2020-2021学年辽宁省朝阳市高二（上）期中考试数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年辽宁省朝阳市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
已知点和点，则直线的斜率为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.不存在
?
2.
若直线与直线平行，则实数的值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
在平行六面体中，与交于点，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
给出如下命题：
①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
②如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；
③如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；
④如果两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直．
其中正确命题的序号是(?
?
?
?
)
A.①②③
B.②③④
C.①②③④
D.②③
?
5.
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
在底面是正方形的四棱柱中，，，，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
过平面外的直线，作一组平面与相交，若所得交线为，，，，则这些交线的位置关系为(?
?
?
?
)
A.平行或交于同一点
B.相交于同一点
C.相交但交于不同的点
D.平行
?
8.
已知一个球的体积是，则它的内接正方体的表面积为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.若为空间的一组基底，则，，三点共线
B.若为四棱柱，则
C.若，则，，，四点共面
D.若为正四面体，为的重心，则
?
已知点，均在圆外，则下列表述正确的有(?
?
?
?
)
A.实数的取值范围是
B.
C.直线与圆不可能相切
D.若圆上存在唯一点满足，则的值是
?
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.平面
D.与平面所成的角为
?
在四面体中，，，，是棱上一动点，则下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.的面积最小值为
B.平面平面
C.四面体的体积为
D.若为棱的中点，当且仅当点为棱的中点时，平面
三、填空题
?
若正方体的表面积为，则其体积为________.
?
在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中
，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为________.
?
直线与圆相交于，两点，则的最小值为________.
?
在棱长为的正方体中，是的中点，点是正方形内（包括边界）的动点，且满足，则________，当三棱锥的体积取得最大值时，此时________.
四、解答题
?
已知的三个顶点，，.
求边上的中线所在直线的方程；
求边上的高线所在直线的方程.
?
在正四棱柱中，，，在线段上.
若平面，求的长；
在的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.
?
已知点，圆．
求过点且与圆相切的直线方程；
若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值．
?
如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，，，，，为侧棱的中点，且，.
证明：平面；
求二面角的余弦值.
?
已知直线：与圆：交于，两点，为坐标原点.
若，求的面积；
若以为直径的圆过原点，求圆与圆的面积比.
?
在棱长为的正方体中，是底面的中心，是棱上的一点，是棱的中点.
如图，若是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值；
如图，若延长与的延长线相交于点，求线段的长度.
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省朝阳市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
直线的斜率
【解析】
由题意代入斜率公式，化简可得．
【解答】
解：∵
，，
∴
直线的斜率为：.
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，解得.
故选.
3.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
【解答】
解：如图，
.
故选.
4.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
平行公理
平面的基本性质及推论
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由直线与平面垂直的性质定理可知，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；
由平面平行的性质定理可知，如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，故②正确；
由两平面垂直的判定定理可知，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，故③正确；
由两直线垂直的定义可知，如果两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直，故④正确.
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆锥的底面半径为，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，
故其母线长为，
所以圆锥的表面积为，解得.
故选.
6.
【答案】
D
【考点】
空间向量的加减法
向量的模
【解析】
，将两边取模，并平方可求得．
【解答】
解：因为，
所以
，
所以.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
当直线与平面平行时，…；当直线与平面相交时，设，则、、，…是过点的直线．
【解答】
解：当直线与平面平行时，，；
当直线与平面相交时，
设，则，，，是过点的直线，
∴
这些交线的位置关系为都平行或都交于同一点.
故选.
8.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设球的半径为，它的内接正方体的边长为.
由，
解得.
又∵
，
解得，
∴
.
故选.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
若}为空间的一组基底，则向量不共面，则，，三点不共线，所以错误；若为四棱柱且底面为平行四边形，则，所以错误；，正确.
【解答】
解：若}为空间的一组基底，则向量不共面，则，，三点不共线，所以错误；
若为四棱柱且底面为平行四边形，即时，满足，所以错误；
已知，
若向量与共线，则也与，共线，即，，，四点共面，
若向量与不共线，则点在平面内，即，，，四点共面，所以正确；
设为的重心，点为的中点，则，
所以
，
即，
所以正确.
故选.
【答案】
A,B,D
【考点】
直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，
，
∴
，故正确；
∵
，故正确；?
∵
点到的距离为点C到轴的距离，，
当时，直线与圆相切，故错误；
∵
，
∴
点在以线段为直径的圆上.
又∵
，，
∴
点在圆上.
又∵
点在圆：（）上，
点，均在圆外，
∴
圆与圆外切，且点为切点，
∴
?，
∴
，故正确.
故选.
【答案】
C,D
【考点】
直线与平面所成的角
两条直线垂直的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
根据线面垂直的判定定理与性质定理，结合反证法，二面角的定义判断即可．
【解答】
解：，若，
∵
底面，
∴
.
又，
∴
.
又，
∴
平面.
∵
平面，
∴
.
又，
∴
平面，
与平面矛盾，故错误；
，如图，连接，
∵
底面，底面，
∴
.
若，且，
则平面，
则，显然不成立，故错误；
，，是的中点，
.
由题意得，，，，
平面.
平面，
.
∵
，分别为，的中点，
∴
，
.
又，
平面，故正确；
，如图，连接，
∵
平面，
∴
是与平面所成的角.
由得，，
在中，，
∴
与平面所成的角为，故正确.
故选.
【答案】
A,B,C,D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面平行的判定
平面与平面垂直的判定
【解析】
在四面体中，在中，则，同理．在中，，所以是等腰直角三角形．取的中点，连接和．则在中，，所以又，所以平面，所以平面平面,?
所以四面体的体积为.若点为的中点，则的面积取到最小值，最小值为。若点为棱的中点，则，又平面，平面，所以平面，故选
【解答】
解：在四面体中，，，
.
在中，，，
则，同理.
在中，，所以是等腰直角三角形.
取的中点，连接和，则.
在中，，所以，
又，所以平面，所以平面平面,?
所以四面体的体积为，故正确；
若点为的中点，则的面积取到最小值，
最小值为，故正确；
若为棱的中点，点为棱的中点，则，
又包含于平面，不包含于平面，
所以平面，故正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据正方体的表面积的计算公式，求出边长，进而求得体积．
【解答】
解：设正方体边长是，
根据题意得，
解得，
∴
正方体的体积是.
故答案为：.
【答案】
【考点】
点、线、面间的距离计算
空间向量运算的坐标表示
【解析】
直接利用空间点到平面的距离公式求解即可．
【解答】
解：∵
，
∴
到平面的距离为.
故答案为：.
【答案】
【考点】
与圆有关的最值问题
【解析】
直线可化为令’∴
∴
直线过定点，且在圆内，即当时，最小，此时，
【解答】
解：直线
可化为，
令可得
∴
直线过定点，且在圆内，
即当时，最小，此时.
故答案为：.
【答案】
,
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意易得，所以；
建立如图所示坐标系，设点坐标为，
则点坐标为，
因为，
所以，，
所以，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.
又因为，，
若三棱锥的体积取得最大值，
则三棱锥的高最大，即最大.
当时，最大值为，
所以.
故答案为：；.
四、解答题
【答案】
解：由题意得，边的中点的坐标为，
所以直线的斜率，
所以边上的中线所在直线方程为，
即.
由题意得，直线的斜率，
所以边上的高所在直线方程为，
即.
【考点】
直线的斜率
中点坐标公式
直线的点斜式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，边的中点的坐标为，
所以直线的斜率，
所以边上的中线所在直线方程为，
即.
由题意得，直线的斜率，
所以边上的高所在直线方程为，
即.
【答案】
解：由已知可得，，，两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，
，，，，
设（），则，
，，，
∴
，
∴
.
由平面得，，
解得，即的长为.
由得，
为平面的一个法向量，
∴
，
∴
与平面所成角的正弦值为.
【考点】
直线与平面垂直的性质
空间向量的数量积运算
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知可得，，，两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，
，，，，
设（），则，
，，，
∴
，
∴
.
由平面得，，
解得，即的长为.
由得，
为平面的一个法向量，
∴
，
∴
与平面所成角的正弦值为.
【答案】
解：由圆的方程为知，圆心，半径是．
①当切线斜率存在时，设所求直线方程为，
即，设圆心到直线的距离为，
因为，
所以，
此时，方程为，即；
②当切线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切．
所以过点且与圆相切的直线方程为或．
因为弦的长为，圆心，半径是，
所以圆心到直线的距离为：
．
因为，
所以．
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点的圆的切线方程；
（2）因为弦的长为，所以点到直线的距离为，即可求的值．
【解答】
解：由圆的方程为知，圆心，半径是．
①当切线斜率存在时，设所求直线方程为，
即，设圆心到直线的距离为，
因为，
所以，
此时，方程为，即；
②当切线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切．
所以过点且与圆相切的直线方程为或．
因为弦的长为，圆心，半径是，
所以圆心到直线的距离为：
．
因为，
所以．
【答案】
证明：取的中点，连接，，
∵
为侧棱的中点，
∴
.
∵
，，，
∴
四边形为平行四边形，
∴
.
∵
，
∴
平面平面.
又∵
平面，
∴
平面.
解：过点作于，
∵
平面平面，
∴
平面.
∵
，，，
∴
，，，
如图，取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
∴
，，
，，
设是平面的一个法向量，
则取，得.
设是平面的一个法向量，
则取，得，
∴
，
由图知二面角为钝角，
∴
二面角的余弦值为.
【考点】
直线与平面平行的判定
二面角的平面角及求法
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）取中点，连结，，推导出四边形为平行四边形，从而，进而平面平面，由此能证明平面．
（2）过点作于，从而平面，取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【解答】
证明：取的中点，连接，，
∵
为侧棱的中点，
∴
.
∵
，，，
∴
四边形为平行四边形，
∴
.
∵
，
∴
平面平面.
又∵
平面，
∴
平面.
解：过点作于，
∵
平面平面，
∴
平面.
∵
，，，
∴
，，，
如图，取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
∴
，，
，，
设是平面的一个法向量，
则取，得.
设是平面的一个法向量，
则取，得，
∴
，
由图知二面角为钝角，
∴
二面角的余弦值为.
【答案】
解：由题意知直线：?，
圆，
圆心到直线的距离为，
点到直线的距离为，
弦的长为，
的面积为.
设，，
∵
以为直径的圆过原点，
∴
，即①，
由
消去得，
∴
，②，
③，
把②③式代入①式，得，
解得或，且或都使得成立.
∴
或?.
当时，由知圆的直径，圆的直径为，
圆与圆的面积比为；
当时，圆心到直线的距离为，
弦的长为，
圆与圆的面积比为.
综上，圆与圆的面积比为或.
【考点】
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
直线与圆相交的性质
圆的综合应用
【解析】
由点到直线的距离为，弦的长为?的面积为，即可求解；
设?，由消去得：?得，解得或，分别求出面积比即可．
【解答】
解：由题意知直线：?，
圆，
圆心到直线的距离为，
点到直线的距离为，
弦的长为，
的面积为.
设，，
∵
以为直径的圆过原点，
∴
，即①，
由
消去得，
∴
?，②，
③，
把②③式代入①式，得，
解得或，且或都使得成立.
∴
或?.
当时，由知圆的直径，圆的直径为，
圆与圆的面积比为；
当时，圆心到直线的距离为，
弦的长为，
圆与圆的面积比为.
综上，圆与圆的面积比为或.
【答案】
解：如图，连接，取的中点，连接，.
∵
，，分别为，，的中点，
∴
，，
且，.
∴
，且，
∴
四边形为平行四边形，
∴
，
∴
?为异面直线与所成的角.
在中，易求，，,
∴
,
∴
，
∴
.
∵
，且在平面内，
∴
平面.
同理平面.
又∵
平面平面，
∴
.
∵
，且为的中点，
∴
，
∴
，
∴
.
【考点】
异面直线及其所成的角
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
连接，取的中点先得出四边形为平行四边形，所以?，即为异面直线与所成的角，计算即可；
由公理知，可得，则，即可得出线段的长度．
【解答】
解：如图，连接，取的中点，连接，.
∵
，，分别为，，的中点，
∴
，，
且，.
∴
，且，
∴
四边形为平行四边形，
∴
，
∴
?为异面直线与所成的角.
在中，易求，，,
∴
,
∴
，
∴
.
∵
，且在平面内，
∴
平面.
同理平面.
又∵
平面平面，
∴
.
∵
，且为的中点，
∴
，
∴
，
∴
.
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◎
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