第一章 三角形的证明 专题复习（含解析）

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北师大新版专题复习《三角形的证明》
一．选择题（共10小题）
1．（2021春?江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
2．（2021?南山区校级二模）下列命题中真命题是（　　）
A．的算术平方根是3
B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同
C．正六边形的内角和为360°
D．对角线相等的四边形是矩形
3．（2021春?武汉期中）已知等边三角形的边长为4，则其面积为（　　）平方单位．
A．4
B．8
C．12
D．16
4．（2021春?沙坪坝区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
5．（2021?坪山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（　　）
A．10﹣
B．10﹣10
C．10﹣3
D．10﹣10
6．（2021春?汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2021?滨湖区一模）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（　　）
A．3
B．
C．
D．2
8．（2021?蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD＝∠CAE，若BD＝CD＝6，则AB的长为（　　）
A．6
B．3
C．
D．
9．（2020秋?承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）
A．6
B．12
C．32
D．64
10．（2021?安徽模拟）如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（　　）
A．5
B．5
C．5+5
D．15
二．填空题（共10小题）
11．（2021?天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝　
　，S△ABC＝　
　．
12．（2020秋?江岸区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为　
　．
13．（2021?巩义市模拟）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a＝　
　；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝　
　．
14．（2021春?金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　
　．
15．（2020?皇姑区校级模拟）在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（，0）、Q（0，），C是x轴上一点，以AC为边向右侧作正△ACD，P为AD的中点．当C从O运动到B点时，PQ的最小值为　
　．
16．（2020春?新都区期末）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是　
　．
17．（2019?雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，AC＝5，边BC与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为　
　．
18．（2021?长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　
　．
19．（2018秋?江岸区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝　
　．
20．（2019?鄞州区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是　
　．
三．解答题（共10小题）
21．（2021?蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
22．（2021春?中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
23．（2020秋?潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
24．（2021?西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是　
　（用含a的代数式表示）；
（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是　
　；
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　
　．
25．（2020秋?五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
26．（2020秋?临沭县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，试求∠A的度数．
27．（2020春?东明县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
28．（2019秋?巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
29．（2020秋?朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　
　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　
　．
30．（2020春?揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
北师大新版数学专题复习《三角形的证明》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021春?江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB?PE，S△ACP＝AC?PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB?PE+AC?PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
2．（2021?南山区校级二模）下列命题中真命题是（　　）
A．的算术平方根是3
B．数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同
C．正六边形的内角和为360°
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、的算术平方根是，本选项错误，不符合题意．
B、数据a+2，a，a+3，a+2，a+3与2，0，3，2，3的方差相同，正确，本选项符合题意．
C、正六边形的内角和为360°，错误，应该是720°，本选项不符合题意．
D、对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2021春?武汉期中）已知等边三角形的边长为4，则其面积为（　　）平方单位．
A．4
B．8
C．12
D．16
【解答】解：如图，等边三角形ABC，AB＝BC＝4，
作AD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD＝2，
在Rt△ABD中，AD＝，
∴S△ABC＝BC?AD
＝×4×
＝，
故选：A．
4．（2021春?沙坪坝区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：5：3，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【解答】解：设∠A＝2x°，∠B＝5x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+5x+3x＝180，
解得：x＝18，
∴∠B＝5x°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
5．（2021?坪山区二模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（　　）
A．10﹣
B．10﹣10
C．10﹣3
D．10﹣10
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AC，
∴AC＝2BC＝20，
∴AB＝＝10，
∵∠ADB＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴BD＝AB＝10，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣10，
故选：B．
6．（2021春?汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3．
故选：C．
7．（2021?滨湖区一模）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（　　）
A．3
B．
C．
D．2
【解答】解：作CM⊥AB于点M，点P在A﹣E﹣C上运动时间为+，＝（），
∵∠BAD＝30°，
∴EM＝AE，
∴（）＝（EM+CE），
当C，E，M共线时，点P运动时间最短，
∴CM为三角形中线，点E为重心，
∵∠CAD＝30°，CD＝BC＝3，
∴AD＝CD＝3，
AE＝AD＝2．
故选：D．
8．（2021?蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AD，E为BD中点，连接AE，∠BAD＝∠CAE，若BD＝CD＝6，则AB的长为（　　）
A．6
B．3
C．
D．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，如图：
∵AB＝AD，E为BD中点，
∴AE⊥BD，∠BAE＝∠DAE．
∵BD＝CD＝6，
∴BE＝DE＝3，CD＝4．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DAF，
∴DF＝DE＝3，FC＝＝．
∵∠CFD＝∠AEC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CFD∽△CEA，即，AE＝3．
∴AB＝＝＝6．
故选：A．
9．（2020秋?承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（　　）
A．6
B．12
C．32
D．64
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，
∴B6B7＝＝＝32．
故选：C．
10．（2021?安徽模拟）如图，等边△ABC中，AB＝10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG＝5，则EF+CG的最小值是（　　）
A．5
B．5
C．5+5
D．15
【解答】解：如图：
作C点关于AB的对称点C′，
则C'G＝CG，
取BC的中点Q，
连接EQ，GQ，
∵点E是AC的中点，
∴EQ＝AB＝5＝FG，EQ∥AB，
∴四边形EFGQ是平行四边形，
∴EF＝GQ，
∴当点C'，G，Q在同一条线上时，CG+EF最小，
作C′H⊥BC交BC的延长线于点H，
∵BC＝BC′＝10，∠CBC′＝120°，
∴HC′＝5，HB＝5，
∴HQ＝10，
∴C′Q＝＝5，
∴EF+CG的最小值是5．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．（2021?天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝　90°　，S△ABC＝　8+2　．
【解答】解：∵OA＝OB＝OC＝4，
∴△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，
延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴BC＝OB＝4，
∵S△AOC﹣S△AOB＝2，
∴AO?CN﹣AO?BM＝2（CN﹣BM）＝2，
∴CN﹣BM＝1．
∵∠BOM+∠CON＝90°，∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠CON＝∠OBM，
又∵∠BMO＝∠CNO＝90°，OB＝OC，
在△BOM和△CON中，
∴△BOM≌△CON（AAS），
∴OM＝CN，
在Rt△BOM和Rt△CON中，由勾股定理得：
BM2+OM2＝ON2+CN2＝16，
即BM2+CN2＝16，
联立方程，
解得BM＝或BM＝（舍）．
∴CN＝BM+1＝．
∴S△AOC+S△AOB＝AO?CN+AO?BM＝2（CN+BM）＝2．
∵S△BOC＝OB?OC＝8，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝8+2．
故答案为：90°，8+2．
12．（2020秋?江岸区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为　　．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
若要使BF最大，则AF需要最小，
∴以F为圆心，AF为半径的圆与BC相切即可，
∴FD⊥BD，
∴AB＝AF+2AF＝4，
∴AF＝，
∴BF的最大值为4﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
13．（2021?巩义市模拟）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a＝　6　；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝　3　．
【解答】解：连结PA，PB，PC，设△ABC的BC边上的高为h，则h＝AB?sin60°＝a，
∴S△ABC＝＝×a×a＝a2，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴a2＝，
解得a＝6；
当a＝2时，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴×（2）2＝×++，
∴PH1+PH2+PH3＝3．
故答案为：6；3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等面积法列出方程是解题的关键．
14．（2021春?金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（
∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
15．（2020?皇姑区校级模拟）在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（，0）、Q（0，），C是x轴上一点，以AC为边向右侧作正△ACD，P为AD的中点．当C从O运动到B点时，PQ的最小值为　　．
【解答】解：如图，连接OP，CP，
∵正△ACD中，P为AD的中点，
∴∠AOB＝∠APC＝90°，
∴O、A、P、C四点共圆，
∴∠AOP＝∠ACP＝30°，
∴当PQ⊥OP时，PQ最小，
即PQ的最小值为OQ＝×＝．
故答案为：．
16．（2020春?新都区期末）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是　×（）6a　．
【解答】解：如图1，连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∵∠AFE＝∠ABC＝120°，
∴∠AFD＝∠ABD＝90°，
在Rt△ABD和RtAFD中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，
∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI＝∠FAD＝60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM＝60°＝∠M，
∴ED＝EM，
同理AF＝QF，
即AF＝QF＝EF＝EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，
如图2，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF＝ZN＝a，
∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），
∴∠GFZ＝30°，
∴GZ＝GF＝a，
同理IN＝a，
∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；
同理第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；
同理第四个等边三角形的边长是（）3a，第四个正六边形的边长是×（）3a；
第五个等边三角形的边长是（）4a，第五个正六边形的边长是×（）4a；
…
第n个正六边形的边长是×（）n﹣1a，
∴第七个正六边形的边长是×（）6a．
故答案为：×（）6a．
17．（2019?雁塔区校级四模）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，AC＝5，边BC与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为　　．
【解答】解：延长CD与BA交于点E，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BD于D，
∴△CAE为等腰三角形，D为CE中点，
∴S△ADC＝S△ACE＝S△ADE．
∵BC﹣AB＝2，
∴AE＝2，
当AE⊥AC时，△AEC面积最大，
∴此时△ADC面积最大．
∵CE＝＝＝，
∴AD＝CE＝．
故答案为：．
18．（2021?长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　　．
【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，
在△AEF与△AEC中，，
∴△AEF≌△AEC（ASA），
∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，
∵∠AFC＝∠B+∠ECD，
∴∠ACF＝∠B+∠ECD，
∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，
∵∠ACB＝3∠B，
∴2∠ECD+∠B＝3∠B，
∴∠B＝∠ECD，
∴CF＝BF，
∵BC＝BD，
∴＝，
S△ADB＝DH?AB＝AM?BD，S△ACD＝DN?AC＝AM?CD，
∴＝，
即＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴CF＝BF＝﹣8＝，
∴CE＝CF＝，
故答案为：．
19．（2018秋?江岸区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝　30°或120°﹣α．　．
【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1，
∵△OMN是等边三角形，
∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，
∵∠MNP＝∠AOB＝α，
∴∠PON＝∠PNO，
∴PO＝PN，
△MPO≌△MPN，（SAS）
∴∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝×60°＝30°
（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，
此时△MPQ是等边三角形，
∴∠MPQ＝60°，
∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
故答案为：30°或120°﹣α．
20．（2019?鄞州区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠BAC＝120°，小明要将该三角形分割成两个直角三角形和两个等腰三角形，他想出了如下方案：在AB上取点D，过点D画DE∥AC交BC于点E，连接AE，在AC上取合适的点F，连接EF可得到4个符合条件的三角形，则满足条件的AF长是　5、10或　．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C＝30°，∠BDE＝120°，
∴△BDE是等腰三角形，∠ADE＝180°﹣∠BDE＝60°．
被分割的四个三角形中有两个直角三角形和两个等腰三角形．
①当∠AED＝90°时，如图1：
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝30°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝90°．
则△EFC是等腰三角形．
∵∠AEC＝180°﹣∠BED﹣∠DEA＝60°，
∴△EFC是等腰三角形只可能存在∠FEC＝∠C＝30°的情况，
设AF＝x，
∵∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠AED﹣∠FEC＝30°，
∴EF＝2x，
∵EF＝FC＝2x，
∴AF+FC＝3x＝AC＝15，
∴AF＝5．
②当∠DAE＝90°且∠AEF＝90°时，如图2：
此时∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF＝60°
设AF＝x，则EF＝x，
∵∠EFC＝180°﹣∠AFE＝120°，
又∵∠FEC＝180°﹣∠C﹣∠EFC＝30°，
∴△EFC是等腰三角形，CF＝EF＝x，
∵AC＝AF+FC＝x+x＝15，
∴AF＝x＝10．
③当∠DAE＝90°且∠FEC＝90°时，如图3．
∠FAE＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC﹣∠AED＝30°．
∴AF＝AE，
设AF＝EF＝x，
∵∠FEC＝90°，∠C＝30°，
∴CF＝2x，
∵AF+FC＝x+2x＝3x＝AC＝15，
∴AF＝x＝5．
④当∠AFE＝∠EFC＝90°时，则△ADE是等腰三角形，如图4
∵∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝∠AED＝60°，
∵∠EAF＝∠BAC﹣∠DAE＝60°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝30°．
设AF＝x，则EF＝x．
∵∠EFC＝90°，∠C＝30°，
∴FC＝EF＝3x，
∵AC＝AF+FC＝x+3x＝4x＝15，
∴AF＝．
故答案为：5、10或
三．解答题（共10小题）
21．（2021?蔡甸区二模）如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，
∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，
由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∵DH∥AB，
∴＝，即＝，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵△FAE∽△ACE，
∴＝，
∵AC＝AD＝3AF，
∴＝，EF＝AE＝．
22．（2021春?中原区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
23．（2020秋?潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC?DH＝8×4＝16．
24．（2021?西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是　a2　（用含a的代数式表示）；
（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是　　；
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　﹣1　．
【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝BC＝a，
∴AD＝＝＝a，
∴S△ABC＝BC?AD＝a2；
（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，
∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，
∴a2＝4，
∴a2＝，
即该三角形边长的平方是；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，
∴PN是△GEF的中位线，
∴PN＝EF，
∵N为AB边上的中点，
∴BN＝AB＝1，
∵边长为2的正方形的面积＝4，
∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，
∴a2＝4，
∴a2＝，
即△GEF边长的平方是，
∴EF＝，
∴PN＝，
∵PN2＝BN2+BP2，
∴＝+1+x2，
∴x2＝﹣1；
故答案为：（1）a2；（2）①；③﹣1；
25．（2020秋?五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
26．（2020秋?临沭县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，试求∠A的度数．
【解答】解：设∠EBD＝a，
∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AC＝AB，
∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC＝∠ABC，
∵∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2∠EBD，
∴∠A＝2∠EBD＝2a，
∵∠BDC＝∠A+∠EBD＝3∠EBD＝3a，
∴∠C＝3∠EBD＝3a，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴2a+3a+3a＝180°，
∴a＝22.5°．
∴∠A＝2a＝45°．
27．（2020春?东明县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．
28．（2019秋?巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；
（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA＝30°
∴AQ＝AP，
∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，
∴当t＝3时，PQ∥BC．
29．（2020秋?朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　9　．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
30．（2020春?揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
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