2020-2021学年广西贺州市高二（下）期末考试数学（理）试卷北师大版（Word含解析）

2020-2021学年广西贺州市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
?
1.
设复数满足，则
A.
B.
C.
D.
?
2.
命题“，”的否定是
A.，
B.，
C.，
D.，
?
3.
已知，，则的最小值为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
4.
的展开式中的系数为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知曲线在处的切线与直线垂直，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
6.
设，则“”是“”的（????????）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
7.
高三要安排毕业晚会的个音乐节目，个舞蹈节目和个曲艺节目的演出顺序，要求个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
8.
对变量，有观测数据,…,，得散点图；对变量，有观测数据,…,，得散点图．由这两个散点图可以判断?
?
?
??
A.变量与正相关，与正相关
B.变量与正相关，与负相关
C.变量与负相关，与正相关
D.变量与负相关，与负相关
?
9.
已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
10.
口袋中有编号分别为的三个大小和形状相同的小球，从中任取个，则取出的球的最大编号的期望为（
）
A.
B.
C.
D.
?
11.
由曲线和曲线围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为
A.
B.
C.
D.
?
12.
已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
用数学归纳法证明：，第一步验证________．
?
双曲线方程为，离心率为，则渐近线方程为________．
?
不等式的解集为________．
?
已知抛物线上的一点到轴的距离为，到焦点的距离为，则________．
三、解答题
?
年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆省市将迎来“”新高考模式．“”指的是；语文、数学、英语，统一高考；“”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级全体学生的选科倾向，随机抽取了人，其中男生人，男生选考物理人，女生选考历史人．
完成列联表，并根据表中数据判断是否有的把握认为“选考物理与性别有关”；
选考物理
选考历史
总计
男生
女生
总计
从女生中按选考倾向分层抽样选取人，再从这人中任选人，求这人中至多有人选考历史的概率．
参考数据：，其中．
?
以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆是以点为圆心，为半径的圆．
求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
设直线与圆相交于，两点，求.
?
已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．
求椭圆的方程；
若，求的最大值；
?
如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点．
求证：平面；
若，求平面与平面所成锐二面角的大小．
?
挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，，，能通过文考关的概率分别是，，，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．
求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；
设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数的分布列.
?
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围；
当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西贺州市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】
解：由，得
.
故选.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
无
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，并否定结论，
所以原命题的否定为，．
故选．
3.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：因为，．所以，，
．
当且仅当时等号成立．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由二项式定理得的展开式的通项为：
，
由，解得，
∴
展开式中的系数为．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：因为，
所以当时，，
所以据题意得，，
所以．
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：因为，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选．
7.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：先排出舞蹈节目以外的个节目，共种，再把个舞蹈节目插在个空位中，有种，所以共有（种）．
故选．
8.
【答案】
C
【考点】
散点图
【解析】
通过观察散点图可以知道，随的增大而减小，各点整体呈下降趋势，与负相关，随的增大而增大，各点整体呈上升趋势，与正相关．
【解答】
解：由题图可知，随的增大而减小，各点整体呈下降趋势，与负相关，
由题图可知，随的增大而增大，各点整体呈上升趋势，与正相关．
故选.
9.
【答案】
D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
根据题意，分析可得直线＝恒过定点，分析椭圆与轴正半轴的交点，结合直线与椭圆的位置关系分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线恒过定点，
椭圆与轴正半轴的交点为，
若直线与椭圆恒有公共点，
必有
解得且，
则的取值范围为.
故选.
10.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
利用离散型随机变量的期望公式求解即可
【解答】
解；因为口袋中有编号分别为，，的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取两个，
所以取出的球的最大编号的可能取值为，，
所以，
，
所以，
故选．
11.
【答案】
A
【考点】
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由解得或
所以阴影部分的面积为．
故选．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
设＝，得到函数在上单调递增，＝，不等式转化为(，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：由题可设，
∵
，则，
∴
函数在上单调递增，，
将不等式转化为：
，
可得，即，
∴
，
∴
，
∴
不等式的解集为.
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证时，命题成立；将代入不等式，可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，
首先要验证证明当取第一个值时命题成立；
结合本题，，
故要验证时，
的成立即成立；
故答案为：．
【答案】
【考点】
双曲线的特性
双曲线的渐近线
【解析】
运用双曲线的离心率公式和，，的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．
【解答】
解：由题意可得，
即，
则，
由渐近线方程，
可得．
故答案为：．
【答案】
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
绝对值不等式
【解析】
无
【解答】
解：当时，原不等式可化为，
解得，又因为，故无解；
当时，原不等式可化为，恒成立；
当时，原不等式可化为，
解得，又因为，故无解；
综上，不等式的解集为．
故答案为：．
【答案】
或
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
无
【解答】
解：抛物线上的一点到轴的距离为，到焦点的距离为，
如图.
可得，
所以，
所以或．
故答案为：或．
三、解答题
【答案】
解：根据题意补全列联表如下：
选考物理
选考历史
总计
男生
女生
总计
根据表中数据，可得，
故有的把握认为“选考物理与性别有关”．
由题意得：名女生中有人选考物理，设为，，，有人选考历史，设为，，
从中选人的总体情况有：
，，，，，，，，，，共种，
至多有人选考历史有种，
所以概率．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解：根据题意补全列联表如下：
选考物理
选考历史
总计
男生
女生
总计
根据表中数据，可得，
故有的把握认为“选考物理与性别有关”．
由题意得：名女生中有人选考物理，设为，，，有人选考历史，设为，，
从中选人的总体情况有：
，，，，，，，，，，共种，
至多有人选考历史有种，
所以概率．
【答案】
解：直线的参数方程为（为参数），
圆的极坐标方程为．
圆化为直角坐标方程为：，
把代入，
得，
设点，对应的参数分别为，，
∴
，则，，
∴
．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
直线的参数方程
【解析】
（I）根据题意直接求直线的参数方程和圆的极坐标方程．
把代入＝，利用参数的几何意义，即可得出结论．
【解答】
解：直线的参数方程为（为参数），
圆的极坐标方程为．
圆化为直角坐标方程为：，
把代入，
得，
设点，对应的参数分别为，，
∴
，则，，
∴
．
【答案】
解：由题意得，所以，
又，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，所以，
又，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为．
【答案】
解：取的中点，连接，．
因为，，所以，
又，，
所以．
以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系．
可得，，，，，
所以，，
设平面的法向量为．
则可得
令，则，
所以平面的法向量为，
平面的法向量为，
因此．
即平面与平面所成的锐二面角为．
【考点】
直线与平面平行的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：取的中点，连接，．
因为，，所以，
又，，
所以．
以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系．
可得，，，，，
所以，，
设平面的法向量为．
则可得
令，则，
所以平面的法向量为，
平面的法向量为，
因此．
即平面与平面所成的锐二面角为．
【答案】
解：设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率
．
甲被录取的概率为，
同理，，
所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为，
即，的可能取值为，，，，
其中，
故，
，
，
，
故的分布列为
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）先设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，根据题中条件，由概率的计算公式，即可得出结果；
（2）由题中条件，得到甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为，故可看成是独立重复试验，即，的可能
取值为，，，，分别求出对应的概率，即可得出分布列．
【解答】
解：设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率
．
甲被录取的概率为，
同理，，
所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为，
即，的可能取值为，，，，
其中，
故，
，
，
，
故的分布列为
【答案】
解：函数的定义域为，.
当时，，函数在上单调递增；?
当时，由，解得，
当，，单调递增；当，，单调递减．
综上所述；当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
恒成立．
令，则．
由，解得，
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
由知，当函数有最大值时，，
且最大值，
此时，即.
令，
因为且在上单调递增，
所以，
所以，
故的取值范围为．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
无
【解答】
解：函数的定义域为，.
当时，，函数在上单调递增；?
当时，由，解得，
当，，单调递增；当，，单调递减．
综上所述；当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
恒成立．
令，则．
由，解得，
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
由知，当函数有最大值时，，
且最大值，
此时，即.
令，
因为且在上单调递增，
所以，
所以，
故的取值范围为．
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