2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学（理）试卷北师大版（Word含解析）

2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
?
1.
已知复数，为虚数单位，则?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
2.
如果命题“”是假命题，“”是真命题，那么?
?
?
?
A.命题一定是真命题
B.命题一定是真命题
C.命题一定是假命题
D.命题可以是真命题也可以是假命题
?
3.
用数学归纳法证明不等式时，第一步应验证不等式?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知有极大值和极小值，则的取值范围为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
5.
空间向量，，则，的夹角为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
6.
已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
7.
用反证法证明命题：“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是?
?
?
?
A.方程没有实根
B.方程至多有一个实根
C.方程至多有两个实根
D.方程恰好有两个实根
?
8.
已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是?
?
?
?
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
?
9.
若函数有两个不同的极值点，，则实数的取值范围是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
10.
如图，长方体中，，、、分别是、、
的中点，则异面直线与所成的角为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
11.
直线过椭圆
的左焦点和上顶点，与圆交于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆离心率为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
12.
已知函数若存在，使得，则的最小值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.无最小值
二、填空题
?
，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是________．
三、解答题
?
已知命题，，命题．
若命题是真命题，求实数的取值范围．
若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．
?
已知函数，．
求函数的图象在点处的切线方程．
求函数的单调递增区间．
?
已知双曲线的离心率为，实轴长为．
求双曲线的方程；???
若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值．
?
如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
?
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数在上为单调函数，求实数的取值范围．
?
已知椭圆与轴的正半轴相交于点，点，为椭圆的焦点，且是边长为的等边三角形，若直线与椭圆交于不同的两点、．
直线，的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值．若不是．请说明理由．
求的面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
利用复数的运算法则直接求解．
【解答】
解：复数，为虚数单位，
.
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
本题首先可以根据命题“”是假命题来判断命题？以及命题的真假情况，然后通过命题““是真命题即可判断出命题
的真假，最后综合得出的结论，即可得出结果．
【解答】
解：根据命题“”是假命题以及逻辑联结词“且”的相关性质可知：
命题以及命题至少有一个命题为假命题，
根据“”是真命题以及逻辑联结词“非”的相关性质可知：
命题是假命题，
所以命题可以是真命题也可以是假命题.
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
数学归纳法
【解析】
利用写出不等式的形式，就是第一步应验证不等式．
【解答】
解：用数学归纳法证明不等式时，
第一步应验证不等式：即当时成立即可．
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
函数在某点取得极值的条件
【解析】
先求出导数，由有极大值、极小值可知有两个不等实根．
【解答】
解：函数，
所以，
因为函数有极大值和极小值，所以方程有两个不相等的实数根，
即有两个不相等的实数根，
所以，
所以，解得：或．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
利用向量即可得出．
【解答】
解：向量，
则，，
，
∴
，
∴
，的夹角为．
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
本题考查了双曲线的几何性质、离心率的求法、点到直线的距离公式，属于基础题．
【解答】
解：由题意知：取双曲线的顶点、焦点坐标，
取渐近线方程为，也即是，
顶点到渐近线的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
∴
?，
∴
.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
反证法
【解析】
先由原命题的否定，再确定要做的假设即可得解．
【解答】
解：由命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”的否定为“设，为实数，则方程无实根”，即要做的假设是方程没有实根.
故选．
8.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
轨迹方程
抛物线的定义
【解析】
将题干中的等式变形为，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点的轨迹的形状．
【解答】
解：设点，由可得出，
由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线．
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：?，
?.
若函数有两个不同的极值点，，
则方程有个不相等的实数根，
故
解得.
故选.
10.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
设，以，，??所在直线方向，，轴，建立空间直角坐标系，可得，的坐标，进而可得，可得答案．
【解答】
解：以，，?所在直线方向为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，，，，，
∴
，，
∴
，
∴
，即．
故选．
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，求出点，利用斜率公式表示出，设点，，利用点差法：把点，分别代入圆的方程，然后两式相减，利用线段的中点坐标为，结合中点坐标公式求出，进而求出，的关系，求出椭圆的离心率．
【解答】
解：由题意知，点，，
由斜率公式可得，，
所以直线的方程为，
设点，，
因为，两点在圆上，
所以
两式相减可得，
,
因为线段的中点坐标为,
由中点坐标公式可得，
所以，
化简可得，，
所以，
因为，
所以椭圆的离心率．
故选．
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
分段函数的应用
【解析】
?
【解答】
解∶因为，
∴
，
的大致图象如图所示，
由图可知，，
∴
，
∴
，
∴
?
.
设，?
，
∴
在上递减，在上递增．
∴
．
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
椭圆的定义
基本不等式
【解析】
由点在椭圆上，由椭圆的定义可知，再由基本不等式，即可求解得最大值．
【解答】
解：因为点在椭圆上，
由椭圆的定义可知，
又由，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
三、解答题
【答案】
解：若命题是真命题，
则当时，不等式等价为，恒成立，
当时，要使不等式恒成立，
则即
故，
综上，
即实数的取值范围是．
若是真命题，是假命题，
则，一个为真命题，一个为假命题，
由得，得．
若真假，则得，
若假真，则得，
综上，或．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
（1）根据不等式的性质求出命题为真命题的等价条件即可．
?（2）根据复合命题真假关系，得到，一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可．
【解答】
解：若命题是真命题，
则当时，不等式等价为，恒成立，
当时，要使不等式恒成立，
则即
故，
综上，
即实数的取值范围是．
若是真命题，是假命题，
则，一个为真命题，一个为假命题，
由得，得．
若真假，则得，
若假真，则得，
综上，或．
【答案】
解：由，得，
∴
，，
∴
函数在处的切线方程为．
∵
，
令，得，
令，得，
又的定义域是，
∴
函数的单调增区间为．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式得结果，
先求导数，再根据导数大于零得函数的单调递增区间．
【解答】
解：由，得，
∴
，，
∴
函数在处的切线方程为．
∵
，
令，得，
令，得，
又的定义域是，
∴
函数的单调增区间为．
【答案】
解：由椭圆，得双曲线的离心率为，实轴长为．
∴
，，
解得，，
∴
，
∴
双曲线的方程为．
由题意，设，，
联立
整理，得，
则，
∴
，，
∴
，
则，
解得，
故实数的值为．
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
（1）由离心率为，实轴长为．可得，，再利用即可得出．
（2）设，，与双曲线的联立可得，利用根与系数的关系可得，即可得出．
【解答】
解：由椭圆，得双曲线的离心率为，实轴长为．
∴
，，
解得，，
∴
，
∴
双曲线的方程为．
由题意，设，，
联立
整理，得，
则，
∴
，，
∴
，
则，
解得，
故实数的值为．
【答案】
证明：取的中点，连接，?，，
由四边形为平行四边形，可知，
在中，有，
∴
，
又，，
∴
平面，
∵
平面，
∴
，
又，，
∴
平面．
∵
平面，
∴
平面平面．
解：由知平面平面，如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，即，
不妨令，得．
故直线与平面所成角的正弦值：
．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
（1）取的中点，连接，推导出四边形为平行四边形，，，从而平面，进而．再由，得平面．由此能证明平面平面．
（2）取的中点为，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】
证明：取的中点，连接，?，，
由四边形为平行四边形，可知，
在中，有，
∴
，
又，，
∴
平面，
∵
平面，
∴
，
又，，
∴
平面．
∵
平面，
∴
平面平面．
解：由知平面平面，如图，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，即，
不妨令，得．
故直线与平面所成角的正弦值：
．
【答案】
解：当时，函数，
∴
，
令，解得或，
当时，即或，函数单调递增，
当时，即，函数单调递减，
所以函数单调增区间为，，单调减区间为.
∵
，
①若函数在上为单调减函数，
∴
，在恒成立，即，
令，
则，
又因为，，，
故，故，
②若函数在上为单调增函数，
∴
，在恒成立，
即，令，
则，
故当，有最小值，最小值为，
故，
综上所述实数的取值范围为.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
（1）先求导，再根据导数求出函数的单调区间；
（2）需要分两类，函数在上为单调减函数和函数在上为单调增函数，然后分离参数，根据函数的最值，求出范围即可．
【解答】
解：当时，函数，
∴
，
令，解得或，
当时，即或，函数单调递增，
当时，即，函数单调递减，
所以函数单调增区间为，，单调减区间为.
∵
，
①若函数在上为单调减函数，
∴
，在恒成立，即，
令，
则，
又因为，，，
故，故，
②若函数在上为单调增函数，
∴
，在恒成立，
即，令，
则，
故当，有最小值，最小值为，
故，
综上所述实数的取值范围为.
【答案】
解：因为是边长为的等边三角形，
所以，，，
所以，，
所以椭圆，点，
将直线代入椭圆的方程，
整理得：，（
）
设，则由式可得
，
所以，
，，
所以直线，的斜率之积：
，
所以直线，的斜率之积是定值．
记直线与轴的交点为，
则
，
当且仅当，
即时等号成立，
所以的面积的最大值为．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
圆锥曲线中的范围与最值问题
【解析】
（1）由椭圆与轴的正半轴相交于点，点，为椭圆的焦点，且是边长为的等边三角形，求出椭圆．．联立，得＝，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率公式能求出直线，的斜率之积为定值．
（2）利用弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出的面积的最大值．
【解答】
解：因为是边长为的等边三角形，
所以，，，
所以，，
所以椭圆，点，
将直线代入椭圆的方程，
整理得：，（
）
设，则由式可得
，
所以，
，，
所以直线，的斜率之积：
，
所以直线，的斜率之积是定值．
记直线与轴的交点为，
则
，
当且仅当，
即时等号成立，
所以的面积的最大值为．
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