2020-2021学年陕西省汉中市高二（下）期末考试数学（文）试卷北师大版（Word含解答）

2020-2021学年陕西省汉中市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
?
1.
已知集合，，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
2.
复数在复平面内对应的点的坐标为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
双曲线的离心率为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知函数则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
阿基米德是伟大的物理学家，哲学家，数学家和力学家，是名副其实的“全能天才”．他本人最得意的发现是名为“圆柱容球”的几何图形，就是在圆柱形容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周喷边（球的直径与圆柱形容器的高和底面直径分别相等）．人们为了纪念他，根据他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了该几何图形．在一个“圆柱容球”的圆柱内任取一点，则所取的点恰好落在这个“圆柱容球”的球内的概率是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
已知，，，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
在正三棱锥中，的边长为，侧棱长为，则该三棱锥外接球的表面积为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
9.
为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是(?
?
?
?
)
A.年，年光伏发电量与年份成正相关
B.年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减
C.年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值
D.年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
?
10.
已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
11.
在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．若，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
12.
如图，在直三棱柱
中，为的中点，平面，，则异面直线与所成角的正切值为（????????）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
已知函数，则的极大值为________．
三、解答题
?
某企业研制出一款疫苗后，招募了名志愿者进行先期接种试验，其中岁以下人，岁及以上人．第一次接种后天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现名志愿者产生了抗体，其中岁以下的有人产生了抗体．
岁以下
岁及以上
合计
有抗体
没有抗体
合计
填写上面的列联表，并判断能否有的把握认为该款疫苗产生抗体与接种者年龄有关．
参考公式：，其中．
?
已知数列中，，，且．
证明为等差数列并求；
求数列的前项和．
?
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影下是的中点，点是的中点．
证明：平面；
若，求到平面的距离．
?
已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右顶点，且直线，的斜率的乘积为．
求椭圆的方程；
过左焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
?
已知函数．
当时，求的单调递增区间；
若与的图象上恰有两对关于轴对称的点，求的取值范围．
?
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求曲线和曲线的直角坐标方程；
已知，曲线与曲线交于，两点，若，求的值．
?
已知函数．
求不等式的解集；
若，，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省汉中市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：因为，，
所以．
故选．
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以在复平面内对应的点的坐标为．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：双曲线的标准方程为，
因为，，
所以其离心率．
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以．
故选．
5.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆柱的体积为，球的体积为，球的半径为，
则圆柱的高为，，，
所以所求概率为．
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，，，
所以，
故．
故选.
7.
【答案】
B
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设外接球的半径为，
因为的边长为，
所以外接圆的半径为．
因为的边长为，侧棱长为，
所以三棱锥的高为．
因为，
所以，
故外接球的表面积为．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的周期性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：的图象向左平移个单位长度后得到
的图象．
因为是偶函数，
所以，．
解得，，
因为，
所以．
故选．
9.
【答案】
B
【考点】
频率分布直方图
【解析】
?
【解答】
解：对于，年，年光伏发电量与年份成正相关，故正确；
对于，年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）有增有减，故错误；
对于，由图表可以看出，每一年的装机规模中，集中式都比分布式大，因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故正确；
对于，年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故正确．
故选．
10.
【答案】
A
【考点】
抛物线的求解
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
?
【解答】
解：由题知，抛物线方程为．
设直线的方程为，
代入抛物线方程，得．
设，，
则，．
因为，
所以，
所以或
故，
即的斜率为．
故选．
11.
【答案】
D
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以
．
故选．
12.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，不妨设．
因为平面，
所以，，．
因为为的中点，
所以，
即，，
所以是等腰直角三角形．
设为的中点，连接，，
则，
所以或其补角就是异面直线与所成的角．
因为，
所以，．
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以在，单调递增，在]上单调递减，
所以的极大值为．
故答案为：．
三、解答题
【答案】
解：补全列联表如下，
岁以下
50岁及以上
合计
有抗体
没有抗体
合计
因为，
所以有的把握认为该款疫苗产生抗体与接种者年龄有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：补全列联表如下，
岁以下
50岁及以上
合计
有抗体
没有抗体
合计
因为，
所以有的把握认为该款疫苗产生抗体与接种者年龄有关．
【答案】
解：因为，
所以，
即．
因为，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故．
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故．
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
等差关系的确定
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以，
即．
因为，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故．
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故．
【答案】
证明：如图，记的中点为，连接，．
因为是的中点，是的中点，
所以，分别是和的中位线，
所以，?
因为是平行四边形，
所以，
所以．
因为，
平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
解：因为，，点是的中点，
所以，．
因为平面，
所以．
因为，
所以
因为平面，，
所以平面，
所以三棱锥的体积为．
设到平面的距离为，
因为的面积为，
所以，
解得．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，记的中点为，连接，．
因为是的中点，是的中点，
所以，分别是和的中位线，
所以，?
因为是平行四边形，
所以，
所以．
因为，
平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
解：因为，，点是的中点，
所以，．
因为平面，
所以．
因为，
所以
因为平面，，
所以平面，
所以三棱锥的体积为．
设到平面的距离为，
因为的面积为，
所以，
解得．
【答案】
解：依题意有，，
解得，，
故椭圆的方程为.
由题意知直线的斜率不为，
设方程为，，，
联立方程??
得，
则，，
由弦长公式得，
整理得，
又，，
所以，
故，
令，，上式，
设，则在上是增函数，
所以在处取得最小值，
故的最小值是．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意有，，
解得，，
故椭圆的方程为.
由题意知直线的斜率不为，
设方程为，，，
联立方程??
得，
则，，
由弦长公式得，
整理得，
又，，
所以，
故，
令，，上式，
设，则在上是增函数，
所以在处取得最小值，
故的最小值是．
【答案】
解：当时，，
则．
令，
得，
所以的单调递增区间为.
因为与的图象上恰有两对关于轴对称的点，
所以方程有两个正根，
即关于的方程有两个正根．
令，
则
．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
得．
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以或．
而，
令，
则．
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在单调递减，不满足题意．
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以或，
而，，不满足题意．
综上所述，．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当时，，
则．
令，
得，
所以的单调递增区间为．
因为与的图象上恰有两对关于轴对称的点，
所以方程有两个正根，
即关于的方程有两个正根．
令，
则
．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
得．
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以或．
而，
令，
则．
设，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在单调递减，不满足题意．
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以或，
而，，不满足题意．
综上所述，．
【答案】
解：因为曲线的参数方程为（为参数），
所以的直角坐标方程为.
由，，
得曲线的直角坐标方程为.
因为点在直线上，
所以可设直线的参数方程为（为参数，，
将参数方程代入曲线的方程，
得.
设，所对应的参数分别为，
则
因为
所以，，
故直线的斜率为，
即．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程的优越性
直线的参数方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为曲线的参数方程为（为参数），
所以的直角坐标方程为.
由，，
得曲线的直角坐标方程为.
因为点在直线上，
所以可设直线的参数方程为（为参数，，
将参数方程代入曲线的方程，
得.
设，所对应的参数分别为，
则
因为
所以，，
故直线的斜率为，
即．
【答案】
解：，
所以
由，得或或
解得，
即不等式的解集为．
当时，.
因为存在，使得，
所以存在，使得.
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故的取值范围为.
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，
所以
由，得或或
解得，
即不等式的解集为．
当时，.
因为存在，使得，
所以存在，使得.
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故的取值范围为.
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