2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学试卷北师大版（Word含解析）

2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
?
1.
已知命题：，，那么为
A.，
B.，
C.，
D.，
?
2.
已知复数，则等于
A.
B.
C.
D.
?
3.
定积分（????????）
A.
B.
C.
D.
?
4.
双曲线的渐近线方程是：，则双曲线的焦距为
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知的边长分别为，，，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知：若三棱锥的四个面的面积分别为，，，，内切球半径为，三棱锥的体积为，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
设函数在定义域内可导，
的图象如图所示，则导函数的图象为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知函数在和上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
8.
若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为
A.
B.
C.
D.
?
9.
若直线是曲线的切线，且，则实数的最小值是(?
?
?
?
?)
A.
B.
C.
D.
?
10.
四面体中，，，两两垂直，且，点是的中点，异面直线与所成角为，且，则该四面体的体积为?
?
?????
A.
B.
C.
D.
?
11.
已知函数
，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为(????????)
A.
B.
C.
D.
?
12.
抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
已知函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是________.
三、解答题
?
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程即曲线的直角坐标方程．
若，当曲线与曲线有两个公共点时，求的取值范围．
?
已知在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，为棱上一点，且.
求证：平面平面；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
?
已知抛物线，两条直线分别与抛物线交于，两点和，两点．
若线段的中点为，求直线的斜率；
若直线相互垂直且同时过点，求四边形面积的最小值．
?
已知在时有极值．
求常数，的值；
求函数在区间上的值域．
?
已知椭圆：?的离心率为?，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且的周长是
求椭圆的方程；
设斜率为的直线交轴于点，交曲线于，两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
?
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据全称命题与存在性命题互为否定关系，准确改写，即可求解．
【解答】
解：根据全称命题与存在性命题互为否定关系，
可得命题“：，”的否定为“，”．
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
将代入，利用复数除法运算法则计算即可．
【解答】
解：
.
故选．
3.
【答案】
B
【考点】
定积分
【解析】
由定积分的运算法则，得到，根据定积分的计算和定积分的几何意义，即可求解．
【解答】
解：由定积分的运算法则，
可得，
又由.
又由，可得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆，
此半圆的面积为，
根据定积分的几何意义，可得，
所以．
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，求出，然后求解，即可求解双曲线的焦距．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程是，
可得，
所以，
所以双曲线的焦距为．
故选.
5.
【答案】
C
【考点】
类比推理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
本题主要考查类比推理.
【解答】
解：设四面体的内切球的球心为，
则球心到四个面的距离都是，
所以四面体的体积等于以为顶点，
分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和，
所以四面体的体积为
，
所以.
故选.
6.
【答案】
C
【考点】
导数的几何意义
函数的图象
【解析】
根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果．
【解答】
解：由图可知，函数在上单调递减，
在上恒成立，排除选项和.
函数在上先递减后递增再递减，
在上应为负、正、负的趋势，即选项错误，正确．
故选．
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由，得.
因为在和上为增函数，在上为减函数，
所以两个根分别位于和上，
所以?即
解得.
故选.
8.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
双曲线的定义
余弦定理
【解析】
由题可知，焦距＝，设点是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可列出关于线段和的长的方程组，解之可得和的长，然后在中，结合余弦定理即可得解．
【解答】
解：由题可知，焦距，
不妨设点是双曲线右支上的一点，
由椭圆和双曲线的定义可知，
解得
在中，由余弦定理可知，
．
故选.
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
先结合利用导数求切线方程的方法，找到与的关系式，然后将看成的函数，求其最小值即可．
【解答】
解：的导数为，由于直线是曲线的切线，
设切点为，则，
∴
.
又，
∴
．
令，
则.
由得；得．
∴
在上单调递减，在上单调递增，
∴
．
即的最小值为．
故选.
10.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可．
【解答】
解：如图，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设,
，
，
，
?解得：，
则该四面体的体积为.
故选.
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
利用导数判断函数的单调性，求出函数的定义域，利用函数的导数通过恒成立，转化求解即可．
【解答】
解：在区间内任取两个实数，，且，
不等式?恒成立，
表示点与点连线斜率的相反数小于，
，，，，
表示函数图象上在区间内任意两点斜率大于，
在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
又
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
故选．
12.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
设直线的倾斜角为，设垂直于准线于．由抛物线的性质可得，则，当直线与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点的坐标，然后进行计算得到结果．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，
，
当最小时，值最大，
当直线与抛物线相切时，最大，即最小．
由题意可得.
设切线的方程为：，
联立?整理可得，
，
可得，
将代入，可得，
，即的横坐标为，即的坐标，
，?，
的最大值为：.
故选．
二、填空题
【答案】
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数与的图象上存在关于原点对称的对称点，
∴
有解，
∴
，
∴
，在有解，
分别设，
若是的切线，
∴
.
设切点为，
∴
，，
∴
，
∴
.
结合图象可知，.
故答案为：.
三、解答题
【答案】
解：由得
两式平方相加得：；
由，
得，
∴
，即.
若，则，
故，
此时曲线的方程为，
其图像为半圆弧，如图所示：
当曲线：经过点和时，；
当曲线：与曲线相切时，有，得，
由图可知，
故当曲线与曲线有两个公共点时，的取值范围为.
【考点】
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
消去参数可求曲线的普通方程，将化简代入，可得；
可得曲线为半圆，画出图象，数形结合即可求解．
【解答】
解：由得
两式平方相加得：；
由，
得，
∴
，即.
若，则，
故，
此时曲线的方程为，
其图像为半圆弧，如图所示：
当曲线：经过点和时，；
当曲线：与曲线相切时，有，得，
由图可知，
故当曲线与曲线有两个公共点时，的取值范围为.
【答案】
证明：因为四边形为矩形，，．
所以，，
所以，
，，
所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
解：由题意知，，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
，，
设，则，
设平面的法向量，
则
即
令，得，，
所以．?
设直线与平面所成的角为．
则．
因为，
所以，
整理得，
解得（舍去负值）．
因为，
故在棱上存在点使得直线与平面所成的角．
此时，，
所以.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：因为四边形为矩形，，．
所以，，
所以，
，，
所以．
因为平面，平面，
所以．
因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
解：由题意知，，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
，，
设，则，
设平面的法向量，
则
即
令，得，，
所以．?
设直线与平面所成的角为．
则．
因为，
所以，
整理得，
解得（舍去负值）．
因为，
故在棱上存在点使得直线与平面所成的角．
此时，，
所以.
【答案】
解：设，，
则
?线段的中点为，
，
，
，
直线的斜率．
依题意可知的斜率都存在且不等于，设的斜率为.
直线相互垂直，
的斜率为，
直线的方程为：，直线的方程为.
联立消去并整理得，
恒成立．
，?，
?
，
同理可得，
?，
?四边形的面积
.
令，
则，
当且仅当，即时等号成立．
故，其中，
利用二次函数的性质知，当时，，
四边形面积的最小值为．
【考点】
抛物线的性质
斜率的计算公式
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
设，
，利用点差法可求得结果．
设出直线的方程，的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，同理求出，利用两直线垂直求出四边形的面积，然后根据基本不等式可求得最小值．
【解答】
解：设，，
则
?线段的中点为，
，
，
，
直线的斜率．
依题意可知的斜率都存在且不等于，设的斜率为.
直线相互垂直，
的斜率为，
直线的方程为：，直线的方程为.
联立消去并整理得，
恒成立．
，?，
?
，
同理可得，
，
四边形的面积
.
令，
则，
当且仅当，即时等号成立．
故，其中，
利用二次函数的性质知，当时，，
四边形面积的最小值为．
【答案】
解：由，
得.
∵
在时有极值，
∴
∴
解得（舍去）或
经检验，当，时，符合题意，
∴
，．
由知，，
令，则或.
∵
，
∴
当或时，；当时，，
∴
函数在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，，
∴
，，
∴
的值域为．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）对求导，根据在＝时有极值，得到，再求出，的值；
（2）由（1）知，＝，然后判断的单调性，再求出的值域．
?
【解答】
解：由，
得.
∵
在时有极值，
∴
∴
解得（舍去）或
经检验，当，时，符合题意，
∴
，．
由知，，
令，则或.
∵
，
∴
当或时，；当时，，
∴
函数在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，，
∴
，，
∴
的值域为．
【答案】
解：由题意知，，
解得，.
∵
，
∴
，
椭圆的方程为．
假设存在，则，
设，，直线：，，
联立化简得，
∴
，，
，
，
要使为定值，则有，
?，
?．
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
由椭圆的定义及的周长为，得①，椭圆的离心率，所以②，解得，，进而可得椭圆的方程．
设，?，设直线：，联立椭圆的方程，结合韦达定理，代入化简，即可得出答案．
【解答】
解：由题意知，，
解得，.
∵
，
∴
，
椭圆的方程为．
假设存在，则，
设，，直线：，，
联立化简得，
∴
，，
，
，
要使为定值，则有，
?，
?．
【答案】
解：时，，定义域为，
，
时，；时，，
的单调增区间为，单调减区间为．
函数在上有两个极值点，
，
由得，
当，?时，
?，，?，
则，
.
由，可得，
.
令.
，?，
又，
，即时，单调递减，
，即，
故实数的取值范围是．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
时，，定义域为，求导，利用导数的正负求的单调区间．
由函数在上有两个极值点，求导，根据判别式可得，不等式恒成立即为，求得，令求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即可求得的范围．
【解答】
解：时，，定义域为，
，
时，；时，，
的单调增区间为，单调减区间为．
函数在上有两个极值点，
，
由得，
当，?时，
?，，?，
则，
.
由，可得，
.
令.
，?，
又，
，即时，单调递减，
，即，
故实数的取值范围是．
第7页
共20页
◎
第8页
共20页
第9页
共20页
◎
第10页
共20页