第六讲 二次函数（一）- 2021年初高衔接数学专题讲义（Word含答案）

第六讲
二次函数的图象与性质
【基础回顾】
一、基础知识：
知识点一：二次函数的概念
1.二次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．
2.二次函数的表示：（1）若已知抛物线上三点，可利用二次函数的一般式：
；
（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：
，其中顶点为，对称轴为；
（3）若已知抛物线与x轴交点的横坐标，则可采用交点式：
，其中与x轴的交点坐标为．
知识点二：二次函数的图象及性质
1.二次函数的图象是一条抛物线；顶点坐标为（－，），对称轴
为x=－；当时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当时，抛物线开口向下，
顶点是最高点;越小，抛物线开口越大．
2.判别式：
当>0时，抛物线一定与轴有两个交点.
当=0时，抛物线与轴有一个交点.
当<0时，抛物线与轴没有交点.
知识点三：图象的平移
二次函数的顶点为原点，对称轴是轴，将它的图象向左或
向右平移个单位，再向上或向下平移个单位，即可得到
的图象，其顶点是，对称轴是直线，形状、开口方向与抛物
线相同．
二、基础自测：
1.若二次函数配方后为则、
的值分别为
；
2.将的图象向右平移3个，向上平移4个单位,得到函数
的图象；
3.
二次函数的图像的顶点坐标是
；
4．已知，在同一坐标系中与的图象可以是
；
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
（1）
（2）
（3）
（4）
【典型例题】
例1.（1）已知二次函数的图象经过(1,3)和(0,4)及(2,6)三点,则二次函数解析式是
；
（2）已知二次函数图象经过（0，1）（3，0）（1，0）三点，则二次函数解析式是
；
（3）已知二次函数图象的顶点坐标为且通过点（1，10），则二次函数解析式
是
；
（4）已知二次函数图象过点（0，－2），（1，2）且对称轴为,
则二次函数解析
式是
.
例2.已知：二次函数为，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2）为何值时，顶点在轴上方；
（3）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移5个单位后图象与轴有两个不
同的交点，求的取值范围；
（4）若抛物线与轴交于A，过A作AB∥轴交抛物线于另一点B，当S△AOB
=4时，求此
二次函数的解析式．
例3.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象
交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的表达式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【小结】
1.二次函数的性质（开口方向，对称轴，顶点等）要结合图形去理解；
2.图象的平移，要抓住解析式与图象的对称轴，顶点等位置的关系.
【巩固练习】
1.抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0),
则此抛物线与x轴的另一个
交点的坐标是
；
2.已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①；
②
；
③；
④方程（a≠0）有两个大于－1的实数根，
其中正确的结论有
；
3.已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）
四点，则与的大小关系是
；
4.抛物线的顶点在轴上,则顶点坐标是
；
5.点A，B的坐标分别为（1,
4）和（4,
4）,抛物线的顶点在线段AB上
运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的
横坐标最大值为
；
6.已知函数，并且是方程
的两个根，则实数的大小关系可能是
；
7.定义[]为函数的特征数,
下面给出特征数为
的函数的一些结论，其中正确的结论有
；
①
当时，函数图象的顶点坐标是(，)；
②
当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③
当时，函数在x
>时，y随x的增大而减小；
④
当时，函数图象经过同一个点.
8.如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.
9.已知二次函数的图象经过A(2,4),其顶点的横坐标是,它的图象与
轴交点为B()和()，且.
①求函数的解析式；②在轴上方的图象
上是否存在着D,使S△ABC=2S△DBC，若存在,求出D的值；若不存在,说明理由.
【拓展提高】
1．已知抛物线经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿。
2．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的
两侧，并且AB＝，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存
在关于原点对称的两点M、N，并且
△MNC的面积等于27，试求m的值.
参考答案
【基础回顾】
1．
2．
3．（-1，8）
4.（1）（2）
【巩固练习】
1.（3,0）
2.②④
3.
4.(-,0)
5．8
6．
7．①②④
8.解：(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入
得:，
解得
∴这个二次函数的解析式为.　
(2)
∵该抛物线对称轴为直线
∴点C的坐标为(4，0)
∴AC=OC－OA=4－2=2
∴　　
　
9.解：（1）由题意得
①
②
因为，=0
所以
③
由①②③解得:
，所以函数的解析式为；
（2）设D()
，
B(3,0)
则S△ABC=，
S△DBC=
∴，将
，得，
∴D.
【拓展提高】
1．﹝2,-6﹞
2.解:（1）Ａ（x1，0）,B(x2，0)
，则x1
，x2是方程
x2－mx＋m－2＝0的两根.
∵x1
＋
x2
＝m
,
x1·x2
=m－2
＜0
即m＜2
;
又AB＝∣x1
—
x2∣＝
,
∴m2－4m＋3=0
.
解得：m=1或m=3(舍去)
,
∴m的值为1
.
（2）M(a，b)，则N(－a，－b)
.
∵M、N是抛物线上的两点,
∴
①＋②得：－2a2－2m＋4＝0
.
∴a2＝－m＋2
.
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N，∴
.
这时M、N到y轴的距离均为,
又点C坐标为（0，2－m）,而S△M
N
C
=
27
,
∴2××（2－m）×=27，∴解得m=－7
.
E
B
A
C
P
O
x
y
D
x
=1
N
M
C
x
y
O
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