湘教版九年级上册数学2.4 一元二次方程根与系数的关系 教案

《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
一、教材分析
“一元二次方程根与系数的关系”是湘教版数学九年级上册第二章2.4节的内容。本节内容为选学内容。一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理）是在学习了一元二次方程的解法及根的判别式之后来进一步揭示根与系数的关系，是对前面知识的巩固与深化，又为今后继续研究一元二次方程根的情况作下一个铺垫，因此虽为选学内容，但却起着承上启下的重要作用。同时，在教学内容中体现的数学方法和数学思想对学生数学能力的培养起到非常重要的作用。
二、学情分析
本节课的教学对象是九年级学生，在此之前，他们已经学习了一元二次方程的解法及根的判别式，虽然学生的学习能力有差异，但大部分学生已经会解一元二次方程。同时，这一年龄阶段学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡，已经具备一定的归纳推理能力和团结协作意识，相信在教师的引导下应该能很好地完成本节教学内容。
三、教学目标
1．知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2．过程与方法：经历“实践—观察—发现—猜想—证明”的过程教学，培养学生分析、观察、归纳能力和推理论证能力,并渗透整体、转化、特殊到一般的数学思想。
3．情感与态度：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望培养学生积极学习数学的态度,体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
四、教学重点、难点
重点：一元二次方程根与系数的关系及运用。
难点：一元二次方程根与系数的关系的推导及运用
五、教学过程
教学环节
教学活动
设计意图
情景导入
生活中许多事情存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到了伟大的的定理。同学们，你们知道万有引力是谁发现的吗？是怎样发现的呢？
其实，在我们的数学学科中也存在着大量的规律，比如：勾股定理。大家知道是谁发现的，怎样发现的呢？毕达哥拉斯，他在一个重要的宴会上，发现脚下排列规则、美丽的方形瓷砖，联想到它们和"数"之间的关系，经过仔细测量，计算发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和。于是他大胆猜想,并经过严谨证明，伟大的勾股定理就这样诞生了。那么一元二次方程中的根与系数是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究，体验一次当科学家的感受。
让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。
合作探究
合作探究
1.填表：
方程
(
2．发现：上述方程中两根之和，两根之积与方程
的系数有什么关系？
)
(
3．猜想：
若方程
的两根是
，
那么
)
(
4．
猜想：
若方程
的两根是
，
那么
)
活动设计：
让学生填写第一个表格（解方程昨天已布置完成）
小组讨论方程中两根之和，两根之积与方程的系数有什么关系？（2分钟）
派代表用语言描述所得关系
全班同学大胆猜想得出结论
那二次项系数不为1的一元二次方程的根与系数具有怎样的关系呢，形如的方程，如果，两根为，，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。然后引导学生，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程
∵∴
∴，
5.
验证猜想:若方程的两个根是，
那么，
证明：
让学生经历“实践—观察—发现—猜想—”的过程发现根与系数关系。
培养学生分析、观察、归纳能力和推理论证能力，并渗透，转化、特殊到一般的数学思想。
从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度,勇于探索、积极思维的精神。
得出定理
学以致用
一元二次方程根与系数的关系：
若方程的两个根是，
那么，
又称“韦达定理”
例1设方程的两根为求下列方程两根和与两根积。
（1）
（2）
解：根据韦达定理可得，
（1）
（2）
总结：运用韦达定理，必须先判断根的判别式是否大于等于零。
例2.已知关于的方程的一个根为，求它的另一个根及q的值
解法一：将代入方程。
得q=0，原方程为
则
另一个根是0，q=3。
解法二：设原方程的另一个根是，
则
解得
得
所以另一个根是0，q的值是0
通过证明，发现这个结论是正确的。早在16世纪，法国数学家就证明了这个规律，为了纪念韦达对数学界所作出的贡献又称“韦达定理”。
让学生明白不用解方程，可直接求方程的两根之和与两根之积
进一步巩固根与系数的关系，体会根与系数的关系在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
巩固练习
(采用砸金蛋的方式,将1,2,3题设置成3道口答题.)
1.口答：设分别是一元二次方程的根，
2.判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。
3.下列一元二次方程两个实数根的和为的是
②
（填正确的序号）
①
②
③
4．已知黑板的长和宽是方程的两根，求黑板的面积和周长？
通过砸金蛋游戏
激发学生兴趣，让学生乐学、善学。
让学生了解韦达定理还可以用于验一元二次方程的根。
让学生感受到根与系数的关系在实际生活中的运用,体验数学来源于生活,又为生活服务，渗透整体数学思想。
课堂小结
利用框架结构，总结本节课所学知识：定理的探究，理解和应用以及数学思想
采用框架图让学生清楚本节课的知识组成和它们之间的联系及数学思想