＜m＜6，
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），
∴（m﹣2）x＝3，
当m≠2时，x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠5，
∵方程有整数解，
∴m﹣2＝±1，±3，
解得：m＝3，1，5，﹣1，
∵m≠5，
∴，m＝3，1，﹣1．
故选：C．
8．（2021春?重庆月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．12
B．13
C．14
D．15
【解答】解：，
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1＜≤2，
∴2＜a≤6；
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：ax﹣2﹣3＝x﹣1，
解得：x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴0，≠1，
∴a＞1，a≠5，
∴2＜a≤6，且a≠5，
∴a的整数解为3，4，6，和为13，
故选：B．
9．（2018春?温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时
B．13小时
C．14小时
D．14小时
【解答】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
＝．
解得x＝20
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
则丙的工作效率是．
所以一轮的工作量为：++＝．
所以4轮后剩余的工作量为：1﹣＝．
所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：﹣﹣＝．
所以丙还需要工作小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+＝14小时．
故选：C．
10．设x＜0，x﹣＝，则代数式的值（　　）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：∵x﹣＝，
∴（x）2＝5，
∴x2+＝7，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∵x＜0，
∴x+＝﹣3，
∴x2+1＝﹣3x，
∴x4+1＝7x2，
∵（x2+）2＝x4+2+，
∴x4+＝47，
∴x8+1＝47x4，
∵x3+＝（x+）（x2﹣1+），
∴x3+＝﹣18，
∴x6+1＝﹣18x3，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋?锦江区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　﹣2　．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x＞a+2，
∵解集为x≥5，
∴a+2＜5，
∴a＜3；
分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2），
解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，
∴≥0，
∴a≥﹣2，
∵≠2，
∴a≠2，
综上所述，﹣2≤a＜3且a≠2，
∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，﹣1，0，1，
和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（2020秋?沙坪坝区校级月考）中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5：4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是　4710　元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
【解答】解：设乙的成本价为a，
根据题意列出90﹣s＝40%a，
解得a＝70，
设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），
设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，m+n＝50
则有70n+m（3x+3×）＝6213÷（1+30%）
70n+70m+mx＝4710．
xm＝，
节后乙每盒成本98÷2÷（1+40%）＝35，
甲每盒成本2x+2×x+35﹣x＝35+x，
总成本35n+m（35+x）＝35×50+×＝2657.5．
故答案为：2657.5．
13．（2019?雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　1　．
【解答】解：，
解①得，x＜5；
解②得，
∴不等式组的解集为；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴，
解得，﹣2＜a≤2；
解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；
∵方程的解为非负数，
∴2﹣a≥0即a≤2且a≠1
综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，
∵a是整数，
∴a＝﹣1，0，2；
∴﹣1+0+2＝1，
故答案为：1．
14．（2014春?青羊区期末）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是　　．
【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0，
∴x2＝5x﹣1，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
15．（2009春?营山县期末）已知，则＝　﹣　．
【解答】解：∵﹣＝2，
∴＝2，即x﹣y＝﹣2xy，
原式＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
16．已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式++﹣﹣﹣的值等于　　．
【解答】解：∵xyz＝6，
∴++﹣﹣﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝[（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]，
∵x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，
∴x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，
∴原式＝×[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]＝×（1+1+4）＝＝，
故答案为：．
17．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有　27　人．
【解答】解：设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，由题意得：
xy+x（1+20%）×＜2[x（1+20%）×+6×]，
化简得：0.4y＜11.4
∴y＜28.5，
∵y只能为正整数，且有一人离开后，人数平分
∴y的最大值为27．
故答案为：27．
18．（2021?九龙坡区模拟）临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务（三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为　23760　个．
【解答】解：设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有（200﹣x）人；生产豆沙粽人均y个，白粽子人均（y+15）个，则蛋黄粽子人均y（1﹣20%）＝0.8y个．
由题意得[xy+（y+15）（200﹣x）+100×0.8y]×＝（y+15）×（1﹣20%），
∴（xy+200y+3000﹣xy﹣15x+80y）×＝0.8y+12，
∴y+10﹣x＝0.8y+12，
∴y﹣x＝2，
∴x＝y﹣40．
又∵200﹣x＞0，y＞0，
∴0＜y＜90．
∵需要制作的粽子最多，而粽子总数为300（0.8y+12），y是偶数
∴y＝84时，x＝184，制作的粽子最多为23760．
故答案为：23760．
19．（2020秋?北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是　②　（只填写序号），输出的运算结果是　　．
【解答】解：∵两个分式分母不同，
∴经历路径为②．
根据路径②计算如下：
原式＝，
＝﹣，
＝，
故答案为：②，．
20．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且＝++，则++＝　1　
【解答】解：＝＝＝（），
++＝+＝（），
即：＝，解得：＝1．
故答案为1．
三．解答题（共10小题）
21．（2021?包河区三模）市政府为美化城市环境，计划在某区城种植树木2000棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务．求实际每天植树多少棵？
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵数是2x棵，
根据题意，得﹣＝4．
解得x＝250．
经检验x＝250是原方程的解，且符合题意．
所以2x＝500．
答：实际每天植树500棵．
22．（2021?平房区三模）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元，用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍．
（1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元；
（2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3800元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？
【解答】解：（1）设每个篮球的进价为x元，则每个排球的进价为（200﹣x）元．
根据题意得．
解得x＝120．
经检验x＝120是原分式方程的解．
∴200﹣x＝200﹣120＝80（元）．
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个，
根据题意，得120a+80（40﹣a）≤3800．
解得a≤15．
答：该体育用品商店最多可以购进篮球15个．
23．（2021?岳阳二模）岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
【解答】解：（1）设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为（x﹣5）元/本，
依题意：，
解之得：x＝20．
经检验，x＝20是所列分程的根，且合实际，
∴x﹣5＝15．
答：科普类书单价为20元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设科普类书购a本，则文学类书购（600﹣a）本，
依题意：20a+15（600﹣a）≤10000，
解之得：a≤200．
答：最多可购科普类图书200本．
24．（2021?宝安区模拟）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．
（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？
（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？
【解答】解：（1）设工厂每天可加工生产x万只B型口罩，则
．
解得x＝5．
经检验x＝5是原方程的根．
答：该工厂每天可生产5万只B型口罩．
（2）设安排工厂生产A型口罩a万只，则生产B型口罩（200﹣a）万只，这批口罩的总利润为W万元，则有：
W＝0.8a+1.2（200﹣a）＝﹣0.4a+240．
∵要确保准时交付，
∴．
∵k＝﹣0.4＜0，W随a的增大而减小，
∴当a＝100时，W最大＝200万元．
答：应该安排该工厂生产100万只A型口罩，100万只B型口罩时利润最大．
25．（2020秋?香洲区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝　﹣1　，n＝　﹣6　；
（2）若m＝﹣2，，求的值；
（3）若n＝﹣1，当时，求m的值．
【解答】解：（1）将a＝﹣3，b＝2代入（x+a）（x+b）得：
（x+a）（x+b）＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6．
故答案为：﹣1，﹣6．
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n．
∴，
∴+＝＝＝＝﹣4．
（3）∵a+b＝m，ab＝n＝﹣1，，
∴，
∴，
∴，
∴m2﹣2×（﹣1）+4m+2＝0，
∴m2+4m+4＝0，
∴（m+2）2＝0，
∴m＝﹣2．
26．（2021春?滨湖区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
【解答】解：（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4．
（2）＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6．
27．（2021春?大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
【解答】解：等式两边都乘以ab得：b2+a2+5＝4a+2b，
整理得：（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，b＝1，
代入得：
原式＝．
28．（2020秋?连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．
所以＝＝﹣＝3x+1﹣．
这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．
因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝2x+5+；
（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝5x﹣1﹣，
所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，
因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
所以m＝x+2，n＝﹣x+4，
所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，
所以m2+n2+mn的最小值为27．
29．（2020秋?乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
【解答】解：（1）普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520（千米）；
（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5千米/时，则题意得：
＝﹣3，
解得：x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），
答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时．
30．（2021?禅城区校级一模）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
【解答】解：原式＝×＝．
因为x不能取±1，2，
所以把x＝0代入，原式＝＝﹣．
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