2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）期中考试数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
已知命题，则的否定是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知向量，，且，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
3.
若直线经过抛物线的焦点，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
在四面体中，是棱的中点，且，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
5.
若双曲线：与双曲线：有相同的渐近线，且经过点，则的实轴长为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
6.
在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
若曲线的方程是，则的形状是（????????）
A.抛物线
B.圆
C.双曲线
D.椭圆
?
8.
如图，为椭圆的左焦点，，两点关于的中心对称，且，在上，若，，则的离心率的取值范围是（????????）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
在三棱锥中，，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
若抛物线上一点到焦点的距离为，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
已知，则（????????）
A.“”是””的充要条件
B.“”是””的必要不充分条件
C.“”是””的充分不必要条件
D.“”是””的充分不必要条件
?
已知点，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于，两点(点在点的上方)，且，，则该双曲线的离心率可能为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
三、填空题
?
抛物线的准线方程为________.
?
在空间直角坐标系中，给出以下结论：
①点关于轴的对称点的坐标是；
②点关于平面对称的点的坐标是；
③若，，则．
其中所有正确结论的序号是________．
?
已知椭圆：的左、右焦点分别为，点，椭圆短轴的一个端点恰为的重心，则椭圆的长轴长为________.
?
在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.?
当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为________.
四、解答题
?
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，________，试问是否存在点，满足?
若存在，求的值；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
?
已知直线与抛物线：交于，两点，且点在上．
求的方程；
若的斜率为，且过点，求.
?
如图，在三棱锥中，平面，且.
证明：为直角三角形;
以为圆心，在平面中作四分之一个圆，如图所示，为圆弧上一点，且,，求异面直线与所成角的余弦值．
?
已知是椭圆：上的动点．
若是上一点，且线段的中点为，求直线的斜率；
若是圆：上的动点，求的最小值．
?
如图，在四边形中，，且，，点是线段上靠近点的一个三等分点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.
证明：平面平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
?
已知圆，为圆上的动点，点在轴上，且与的横坐标相等，且，点的轨迹记为．
求的方程．
设，过的直线（斜率不为）与交于，两点，试问直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
无
【解答】
解：的否定是，．
故选．
2.
【答案】
A
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
无
【解答】
解：由题意知，
则，，
所以．
故选．
3.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：因为直线与轴的交点为，
所以，即．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
向量的几何表示
【解析】
无
【解答】
解：因为，
所以，，则．
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：依题意可设的方程为，
将代入，得，
则的方程为，即，
则的实轴长为．
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
无
【解答】
解：设，以为坐标原点，为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
则，
故异面直线与所成角的大小为．
故选．
7.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：由
，
得，
所以表示到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹，
易知点不在直线上，
所以由抛物线的定义可知，的形状是抛物线．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
无
【解答】
解：如图，
因为，，两点关于的中心对称，
所以．
设的右焦点为，
根据对称性可知，四边形为矩形，
则，．
设（），
则，
（），
，
则
.
因为，所以，
所以，
又，故．
故选．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
空间向量的数乘运算
空间向量运算的坐标表示
【解析】
无
【解答】
解：
因为，，
所以，则，所以，正确，
因为，所以错误，
因为，所以正确．
故选．
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
无
【解答】
解：依题意可得
解得．
故选．
【答案】
B,C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设函数，易知此函数为增函数，
且，所以．
由此可得，""是""的必要不充分条件，
""是""的必要不充分条件，
""是""的充分不必要条件，
""是""的充分不必要条件．
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
双曲线的特性
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
本题根据双曲线的定义将，两点满足已知条件的所有情况列出来，再根据已知条件求出双曲线中和的关系式，从而求出离心率.
【解答】
解：设，则，，
当，均在双曲线的右支上时，
由双曲线的定义可知，，
所以，
所以，
解得：，
所以，,
在中，由勾股定理可得，
所以；
当点在双曲线的左支上时，
由双曲线的定义可知，，
所以，
所以，
解得：，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
所以；
当，分别在双曲线的右支、左支上时，
可得：，
则，
所以.
综上，该双曲线的离心率为或或.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
【解析】
无
【解答】
解：由，得，
故抛物线的准线方程为．
故答案为：．
【答案】
①③
【考点】
空间中的点的坐标
命题的真假判断与应用
空间向量的数量积运算
【解析】
无
【解答】
解：点关于轴的对称点的坐标为，故①正确；
点关于平面对称的点的坐标是，故②错误；
若，，
则，
则，故③正确．
故答案为：①③.
【答案】
【考点】
椭圆的定义
【解析】
无
【解答】
解：易知，的坐标分别为，，
且点是的重心，所以，
故椭圆的长轴长．
故答案为：.
【答案】
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
无
【解答】
解：易证
平面，则与平面所成角为，
，当取得最小值时，取得最大值．
在等腰中，当为的中点时，取得最小值．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，
即令，得．
因为，
所以与平面所成角的正弦值为．
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：由题意，正方体棱长为，
则，，，，．
设（），（），
则，，
，，
所以，．
选择①，因为，
所以，
，
．
因为，所以，
故存在点，，满足，
且．
选择②，，即，，
因为，所以，
故存在点，，满足，
且．
选择③，，，
因为，所以与不共线，
所以，即，
则，
故不存在点，满足．
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
无
【解答】
解：由题意，正方体棱长为，
则，，，，．
设（），（），
则，，
，，
所以，．
选择①，因为，
所以，
，
．
因为，所以，
故存在点，，满足，
且．
选择②，，即，，
因为，所以，
故存在点，，满足，
且．
选择③，，，
因为，所以与不共线，
所以，即，
则，
故不存在点，满足．
【答案】
解：将代入，得，
解得，
故的方程为．
因为的斜率为，且过点，所以的方程为，
即.
联立得，
，
设，两点坐标分别为，，
则，，
故
．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将代入，得，
解得，
故的方程为．
因为的斜率为，且过点，所以的方程为，
即.
联立得，
，
设，两点坐标分别为，，
则，，
故
．
【答案】
证明：∵
，∴
，
又，，∴
，
∵
，
∴
，从而为直角三角形．
解：以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
，
从而，
故与所成角的余弦值为．
【考点】
两条直线垂直的判定
直线与平面垂直的判定
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
无
无
【解答】
证明：∵
，∴
，
又，，∴
，
∵
，
∴
，从而为直角三角形．
解：以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
，
从而，
故与所成角的余弦值为．
【答案】
解：设，两点的坐标分别为，.
因为，两点都在上，
所以???
两式相减，得.
因为，，?
所以．
设，
则.
∵
的圆心坐标为，
∴
，
∴
当时，取得最小值，
且最小值为．
∵
圆的半径为，?
∴
的最小值为
.
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
圆锥曲线中的范围与最值问题
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：设，两点的坐标分别为，.
因为，两点都在上，
所以???
两式相减，得.
因为，，?
所以．
设，
则.
∵
的圆心坐标为，
∴
，
∴
当时，取得最小值，
且最小值为．
∵
圆的半径为，?
∴
的最小值为
.
【答案】
证明：由题意可得，四边形为菱形，连接，
取的中点，连接，.
在中，，且，，
由余弦定理可得，，
则，则，
即，即．
∵
是的中点，∴
．
∴
，∴
为等边三角形，
∴
，且，
∴
，∴
，即．
又∵
，且，∴
平面，
∵
平面，∴
平面平面．
解：以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得，
∵
，
∴
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
?
【解答】
证明：由题意可得，四边形为菱形，连接，
取的中点，连接，.
在中，，且，，
由余弦定理可得，，
则，则，
即，即．
∵
是的中点，∴
．
∴
，∴
为等边三角形，
∴
，且，
∴
，∴
，即．
又∵
，且，∴
平面，
∵
平面，∴
平面平面．
解：以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设平面的法向量为，
则
令，得，
∵
，
∴
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【答案】
解：设，则，
由已知，
因此，
.
由，得
得?
∵
点在圆上，
∴
，
即,
∴
的方程为.
依题意，设），过点的直线斜率必存在，
可设直线的方程为，
由消去得，
，
其中，
解得，
且，
则
?
?
.
∵
且，
∴
，
∴
不是定值，且的取值范围是.
【考点】
轨迹方程
椭圆的标准方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设，则，
由已知，
因此，
.
由，得
得?
∵
点在圆上，
∴
，
即,
∴
的方程为.
依题意，设），过点的直线斜率必存在，
可设直线的方程为，
由消去得，
，
其中，
解得，
且，
则
?
?
.
∵
且，
∴
，
∴
不是定值，且的取值范围是.
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