高一数学学案
序号
014
高一
年级
清北
班
学生
基本不等式（3）
学习内容
①基本不等式在实际问题、综合问题中的应用；
②审题—构建数学模型—解决问题-回答实际问题
重点：构建数学模型
难点：理解题意
典型例题
1．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：
(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．
练习1.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
练习2．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
课后作业
1．森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟．
（1）求出与的关系式；
（2）求为何值时，才能使总损失最少．
2．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
3．南康某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
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014
高一
年级
清北
班
学生
基本不等式（3）
学习内容
①基本不等式在实际问题、综合问题中的应用；
②审题—构建数学模型—解决问题-回答实际问题
重点：构建数学模型
难点：理解题意
典型例题
1．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：
(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．
解：(1)当时，，，
（2）由(1)得
令，则(当且仅当即时等号成立)，此时。因此的最小值为70.
练习1.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
解：（1）设米，则
综上所述，的长度范围为。
（2）
当且仅当即时取得等号。
综上所述，当的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米。
（3），当AN越大，矩形AMPN的面积也越大，因此当的长度不少于6米时，矩形AMPN的最小面积在AN=6米时取得，最小面积为27.
练习2．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
解：依题意，时，不等式有解，等价于时，有解。
当且仅当时，等号成立。
所以，当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
课后作业
1．森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟．
（1）求出与的关系式；
（2）求为何值时，才能使总损失最少．
解：(1)由已知可得，所以
设总损失为元，
当且仅当，取最小值.即需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36450元.
2．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
解：（1）由题意
，，当且仅当时，即取得等号。
当取得最小值时，取得最大值。
因此。综上所述，当汽车的平均速度为40（千米/时）时，车流量最大；最大车流量是11.1（千辆/时）
令，整理得，即，解得
所以，要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在（千米/时）
3．南康某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
解：
（1）由题意知：每件产品的销售价格为
（2）由
当且仅当，即时取等号.
故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.
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