第四讲 一元二次方程根与系数的关系（二）-2021年初高衔接数学专题讲义（Word含答案）

第四讲
一元二次方程系数的关系（二）
【基础回顾】
一、基础知识：
知识点一：根与系数的关系
若，则一元二次方程有两个实数根，设为，则
，.
知识点二：已知一元二次方程有两个实数根
（1）若两根均为正实数，即，则；
反之，若两实数根满足，则.
（2）若两根均为负实数，即，则；
反之，若两实数根满足，则.
（3）若一根为正实数一根为负实数，则；
反之，若两实数根满足，则一根为正实数一根为负实数.
综上：若方程的两根同号，则
；若方程的两根异号，则
.
注：以上结论成立的前提条件是：.
思考：若两实数根均大于1呢？能得到什么样类似的结论？
二、基础自测：
1.若是方程的两个根，则的值为
；
2.若方程的两根之差为1，则的值是
；
3.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程
的根，则等于
；
4．已知且，则=
；
5．已知关于x的方程
的两个实根同号，则m的取值范围为
．
【典型例题】
例1.已知关于x的方程，
①若方程的两根互为相反数，则
；
②若方程有两个正实数根，则的取值范围为
；
③若方程一根大于0，一根小于0，则的取值范围为
．
例2.已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．
求证：关于的方程有实数根．
例3.
已知是一元二次方程的两个实数根．
(1)
是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，
请您说明理由．
(2)
求使的值为整数的实数的整数值．
例4.已知关于x的方程
，
求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的一个根小于1，另一个根大于1，求m的取值范围．
【小结】
1.能利用根与系数的关系解决简单的根的分布问题；
2.根据根的情况，求出方程中参数的值或范围；
3.含参的一元二次方程问题，要注意二次项系数是否为0.
【巩固练习】
1．若，关于的方程有两个相等的正实根，则=
；
2．关于x的方程有两个不相等的实根，且有
，则的值是
；
3．若关于x的一元二次方程的两个实数根为，且满足，
则k的值为
．
4．设是方程的两个实数根，则的值为
；
5．若n（）是关于x的方程的根，则的值为
；
设是方程的两实根，是关于的方程
的两实根，则=
，=
．
7．已知关于x的方程有实数根，求满足下列条件的的取值范围，
（1）有两个正数根，（2）两个根异号．
8．已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．
9．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长，
(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是时，求的值．
10．关于的方程只有正实数根，求的取值范围．
【拓展提高】
1．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
(1)
求实数的取值范围；
(2)
若，求的值．
2．一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求的取值范围。
参考答案
【基础回顾】
1.2
2.或9
3.
4.
5.
【巩固练习】
1．1或4
2．
3．
6
4．2008
5．
6．
7．解：（1）由题意：，
所以；
（2），所以．
8．解：（1）由方程有两个实数根，可得
，解得：
（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），
由（1）可知，∴2（k﹣1）＜0，
∴，解得k1=1（舍去），k2=﹣3，
∴k的值是．
9．解：（1）设方程的两个实数根为，则
，解得；
（2），
所以，解得
由（1），所以．
10．解：（1）时，方程为，有正实数根，符合；
（2）时，设方程的两实数根为，
则
，解得，
综上可得的取值范围为．
【拓展提高】
1．分析：方程两根都大于1，则方程两根都减去1后，都大于0，
可仿照两根符号与系数关系可得相应结论．
解：（1）由题意得：，又因为都大于1，
所以
解得
（2），又，解得．
2．解：设此三角形的三边长分别为，且为的两根，
由题意知：△＝-4×2×2≥0，，，所以k≥16
（1）
又因为为三角形的三边长，所以
且，所以（2）
综上（1）（2）的取值范围为
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