第五讲 一次函数 -2021年初高衔接数学专题讲义（Word含答案）

第五讲
一次函数
【基础回顾】
一、基础知识：
知识点一：一次函数的图象与性质
一次函数（≠0）的图象是一条直线，确定2个点就可以作出一次函数的图象；一次函数与轴的交点坐标是，称为直线的横截距；与轴的交点坐标
是，称为直线的纵截距；
（1）时，为正比例函数y=kx，它的图象是经过原点（0，0）的一条直线；
（2）时，可分成四种情况来讨论.
函数解析式
k的符号
b的符号
经过的象限
图象性质[
示意图
y=kx+b
k＞0
b＞0
第一、二、三象限
y随x增大而增大
k＞0
b＜0
第一、三、四象限
y随x增大而增大
k＜0
b＞0
第一、二、四象限
y随x增大而减小
k＜0
b＜0
第二、三、四象限
y随x增大而减小
知识点二：一次函数与一次不等式、一次方程（组）的关系：
（1）二元一次方程的每一组解就是对应一次函数图象上的点的坐标．
（2）二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标．
（3）对于一次函数，当时，对应的x值即为一元一次方程的解；
当时，对应的x的取值范围即为一元一次不等式的解集．
知识点三：直线的平移
将一次函数的图象向上或向下平移个单位，即可得到的图象，
将一次函数的图象向左或向右平移个单位，即可得到的图象；
二、基础自测：
1.一次函数的图象不经过第
象限；
2.已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，
则一次函数=-+的图象不经过第
象限；
3.一次函数与反比例函数的图像交于点A(2，1),B(－1，－2)，则使
的ｘ的取值范围是
；
4.把直线向上平移6个单位，可得到直线,则的解析式为
；
此时直线向左平移了
个单位
5．直线：与直线：在同一平面直角
坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式
的解为
.
【典型例题】
例1.已知一次函数
（1）若函数与坐标轴的交点分别为，求一次函数的解析式．
（2）若一次函数的图像与反比例函数的图像交于，，
求一次
函数的解析式．
例2.某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那
么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝10－3毫克），接着逐
步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量（微克）随时
间（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：
（1）分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，
在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长？
例3.已知直线与轴、轴分别交于点A、B，另一直线
（≠0）经过点C（1，0），且把△AOB成两部分.
（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线的解析式；
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过C的直线的解析式.
例4.某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含
量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料
共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮
料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料饮料
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克
【小结】
1．理解一次函数及其图象的性质，体会方程与函数的关系；
2．能确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．
【巩固练习】
1.一直线与轴相交于点A（0，－2），与轴相交于点B，且tan∠OAB＝，则这条直
线的解析式为
；
2.已知直线（≠0）与轴的交点在轴的正半轴上，下列结论：①＞0，
＞0；②＞0，＜0；③＜0，＞0；④＜0，＜0，其中正确结论的个数为
；
3.若函数与的图像交于轴上一点A，且与轴分别交于B、C两
点，则△ABC的面积积为
；
4．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是
；
5．小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜
到市场去销售，在销售了部分西瓜后余下的每千克降价
0.40元，全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，
那么小李赚
元；
6．如图，已知直线PA:交轴于Q，直线PB:
若四边形PQOB的面积为，则＝
；
7．一次函数的图像经过点A（0，1），B（3，0），若将该图像沿着轴向左平移
4个单位，则此图像沿轴向下平移了
单位；
8．如图，已知直线与交于点P（1，4），它们分别与轴交于A、B，
PA＝PB，PB＝，（1）求两个函数的解析式；（2）若BP交轴于点C，求四边
形PCOA的面积．
9．如图，已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、B两点，点C、D都在轴的正半轴上，D点坐标为（2，0），若两钝角∠ABD＝∠BCD．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P是直线BD上一点，且，求P点坐标．
10．如图，直线分别交轴、轴于A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴于B，。（1）求点P的坐标；（2）设点R与点P在同一反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥轴于T，当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时，求点R的坐标。
【拓展提高】
1．已知M（3，2），N（1，－1），点P在轴上且PM＋PN最短，则点P的坐标为
；
2．如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA、OB的长是方程
的两个根（OB＞OA），P为直线上A、B两点之间的一动
点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q。
（1）求tan∠BAO的值；
（2）若时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长。
（3）在轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形。若存在，请直接写出点M
的坐标，若不存在，请说明理由。
参考答案
【基础回顾】
1.三
2.三
3．
4.,
2
5．
【巩固练习】
或
2．2
3．6
4．0≤＜
5．
36
6．2
7．
8．（1）作PH⊥AO，则PH＝4，OH＝1，BH＝∴B（－1，0），
设A（，0），则AH＝，AP＝AB＝，，解得。
∴A（4，0），故直线PB：；直线AP：。
（2）
9．（1）；（2）P（1，）或（3，）
10．（1）P（2，3）；（2）B（3，2）或（，）
【拓展提高】
1．（0，）
2．
（1）tan∠BAO＝；（2）PQ＝4；（3）存在，M（0，0）或（0，）或（0，）
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