人教B版（2019）必修第四册《911_正弦定理》2021年同步练习卷（2）（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《911_正弦定理》2021年同步练习卷（2）（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 385.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-23 20:51:13 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《9.1.1
正弦定理》2021年同步练习卷（2）
【基础练习】
?
1.
在中角，，所对的边分别为，，，则下列等式正确的是（
）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
?
2.
已知中，角，，所对的边分别是，，，且，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知的三个角，，所对的边分别为，，，其中，＝，，＝，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(?
?
?
?
)
A.，，，有两解
B.，，，有一解
C.，，，无解
D.，，，有一解
?
5.
在中，角，，所对的边分别为，，，若＝，＝，＝，则此三角形（
）
A.无解
B.有一解
C.有两解
D.解的个数不确定
二、填空题
?
在中，＝，＝，＝，则的面积为________．
?
在中，角，，所对的边分别是，，，已知＝，＝．若＝，则的面积为________；若有两解，则的取值范围是________．
?
在中，＝，是边的中点．若＝，＝，则的长等于________；若＝，＝，则的面积等于________．
三、解答题
?
已知中，＝，，＝，求解这个三角形．
?
在中，角，，的对边分别为，，，，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求及的面积．
四、选择题
?
的内角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（
）
A.＝，＝，＝
B.＝，＝，＝
C.＝，＝，＝
D.＝，＝，＝
?
中，，，则的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
?
在平面内，四边形的与互补，＝，＝，＝，则四边形面积的最大值＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
中，，角的平分线把三角形面积分成两部分，则（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
已知为圆＝的一条弦，为等边三角形，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
的内角，，的对边分别为，，，若，，＝，则＝________
．
?
如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小海在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距高为________海里．
?
如图，在中，＝，，，点在边上，且＝，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为________．
?
在中，角，，的对边分別为，，，若，，．
求；
已知点在边上，且平分，求的面积．
?
在中，内角，，的对边分别是，，，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ若为锐角三角形，且＝，求面积的取值范围．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第四册《9.1.1
正弦定理》2021年同步练习卷（2）
【基础练习】
1.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
直接根据正弦定理即可求解．
【解答】
因为可得，
只有成立．
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理即可求解的值．
【解答】
因为，
由正弦定理，可得．
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知结合正弦定理，可得值，进而得到答案．
【解答】
∵
在中，角，，所对的边分别为，，，＝，，＝，
则由正弦定理，即＝，
解得＝，
又由，可得为锐角，可得＝．
4.
【答案】
D
【考点】
解三角形
【解析】
利用正弦定理分别对，，，选项进行验证．
【解答】
解：项中，
∴
，故三角形一个解，项说法错误；
项中，
∵
，故有锐角和钝角两种解，项说法错误；
项中，故有解，项说法错误；
项中，∵
，
∴
一定为锐角，有一个解，项说法正确．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
由题意可得，可得三角形解得个数．
【解答】
∵
＝，
∴
，即，
∴
有两解．
二、填空题
【答案】
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
利用的面积计算公式即可得出．
【解答】
的面积＝．
【答案】
,
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解；有两解时需要：，代入数据，求出的范围．
【解答】
在中，由正弦定理?，把?＝，＝，＝，
可得：＝＝，
可得：＝＝＝．
由于：＝，＝．
由题意得，有两解时需要：，
则，解得：．
【答案】
,
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
由题意可知，，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解；结合已知及正弦定理可求，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．
【解答】
∵
＝，是边的中点．若＝，＝，
由题意可知，，
∴
，
所以＝；
∵
＝，是边的中点，＝，＝，设＝＝，＝，＝，
中，由正弦定理可得，，中，由正弦定理可得，，
联立可得，，，
所以＝
，
三、解答题
【答案】
因为＝，，＝，
所以由正弦定理，可得＝＝＝，
因为，
所以＝，或，
当＝时，可得＝，＝＝；
当＝时，可得＝，可得＝＝．
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理可得的值，结合范围，分类讨论即可得解．
【解答】
因为＝，，＝，
所以由正弦定理，可得＝＝＝，
因为，
所以＝，或，
当＝时，可得＝，＝＝；
当＝时，可得＝，可得＝＝．
【答案】
（1）因为，是内角，所以，
由正弦定理：，知?，解得．
（2）在中，＝＝，
的面积为：．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
Ⅰ利用同角三角函数的基本关系求出的值，再由正弦定理求得的值．
Ⅱ在中，根据＝，利用两角和的正弦公式运算求得的值．再根据的面积为，运算求得结果．
【解答】
（1）因为，是内角，所以，
由正弦定理：，知?，解得．
（2）在中，＝＝，
的面积为：．
四、选择题
【答案】
A
【考点】
解三角形
【解析】
由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可．
【解答】
对于，＝，＝，＝，
由正弦定理可得，则＝，
由大边对大角，可知即可为锐角，也可为钝角，有两解；
对于，＝，＝，＝，由余弦定理可得，
＝，有一解；
对于，＝，＝，＝，
由，得＝，
∵
，∴
为锐角，有一解；
对于，＝，＝，＝，
由，得＝，＝，有一解．
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理分别求得和，最后三边相加整理即可得到答案．
【解答】
解：根据正弦定理，
∴
，
∴
的周长为
故选．
【答案】
B
【考点】
解三角形
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
根据正弦定理，可求＝，可得＝，或＝，分类讨论，由＝，计算三角形的面积，利用均值不等式即可求解最值．
【解答】
因为与互补，可得＝，且，，，四点共圆，
所以＝＝，在中，由正弦定理可得＝，
在中，由正弦定理，
所以＝，可得＝，
所以＝，或＝，
设四边形的外接圆半径为，则＝，解得＝．
（1）设＝，＝，
当＝，则＝，故＝，
此时＝＝，且＝，在中，＝，所以，即＝，
所以四边形的面积＝，当且仅当＝时，四边形的面积取得最大值为．
（2）当＝，则＝，故＝，
此时＝＝，
因为，
所以＝，则在中，由余弦定理可得＝，
所以＝，即，
即＝＝，
此时，四边形的面积＝，
综上，四边形的面积的最大值为．
故选：．
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：的平分线把三角形面积分成两部分，∴
，，∴
，∴
．
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
得到圆心坐标和半径．等边的一边为圆的一条弦，结合垂径定理和柯西不等式，可得的最大值，即可得出结论．
【解答】
由圆＝，
∴
圆的半径＝，
为圆的一条弦，为等边三角形，则
如图所示，设与的交点为，＝），
得＝，令＝，，），则
＝＝），
∵
，），∴
（，），
∴
当＝时，的值最大为，
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．
【解答】
由，，可得
，
，
＝＝，
由正弦定理可得
．
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
直接利用正弦定理和直角三角形及等边三角形的应用求出结果．
【解答】
如图所示：
连接，由题意可知＝，＝，＝，＝，＝，
＝，＝，
在中，由正弦定理得，，
解得＝，
在中，∵
＝，＝，
∴
，＝．
在中，＝，＝，
所以为等边三角形，所以，＝．
故答案为：
【答案】
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由已知利用余弦定理可求的值，由正弦定理可求的值，利用正弦定理求得的值，可求为直角，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】
由＝，得＝，
解得．
因为，
所以，，
所以．
又因为，
所以．
因为，
所以．
【答案】
解：由正弦定理得，
得，
得，
得.
∵
，∴
，
∴
，，
∴
，
由正弦定理得，∴
，
由角平分线定理得，
∴
，
∴
.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
正弦定理
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得＝；
（2）由余弦定理可得，再根据角平分线定理可得，然后根据面积公式可得的面积．
【解答】
解：由正弦定理得，
得，
得，
得.
∵
，∴
，
∴
，，
∴
，
由正弦定理得，∴
，
由角平分线定理得，
∴
，
∴
.
【答案】
（1）由题设及正弦定理得，
因为，
所以．
由＝，可得，
故．
因为，
故，
因此＝．
（2）由题设及（1）知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，
故，，
由（1）知＝，
所以，
故，
所以，
从而．
因此，面积的取值范围是．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
Ⅰ由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值．
Ⅱ由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围．
【解答】
（1）由题设及正弦定理得，
因为，
所以．
由＝，可得，
故．
因为，
故，
因此＝．
（2）由题设及（1）知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，
故，，
由（1）知＝，
所以，
故，
所以，
从而．
因此，面积的取值范围是．
第7页
共20页
◎
第8页
共20页
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◎
第10页
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正弦定理》2021年同步练习卷（2）
【基础练习】
?
1.
在中角，，所对的边分别为，，，则下列等式正确的是（
）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
?
2.
已知中，角，，所对的边分别是，，，且，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知的三个角，，所对的边分别为，，，其中，＝，，＝，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(?
?
?
?
)
A.，，，有两解
B.，，，有一解
C.，，，无解
D.，，，有一解
?
5.
在中，角，，所对的边分别为，，，若＝，＝，＝，则此三角形（
）
A.无解
B.有一解
C.有两解
D.解的个数不确定
二、填空题
?
在中，＝，＝，＝，则的面积为________．
?
在中，角，，所对的边分别是，，，已知＝，＝．若＝，则的面积为________；若有两解，则的取值范围是________．
?
在中，＝，是边的中点．若＝，＝，则的长等于________；若＝，＝，则的面积等于________．
三、解答题
?
已知中，＝，，＝，求解这个三角形．
?
在中，角，，的对边分别为，，，，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求及的面积．
四、选择题
?
的内角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（
）
A.＝，＝，＝
B.＝，＝，＝
C.＝，＝，＝
D.＝，＝，＝
?
中，，，则的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
?
在平面内，四边形的与互补，＝，＝，＝，则四边形面积的最大值＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
中，，角的平分线把三角形面积分成两部分，则（?
?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
已知为圆＝的一条弦，为等边三角形，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
的内角，，的对边分别为，，，若，，＝，则＝________
．
?
如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小海在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距高为________海里．
?
如图，在中，＝，，，点在边上，且＝，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为________．
?
在中，角，，的对边分別为，，，若，，．
求；
已知点在边上，且平分，求的面积．
?
在中，内角，，的对边分别是，，，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ若为锐角三角形，且＝，求面积的取值范围．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第四册《9.1.1
正弦定理》2021年同步练习卷（2）
【基础练习】
1.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
直接根据正弦定理即可求解．
【解答】
因为可得，
只有成立．
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理即可求解的值．
【解答】
因为，
由正弦定理，可得．
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知结合正弦定理，可得值，进而得到答案．
【解答】
∵
在中，角，，所对的边分别为，，，＝，，＝，
则由正弦定理，即＝，
解得＝，
又由，可得为锐角，可得＝．
4.
【答案】
D
【考点】
解三角形
【解析】
利用正弦定理分别对，，，选项进行验证．
【解答】
解：项中，
∴
，故三角形一个解，项说法错误；
项中，
∵
，故有锐角和钝角两种解，项说法错误；
项中，故有解，项说法错误；
项中，∵
，
∴
一定为锐角，有一个解，项说法正确．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
由题意可得，可得三角形解得个数．
【解答】
∵
＝，
∴
，即，
∴
有两解．
二、填空题
【答案】
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
利用的面积计算公式即可得出．
【解答】
的面积＝．
【答案】
,
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解；有两解时需要：，代入数据，求出的范围．
【解答】
在中，由正弦定理?，把?＝，＝，＝，
可得：＝＝，
可得：＝＝＝．
由于：＝，＝．
由题意得，有两解时需要：，
则，解得：．
【答案】
,
【考点】
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
由题意可知，，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解；结合已知及正弦定理可求，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．
【解答】
∵
＝，是边的中点．若＝，＝，
由题意可知，，
∴
，
所以＝；
∵
＝，是边的中点，＝，＝，设＝＝，＝，＝，
中，由正弦定理可得，，中，由正弦定理可得，，
联立可得，，，
所以＝
，
三、解答题
【答案】
因为＝，，＝，
所以由正弦定理，可得＝＝＝，
因为，
所以＝，或，
当＝时，可得＝，＝＝；
当＝时，可得＝，可得＝＝．
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理可得的值，结合范围，分类讨论即可得解．
【解答】
因为＝，，＝，
所以由正弦定理，可得＝＝＝，
因为，
所以＝，或，
当＝时，可得＝，＝＝；
当＝时，可得＝，可得＝＝．
【答案】
（1）因为，是内角，所以，
由正弦定理：，知?，解得．
（2）在中，＝＝，
的面积为：．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
Ⅰ利用同角三角函数的基本关系求出的值，再由正弦定理求得的值．
Ⅱ在中，根据＝，利用两角和的正弦公式运算求得的值．再根据的面积为，运算求得结果．
【解答】
（1）因为，是内角，所以，
由正弦定理：，知?，解得．
（2）在中，＝＝，
的面积为：．
四、选择题
【答案】
A
【考点】
解三角形
【解析】
由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可．
【解答】
对于，＝，＝，＝，
由正弦定理可得，则＝，
由大边对大角，可知即可为锐角，也可为钝角，有两解；
对于，＝，＝，＝，由余弦定理可得，
＝，有一解；
对于，＝，＝，＝，
由，得＝，
∵
，∴
为锐角，有一解；
对于，＝，＝，＝，
由，得＝，＝，有一解．
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理分别求得和，最后三边相加整理即可得到答案．
【解答】
解：根据正弦定理，
∴
，
∴
的周长为
故选．
【答案】
B
【考点】
解三角形
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
根据正弦定理，可求＝，可得＝，或＝，分类讨论，由＝，计算三角形的面积，利用均值不等式即可求解最值．
【解答】
因为与互补，可得＝，且，，，四点共圆，
所以＝＝，在中，由正弦定理可得＝，
在中，由正弦定理，
所以＝，可得＝，
所以＝，或＝，
设四边形的外接圆半径为，则＝，解得＝．
（1）设＝，＝，
当＝，则＝，故＝，
此时＝＝，且＝，在中，＝，所以，即＝，
所以四边形的面积＝，当且仅当＝时，四边形的面积取得最大值为．
（2）当＝，则＝，故＝，
此时＝＝，
因为，
所以＝，则在中，由余弦定理可得＝，
所以＝，即，
即＝＝，
此时，四边形的面积＝，
综上，四边形的面积的最大值为．
故选：．
【答案】
C
【考点】
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解析：的平分线把三角形面积分成两部分，∴
，，∴
，∴
．
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
得到圆心坐标和半径．等边的一边为圆的一条弦，结合垂径定理和柯西不等式，可得的最大值，即可得出结论．
【解答】
由圆＝，
∴
圆的半径＝，
为圆的一条弦，为等边三角形，则
如图所示，设与的交点为，＝），
得＝，令＝，，），则
＝＝），
∵
，），∴
（，），
∴
当＝时，的值最大为，
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．
【解答】
由，，可得
，
，
＝＝，
由正弦定理可得
．
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
直接利用正弦定理和直角三角形及等边三角形的应用求出结果．
【解答】
如图所示：
连接，由题意可知＝，＝，＝，＝，＝，
＝，＝，
在中，由正弦定理得，，
解得＝，
在中，∵
＝，＝，
∴
，＝．
在中，＝，＝，
所以为等边三角形，所以，＝．
故答案为：
【答案】
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由已知利用余弦定理可求的值，由正弦定理可求的值，利用正弦定理求得的值，可求为直角，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】
由＝，得＝，
解得．
因为，
所以，，
所以．
又因为，
所以．
因为，
所以．
【答案】
解：由正弦定理得，
得，
得，
得.
∵
，∴
，
∴
，，
∴
，
由正弦定理得，∴
，
由角平分线定理得，
∴
，
∴
.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
正弦定理
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得＝；
（2）由余弦定理可得，再根据角平分线定理可得，然后根据面积公式可得的面积．
【解答】
解：由正弦定理得，
得，
得，
得.
∵
，∴
，
∴
，，
∴
，
由正弦定理得，∴
，
由角平分线定理得，
∴
，
∴
.
【答案】
（1）由题设及正弦定理得，
因为，
所以．
由＝，可得，
故．
因为，
故，
因此＝．
（2）由题设及（1）知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，
故，，
由（1）知＝，
所以，
故，
所以，
从而．
因此，面积的取值范围是．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
Ⅰ由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值．
Ⅱ由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围．
【解答】
（1）由题设及正弦定理得，
因为，
所以．
由＝，可得，
故．
因为，
故，
因此＝．
（2）由题设及（1）知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，
故，，
由（1）知＝，
所以，
故，
所以，
从而．
因此，面积的取值范围是．
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