2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之坐标系与参数方程(Word版，含解析）

（13）坐标系与参数方程——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年全国甲卷(理)，22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点.
2.【2021年全国乙卷(理)，22】在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为1.
（1）写出的一个参数方程.
（2）过点作的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
3.【2021年陕西榆林模拟(文)，22】以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于两点，求.
4.【2021年安徽桐城模拟，22】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是
(t为参数)，以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标(，).
5.【2021年山西运城模拟(理)，22】已知在平面直角坐标系中圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的普通方程与极坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为，求圆C上的点到直线l的最大距离.
6.【2021年广西桂林模拟(文)，22】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求l的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，与l的交点为A，与异于极点的交点为B，求.
7.【2021年广西北海模拟(理)，22】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点且倾斜角为60°，曲线C的参数方程为（α为参数）.
（1）以原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（2）求直线l被曲线C所截得的线段的长度.
8.【2021年甘肃白银模拟(文)，22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.
9.【2021年宁夏银川模拟，22】在平面直角坐标系xOy中，直线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于A，B两点，且，求.
10.【2021年四川简阳模拟(文)，22】在平面直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的参数方程，曲线的极坐标方程；
(2)若是曲线上两点，当时，求的取值范围.
11.【2021年江西赣县模拟(文)，22】平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
(2)已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．
12.【2021年江西新余模拟(理)，22】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且，），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点，直线l与曲线交于两点，在第一象限，求.
13.【2021年安徽黄山模拟(理)，22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线（）与曲线，分别交于点（均异于原点O）.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）当时，求的最小值.
14.【2021年安徽安庆模拟(文)，22】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)直线l与曲线C交于两点，设点P的坐标为，求的值.
答案以及解析
1.答案：（1）根据，得，
因为，，
所以，所以C的直角坐标方程为.
（2）设，，则，.
因为，所以即
因为M为C上的动点，
所以，即.
所以P的轨迹的参数方程为（其中为参数，）.
所以，的半径，又的半径，所以，
所以C与没有公共点.
2.答案：（1）的圆心为，半径为1，
则的标准方程为，
的一个参数方程为（为参数）.
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在.
设切线方程为，即.
圆心到切线的距离，解得，
所以切线方程为.
因为，，所以这两条切线的极坐标方程为.
3.答案：（1）∵，即，
∴曲线C的直角坐标方程为.
（2）直线l的参数方程为(t为参数)，代入，整理得，
设对应的参数分别为，∴，.
∴.
4.答案：（1）
，消去参数t，化为普通方程为，将代入得，曲线C的普通方程为
（2）
C的普通方程为，由解得或，所以l与C交点的极坐标分别为
5.答案：（1）圆C的圆心C为，半径，
则普通方程为.
，，，
故极坐标方程为，
即.
（2）由得，
化为普通方程得，即.
圆心到直线l的距离.
故圆C上的点到直线l的最大距离为.
6.答案：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），
所以直线l的普通方程为，
又，，
故直线l的极坐标方程为.
由曲线的极坐标方程为，得，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2），，
则，解得.
又，
所以.
7.答案：（1）因为曲线C的参数方程为（α为参数）
所以其普通方程为.
将，代入可得曲线C的极坐标方程为.
（2）因为直线l过点且倾斜角为60°，
则直线l的参数方程为（t为参数）.
将直线的参数方程代入曲线C的方程中，可得.
设，为方程的两个根，则，.
所以直线l被曲线C所截得的线段的长度为.
8.答案：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），
所以，，
相减可得，即曲线C的普通方程为.
直线l的极坐标方程为，则，
转换为直角坐标方程为.
（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数），
令点A，B对应的参数分别为，，
由代入，得，
则，，
故.
9.答案：（1）由，得：.
又，，C的直角坐标方程为；
（2）直线l的参数方程为（其中t为参数，），
将它代入，
得：，
设A，B对应的参数分别为，，则，，
，又，，
，即.
10.答案：(1)曲线的普通方程为，即，
故曲线的参数方程为(为参数).
令，
则可化为，即，
故曲线的极坐标方程为.
(2)将点代入曲线的极坐标方程得，
.
，
，
.
的取值范围是.
11.答案：(1)把直线的参数方程化为普通方程为，
∵，∴直线的极坐标方程为，
由，可得，
∴曲线的直角坐标方程为.
(2)直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，
又直线过点，
∴直线的参数方程为为参数)，
将其代入曲线的直角坐标方程可得，
设点对应的参数分别为．
由一元二次方程的根与系数的关系知．
∴．
12.答案：（1）化简曲线的参数方程得，（为参数，且，）
消去参数得曲线的普通方程.
化成极坐标方程为，
（2）易知直线极坐标方程为，
代入.
得：，
而M在第一象限，Q在第三象限，因此：
13.答案：（1）的普通方程为，代入得的极坐标方程为，的极坐标方程为
.
（2）联立与的极坐标方程得，
联立与的极坐标方程得，
则，
∴最小值为.
14.答案：（1）曲线，
直线
（2）设
将l的参数方程
代入得
故
，
故