2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）9月月考数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
?
1.
设，则?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知正的顶点都在球的球面上，正的边长为．若球心到所在平面的距离为，则球的表面积为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
3.
在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
下列叙述中，错误的一项为(?
?
?
?
)
A.棱柱的面中，至少有两个面相互平行
B.棱柱的各个侧面都是平行四边形
C.棱柱的两底面是全等的多边形
D.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
?
5.
在中，如果，，，则的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
的内角，，的对边分别是，，．若，则一定为(?
?
?
?
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
?
7.
如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是?
?
?
??
A.
B.
C.
D.
?
8.
若直线不平行于平面，且，则(?
?
?
?
)
A.内的所有直线与异面
B.内不存在与平行的直线
C.与直线至少有两个公共点
D.内的直线与都相交
?
9.
已知，是空间中两个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.若，，且，则
B.若，，且，则
C.若，，且，则
D.若，，且，则
?
10.
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的形状为(????????)
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
?
11.
在中，角，，所对边的长分别为，，．若，则的值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为________．
?
设复数满足，，则________.
?
的内角，，的对边分别为，，.?
已知，则________.
?
已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为________．
?
已知，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题是________.（填写所有正确命题的序号）
三、解答题
?
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面，点为棱的中点．求证：
平面；
平面平面．
?
的内角，，的对边分别为，，，己知.
求；
，证明：?是直角三角形．
?
在中，有.
求；
若，角的角平分线交于，，求边的长．
?
如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.求证：
平面；
.
?
如图已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
证明：?，且平面平面.
设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
?
如图，在四棱锥
中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.
求证：平面;
若，且平面平面，证明：平面
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
共轭复数
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知：，
所以.
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
球的表面积和体积
【解析】
本题主要考查球的表面积的求法.
【解答】
解：设圆的半径为，球的半径为.
,
.
，
，
.
故选.
3.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：取，的中点分别为，，连接，
则.设，连接.
则，
，
.
由余弦定理得：
?，
∴
异面直线与所成角的余弦值为．
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
根据棱柱的定义可知对，正棱柱，正棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故错；
【解答】
解：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱.
由棱柱的概念可知，，正确；
棱柱中两个互相平行的平面，有可能是棱柱的侧面，所以棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，故错误.
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
在中，由正弦定理得到，结合余弦定理，我们易求出与的关系，进而得到与的关系，然后根据三角形内角和为，即可求出角的大小，再由的面积为，运算求得结果．
【解答】
解：在中，由，可得，
又∵
，由余弦定理，可得：，解得．
故是等腰三角形，，．
故的面积为.
故选．
6.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
三角形的形状判断
【解析】
由，展开整理得，，得，即可得答案
.?
【解答】
解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
∵
为三角形内角，
∴
，
∴
，
∴
为钝角，
∴
为钝角三角形.
故选
.?
7.
【答案】
D
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．
【解答】
解：直观图还原成平面图形，则，
，，
∴
的长为．
故选．
8.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：因为，直线不平行于平面，
所以直线只能与平面相交，
此时存在与共面的直线，也存在与异面的直线，
且直线与平面只有一个公共点，
所以平面内不存在与平行的直线．
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
平面与平面垂直的性质
平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，若，，且，则，或相交，或平行，或异面，故错误；
，若，，且，则，或相交，或平行，或异面，故错误；
，若，，且，则，故正确；
，若，，且，则，或相交，或平行，或异面，故错误.
故选
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意及余弦定理可得，
解得.
由正弦定理得，
，
解得或，
因为，
所以，
所以为等边三角形.
故选.
11.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
在中，由余弦定理求得，根据的范围，求出?的大小，即可得出结果．
【解答】
解：在中，因为，
由余弦定理可得，
∴
．
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
【解析】
本题主要考查长方体的性质与球的表面积公式.
【解答】
解：依题意得，长方体的体对角线长度为，
记长方体的外接球的半径为，则有，
因此球的表面积.
故答案为：.
【答案】
【考点】
复数的模
【解析】
首先设出复数，根据求出，利用复数模的计算公式求解即可.
【解答】
解：由题设，则，
故?，
，
则
，
故.
故答案为：.
【答案】
【考点】
正弦定理
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据正弦定理可知，，
即，，
，
.
又，
，
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
直线与平面所成的角
同角三角函数间的基本关系
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
【解答】
解：圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，
可得，
由的面积为，且与圆锥底面所成角为，
可得，
即，
即，
所以圆锥的底面半径为：
，
则该圆锥的侧面积：．
故答案为：．
【答案】
②③④
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】
解：①如果，，，那么，故错误；
②如果，则存在直线，使，由，可得，那么．故正确；
③如果，，那么与无公共点，则．故正确；
④如果，，那么，与所成的角和，与所成的角均相等．故正确.
故答案为：②③④.
三、解答题
【答案】
证明：连接，交于，
由为棱的中点，为的中点，
则，
又平面，平面，
则平面；
由平面，
则，
底面为矩形，
则，
又＝，
则有平面，
由平面，
则有平面平面．
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）连接，交于，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得平面，由线面垂直和矩形的定义即可得证．
【解答】
证明：连接，交于，
由为棱的中点，为的中点，
则，
又平面，平面，
则平面；
由平面，
则，
底面为矩形，
则，
又＝，
则有平面，
由平面，
则有平面平面．
【答案】
解：由可得：?，
，
，
.
∵
，
∴
.
由可得，
又，即，
，
∴
或（舍），
∴
，
即.
故三角形为直角三角形．
【考点】
诱导公式
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用诱导公式，同角三角函数基本关系来化简题目中所给等式可得，解得，结合的取值范围，可求的值；
利用余弦定理和已知条件，求出的关系，即可证明.
【解答】
解：由可得：?，
，
，
.
∵
，
∴
.
由可得，
又，即，
，
∴
或（舍），
∴
，
即.
故三角形为直角三角形．
【答案】
解：由，知，
得.
∵
，∴
，
∴
，即；
∵
，∴
.
∵
为角平分线，∴
从而
∴
设，在中，
根据余弦定理得，
求得.
在中，根据正弦定理得，
求得.
【考点】
两角和与差的正弦公式
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由，知，
得.
∵
，∴
，
∴
，即；
∵
，∴
.
∵
为角平分线，∴
从而
∴
设，在中，
根据余弦定理得，
求得.
在中，根据正弦定理得，
求得.
【答案】
证明：如图，取的中点，连结、.
因为，分别是，的中点，
所以，且.
在直三棱柱中，
，，
又因为是的中点，
所以，且．
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
即，
如图，连结，
因为在平行四边形中，，
所以，
又因为，
且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
【考点】
两条直线垂直的判定
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质
直线与平面平行的判定
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，取的中点，连结、.
因为，分别是，的中点，
所以，且.
?在直三棱柱中，
，，
又因为是的中点，
所以，且．
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
即，?
如图，连结，
因为在平行四边形中，，
所以，
又因为，
且，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
【答案】
证明：∵
，分别为，的中点，底面为正三角形，
∴
，四边形为矩形，?，
∴
，而，?，
∴
.
又∵
，
∴
面.
∵
面，
∴
平面平面.
∵
三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，
∴
.
∵
平面，平面，平面平面，
∴
，四边形为平行四边形，
而为正三角形的中心，?，
∴
，，.
由知直线在平面内的投影为，
直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角.
在等腰梯形中，令，过作于，
则，，，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【考点】
两条直线平行的判定
平面与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
推导出，四边形为矩形，
，从而，由此能证明，且平面平面.
推导出，进而推导出，四边形为平行四边形，，
，，直线在平面内的投影为，从而直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】
证明：∵
，分别为，的中点，底面为正三角形，
∴
，四边形为矩形，?，
∴
，而，?，
∴
.
又∵
，
∴
面.
∵
面，
∴
平面平面.
∵
三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，
∴
.
∵
平面，平面，平面平面，
∴
，四边形为平行四边形，
而为正三角形的中心，?，
∴
，，.
由知直线在平面内的投影为，
直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角.
在等腰梯形中，令，过作于，
则，，，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】
证明：因为点、分别是棱和的中点，
所以
?，
又在矩形中，
，
所以，
又面,面，
所以//平面
在矩形中，
?，
又平面
平面，平面∩平面
，面，
所以平面,
又面，所以.①
因为，且是的中点，
所以，②
由①②及面,
面，?，
所以
平面
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：因为点、分别是棱和的中点，
所以??，
又在矩形中，?，
所以，
又面,面，
所以//平面
在矩形中，??，
又平面??平面，平面∩平面?，面，
所以平面,
又面，所以.①
因为，且是的中点，
所以，②
由①②及面,?面，?，
所以??平面
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