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第二章
一元二次函数、方程和不等式
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高一上学期11月学情检测数学试题）设，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知，，记，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
4．已知x≥，则y＝有（
）
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
5．（江西省景德镇一中2020-2021学年高二下学期期末数学试题）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（甘肃省民乐县第一中学2021届高三5月第二次月考数学试题）命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（江西省南昌市八一中学2020-2021学年高一5月份考试数学试题）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．或或
D．或}
8．（浙江省舟山市普陀中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题）新冠病毒疫情期间，武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以
km/h的速度匀速直达武汉灾区．
已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（
）
A．70km/h
B．80
km/h
C．90
km/h
D．100
km/h
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（河北省秦皇岛市抚宁区第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题）已知是关于的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（河北省石家庄市藁城九中2020-2021学年高二下学期期中数学试题）已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（
）
A．5
B．6
C．7
D．9
11．（江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题）周长为的直角三角形的面积可能为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（江苏省南通市海门市包场高级中学2020-2021学年高一上学期9月学情调研数学试题）下列说法中正确的有（
）
A．不等式恒成立
B．存在，使得不等式成立
C．若，，则
D．若正实数，满足，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（河北省石家庄二中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题）与的大小关系为___________.
14．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试数学试题）已知关于x的不等式的解集是，则____________，____________.
15．（天津市宝坻区第一中学2021届高三下学期二模数学试题）已知，，且，则的最小值为____________．
16．（江西省抚州市南城一中2020-2021学年高一5月月考数学试题）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（河北省唐山英才国际学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题）已知，，求的范围.
18．（12分）（湖北省黄石市大冶市第一中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题）已知，.
（1）求证：；
（2）若，求a+4b的最小值.
19．（12分）（辽宁省大连市第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题）已知命题，命题（）.
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
20．（12分）（江西省九江市六校2020-2021学年高一下学期期末数学试题）我们知道，，因此，当且仅当时等号成立.即，的算术平均数的平方不大于，平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数的最大值；
（2）已知，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）（天津市静海区第一中学2020-2021学年高一上学期9月学生学业能力调研数学试题）根据要求比较一下各组中的的大小.
（1），，其中均为正实数；
（2），，其中均为正实数.
22．（12分）（江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高一上学期阶段检测（六）数学试题）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
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第二章
一元二次函数、方程和不等式
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高一上学期11月学情检测数学试题）设，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A：当时，没有意义，所以本选项不一定成立；
B：当时，显然，但是不成立，所以本选项不一定成立；
C：，因为，所以，因此本选项一定成立；
D：当时，显然，但是不成立，所以本选项不一定成立，
故选C.
2．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由于x+≥2，由题意知t2-t≤2，解得-1≤t≤2.
所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分条件.
故选B.
3．已知，，记，，则M与N的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】B
【解析】由题意得，，所以、，
所以，故．
故选B．
4．已知x≥，则y＝有（
）
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
【答案】D
【解析】y＝＝＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1，没有最大值.
故选D.
5．（江西省景德镇一中2020-2021学年高二下学期期末数学试题）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.故选C.
6．（甘肃省民乐县第一中学2021届高三5月第二次月考数学试题）命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】命题，使为真命题，
即，使成立，即能成立
设，则，当且仅当，即时，取等号，即，，
故的取值范围是．故选C．
7．（江西省南昌市八一中学2020-2021学年高一5月份考试数学试题）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．或或
D．或}
【答案】C
【解析】因为不等式的解集为，所以，，
所以不等式为，即，
，
方程的4个根从小到大依次为，
因此原不等式的解集为或或．
故选C．
8．（浙江省舟山市普陀中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题）新冠病毒疫情期间，武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以
km/h的速度匀速直达武汉灾区．
已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（
）
A．70km/h
B．80
km/h
C．90
km/h
D．100
km/h
【答案】C
【解析】第一辆汽车到达用，由题意，每隔到达一辆，
则最后一辆汽车到达的时间为，
要使这批物资尽快全部到达灾区，即就是最后一辆汽车到达的时间最短，即求最小时汽车的速度，
因为，当且仅当，即时等号成立，故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．（河北省秦皇岛市抚宁区第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题）已知是关于的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】是关于的一元二次方程的两根，，
故，
由，得，
或，或.故选ABC.
10．（河北省石家庄市藁城九中2020-2021学年高二下学期期中数学试题）已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（
）
A．5
B．6
C．7
D．9
【答案】BC
【解析】设，函数图象开口向上，且对称轴为，
因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，
需满足，即，解得，又因为，所以或或，
故选BC.
11．（江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题）周长为的直角三角形的面积可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】设三边为且为斜边，
∴，而直角三角形的面积，仅当等号成立，而时，可得，
∴.故选CD.
12．（江苏省南通市海门市包场高级中学2020-2021学年高一上学期9月学情调研数学试题）下列说法中正确的有（
）
A．不等式恒成立
B．存在，使得不等式成立
C．若，，则
D．若正实数，满足，则
【答案】BCD
【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；
当为负数时，不等式成立.故B正确；
由基本不等式可知C正确；
对于，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故选BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（河北省石家庄二中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题）与的大小关系为___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，故答案为：
14．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试数学试题）已知关于x的不等式的解集是，则____________，____________.
【答案】
【解析】因为不等式的解集是，
所以和是方程两个根，
把代入可得；再把代入可得或（舍），
故答案：
3.
15．（天津市宝坻区第一中学2021届高三下学期二模数学试题）已知，，且，则的最小值为____________．
【答案】18
【解析】已知，，且．
，即：．
则，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为18．
故答案为18．
16．（江西省抚州市南城一中2020-2021学年高一5月月考数学试题）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】∵，，且，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，
由解得，故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（河北省唐山英才国际学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题）已知，，求的范围.
【解析】解：，
，又，
.
18．（12分）（湖北省黄石市大冶市第一中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题）已知，.
（1）求证：；
（2）若，求a+4b的最小值.
【解析】（1）∵，
∴.
（2）由，即，
所以.
19．（12分）（辽宁省大连市第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题）已知命题，命题（）.
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【解析】解不等式，得，命题：；
解不等式，得，命题：；
(1)
若是的必要不充分条件，则由逆否命题知，是的必要不充分条件，
有，解得或.
所以实数的取值范围为{m|或}.
(2)当时，：
因为命题与有且只有一个为真命题
当真假时，
由得，；
当假真时，
由得，或.
综上可知，实数的取值范围为{x|或}.
20．（12分）（江西省九江市六校2020-2021学年高一下学期期末数学试题）我们知道，，因此，当且仅当时等号成立.即，的算术平均数的平方不大于，平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数的最大值；
（2）已知，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立.
而，故函数的最大值为.
（2）当，时，有，所以
即，当且仅当时等号成立.因此的最小值为.
恒成立恒成立.
故实数的取值范围是.
21．（12分）（天津市静海区第一中学2020-2021学年高一上学期9月学生学业能力调研数学试题）根据要求比较一下各组中的的大小.
（1），，其中均为正实数；
（2），，其中均为正实数.
【解析】（1）由于，，
则
，
即，
而均为正实数，即，
则，所以，
所以；
（2）已知，，
则
，
即，
而均为正实数，即，
则，
若，则，则，所以；
若，则，则，所以；
若，则，则，所以；
22．（12分）（江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高一上学期阶段检测（六）数学试题）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【解析】（1）设每件定价为t元,
依题意得,
整理得,
解得：25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,
所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
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