2020-2021学年辽宁省朝阳市高一（上）期中考试数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年辽宁省朝阳市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
已知集合{，}，则的真子集个数为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
函数的定义域为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
3.
下列图象不可能成为函数图象的是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
4.
下列与函数表示同一函数的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（????????）
A.三角形内角和为
B.有些梯形是平行四边形
C.
D.至少有一个整数，使得
?
6.
已知，则函数的最小值为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知是定义在上的偶函数，当
时，，则当时，?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
8.
若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是?
?
?
?
A.或
B.或
C.或
D.或
二、多选题
?
下列函数在上为减函数的是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
下列命题为真命题的是（????????）
A.函数是偶函数且在区间上单调递增
B.函数的最小值为
C.“”是“”的充要条件
D.
?
已知是定义在上的增函数，则下列结论错误的是(?
?
?
?
)
A.是增函数
B.是减函数
C.是减函数
D.是增函数
?
德国数学家狄里克雷（，
，）在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（????????）
A.
B.的值域为
C.为奇函数
D.
三、填空题
?
若，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
?
已知，则________.
?
函数在上单调递增，则的取值范围是________.
?
已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围为________；若在)上的值域为，则实数的取值范围为________．
四、解答题
?
已知集合，.
当时，求；
若，求实数的值．
?
已知函数.
当，时，解不等式；
若，且，求的最小值．
?
设函数，且.
判断的奇偶性，并说明理由；
证明：函数在区间上单调递增．
?
某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，总收益（单位：元）?其中(单位：台)是仪器的月产量.
注：总收益总成本利润
将利润表示为月产量的函数；
求公司所获月利润的最大值．
?
设函数.
当时，求函数的零点；
讨论函数零点的个数．
?
已知函数，且.
求实数的值，并判断的奇偶性；
作出函数的图象，并指出的单调减区间；
求时函数的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省朝阳市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集的个数问题
【解析】
无
【解答】
解：集合有个元素，
所以集合的真子集个数为个．
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意，得??∴
且，∴
定义域为．故选．
【解答】
解：由题意，得??
∴
解得，且，
∴
定义域为．
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
函数的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由选项中的图象可得，选项中有一个自变量的值对应两个函数值，
所以不可能成为函数图象．
故选．
4.
【答案】
A
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据确定函数的三要素是定义域、对应法则和值域，若两个函数表示同一函数则函数的定义域和解析式相同，据此可判断出答案．
【解答】
解：对于，函数的定义域为，
与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于，函数的定义域为，
与的定义域不同，不是同一函数;
对于，函数，与的对应关系不同，不是同一函数；
对于，函数的定义域为，
与的定义域不同，不是同一函数.
故选
5.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
无
【解答】
解：项是全称量词命题且为真命题；
项与项为真命题；
，所有的梯形都不是平行四边形，故该命题既是存在量词命题又是假命题．
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
，当且仅当，即时，等号成立．故选．
【解答】
解：
，
当且仅当，即时，等号成立．
故选．
7.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
是定义在上的偶函数，
∴
.?
?
若，则．
∵
时，，
∴
当时，，
∴
当时，．
故选.
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由题意可得，函数在上是增函数，
且，
函数的单调性示意图如图所示：
由不等式，
得或
结合函数的图象可得，不等式的解集为．
故选．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于选项，在上递减，符合题意；
对于选项，在上递减，在上递增，不符合题意；
对于选项，在上为增函数，不符合题意；
对于选项，在上递减，符合题意．
故选?.?
【答案】
C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
基本不等式
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：,当时，，
当时，所以不是偶函数，故选项错误；
,令?，
当且仅当，即时取“”，显然“”无法成立．
故的最小值不为，
借助函数的单调性可得其最小值为，故选项错误；
,，则
∴
，故选项正确；
,当时，成立，故选项正确．
故选．
【答案】
A,B,D
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
设在上递增．对于选项在上递减，故选项错误；对于选项，在和上递减，但不能说是减函数，故选项错误；对于选项，是减函数．下证明一般性：由于是定义在上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知是上的减函数．故选项正确；对于选项，在递减，故选项结论错误．故选．
【解答】
解：设在上递增，
，在上递减，故错误；
，在和上递减，但不是减函数，故错误；
，是减函数，由于是定义在上的增函数，
根据复合函数单调性同增异减可知是上的减函数．故正确；
，在递减，故错误．
故选．
【答案】
A,B,D
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的求值
函数的值域及其求法
【解析】
∵
为无理数，∴
，正确；∵
有理数和无理数构成了全体实数，∴
的值域为，正确；若为有理数，则为有理数，则；若为无理数，则为无理数，则，∴
为偶函数，错误；若为有理数，则为有理数，，若为无理数，则为无理数，?，∴
，正确．故选．
【解答】
解：∵
为无理数，∴
，正确；
∵
有理数和无理数构成了全体实数，
∴
的值域为，正确；
若为有理数，则为有理数，则,
若为无理数，则为无理数，则，
∴
为偶函数，错误；
若为有理数，则为有理数，，
若为无理数，则为无理数，?，
∴
，正确．
故选．
三、填空题
【答案】
充分不必要
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：“”则“”，但是“”可得“或”，
∴
“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
【答案】
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
利用换元法进行求解即可．
【解答】
解：设，则，
则函数等价为，
即，
故答案为：.
【答案】
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
讨论是否为，当＝时，为一次函数，判定是否满足条件，当时，函数是二次函数，然后根据二次函数性质建立关系式，从而求出所求．
【解答】
解：当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，函数，在上单调递增，
∴
解得：.
故答案为：.
【答案】
??
,
【考点】
分段函数的应用
函数单调性的性质
函数的值域及其求法
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：根据题意，作出函数图象如下：
当时，在上单调递减.
∵
，
∴
且，
解得，
结合图象可知．
故答案为：?;?.
四、解答题
【答案】
解：当时，
?,
则或，
?∴
.
，，
∴
有解得．
?此时，符合题意，
故实数的值为.
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：当时，
?,
则或，
?∴
.
，，
∴
有解得．
?此时，符合题意，
故实数的值为.
【答案】
解：由题可得，
则，
?即，
?解得，?
所以的解集为.
由，得，
?，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
【考点】
一元二次不等式的解法
绝对值三角不等式
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：由题可得，
则，
?即，
?解得，?
所以的解集为.
由，得，
?，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
【答案】
解：由，得，则，
所以．
为奇函数，
理由如下：的定义域为，
．
证明：设，且，
?则
?，
因为，
所以?，，
所以，
故在上单调递增．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：由，得，则，
所以．
为奇函数，
理由如下：的定义域为，
．
证明：设，且，
?则
?，
因为，
所以?，，
所以，
故在上单调递增．
【答案】
解：由于月产量为台，则月总成本为元，
∴
利润
当时，
，
∴
当时，有最大值；
当时，，
，
∴
当时，有最大值.
即当月产量为台时，公司所获利润最大，且最大利润是元．
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数最值的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：由于月产量为台，则月总成本为元，
∴
利润
当时，
，
∴
当时，有最大值；
当时，，
，
∴
当时，有最大值.
即当月产量为台时，公司所获利润最大，且最大利润是元．
【答案】
解：当时，，
令，得，
即，
整理得，
即或，
故当时，函数的零点为和.
①时，，无零点；
②时，，．
时，即或时，
有两个不相等的实数根，即有两个零点；
，
即或时，由①得时无零点，
所以时，有一个零点；
，即时，无零点．
综上所述，当时，无零点；
当时，有一个零点；
当或时，有两个零点.
【考点】
函数的零点
函数零点的判定定理
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
无
无
【解答】
解：当时，，
令，得，
即，
整理得，
即或，
故当时，函数的零点为和.
①时，，无零点；
②时，，．
时，即或时，
有两个不相等的实数根，即有两个零点；
，
即或时，由①得时无零点，
所以时，有一个零点；
，即时，无零点．
综上所述，当时，无零点；
当时，有一个零点；
当或时，有两个零点.
【答案】
解：由函数，且，可得，
∴
，
∴
函数，
的定义域为，
且，
∴
为奇函数．
它的图象如图所示：
结合图象可得的单调减区间为，．
当时，结合函数的图象可得，
，，
，
可知时，函数的值域为．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的单调性及单调区间
函数的求值
函数的图象
函数的值域及其求法
【解析】
无
无
无
【解答】
解：由函数，且，可得，
∴
，
∴
函数，
的定义域为，
且，
∴
为奇函数．
它的图象如图所示：
结合图象可得的单调减区间为，．
当时，结合函数的图象可得，
，，
，
可知时，函数的值域为．
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