第三讲 一元二次方程根与系数的关系（一）2021年初高衔接数学专题讲义（Word含答案）

第三讲
一元二次方程系数的关系（一）
【基础回顾】
一、基础知识：
知识点一：判别式
对于一元二次方程，判别式
，
当
，方程有两个不等的实数根；
当
，方程有两个相等的实数根；
当
，方程没有实数根.
知识点二：根与系数的关系
若，则一元二次方程有两个实数根，分别为：
，，
则+；
·.
一元二次方程根与系数的关系，我们也称为韦达定理，而定理的前提是方程有两个
实数根，即.
知识点三：根据两根构造一元二次方程
根据根与系数的关系，我们可知以两个实数为根的一元二次方程为：
二、基础自测：
1.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为
；
2.若2是关于的方程的一个根，则
；
3.已知是方程的两根，则
，
；
4．以3和为两根的一元二次方程为
.
【典型例题】
例1.（1）一元二次方程的一个根是3，则它的另一根是
；
（2）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
；
（3）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个
直角三角形的斜边长是
；
（4）若满足方程组
，且，则
，
．
例2.若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
例3.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1)
方程两实根的积为5；
(2)
方程的两实根满足．
【小结】
1.利用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.利用根与系数关系求解方程的根或方程总系数问题时，首先要保证方程有两个根，
即
【巩固练习】
1.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围
是
。
2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范
围是
；
3.设关于x的方程
的两实数根的平方和是11，
则
；
4．一元二次方程的两实根之差是2，两根之积为35，二次项系数为1，则这个方
程为
；
如果方程的两根相等，则之间的关系
是
；
若实数，且满足，则代数式
的值为
；
7．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存
在，请您说明理由．
8．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且
，求的值．
9．设
是方程
的两根，不解方程，求下列各式的值：
　　①
；②
；③
；④
．
10．关于的一元二次方程的实数解是．
（1）求的取值范围；（2）如果且k为整数，求k的值．
【拓展提高】
1．讨论方程的根的情况．
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,求证：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根是，若，则．
参考答案
【基础回顾】
1.
2.1
3.
4.
【巩固练习】
2．且
3．1
4．或
5．
6．
7．解：（1）由题意得：，解得；
（2），解得，所以不存在．
8．解：由题意知：
又∵
∴
得，
，而当时，原方程的判别式，此时方程无解，
∴不合题意舍去。
∴
．
9．解：由题意，
①；
②；
③；
④
．
10．解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故k的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．
【拓展提高】
1．解：①时，方程无实数根；
②时，方程有一个根为；
③时，，所以时，方程无实数根，
时方程有两个不等的实数根；
综上：时，方程有一个根为；
时，方程无实数根；
时方程有两个不等的实数根．
2．
解：（1）由题意：，所以，
，
因为所以，所以方程有两个不相等的实数根；
（2）因为，所以，又，
所以解方程得：，所以．
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