2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）期中考试数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
向量，，若，且，则的值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
若?，则?
?
?
??
A.
B.
C.
D.
?
3.
半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知，则点到直线的距离为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
，，是由点出发的三条射线，两两夹角为，则与平面所成角的余弦值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
如图，三棱锥中，
为边长为的等边三角形，是线段的中点，
，且，，，则与平面所成角的正切值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
设是棱长为的正方体，以下结论为正确的有(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
下面四个结论正确的是(?
?
?
?
)
A.任意向量，，满足
B.若空间四个点，，，，
，则，，三点共线
C.已知向量，，若，则为钝角
D.已知三点，，不共线，为平面外一点，若，则点在平面上
?
下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.不能表示过点且斜率为的直线方程
B.在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C.直线与轴的交点到原点的距离为
D.过两点，的直线方程
?
下面四个命题中，正确命题的序号是(?
?
?
?
)
①“直线直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；
②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；
③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；
④“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．
A.①
B.②
C.③
D.④
三、填空题
?
在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积的最大值为________.
?
二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为________.
?
已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为________.
?
已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：①；②；③是平面的法向量；④．其中正确的是________.(填序号)
四、解答题
?
已知两直线：和：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
?
在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
求角的大小；
求的取值范围．
?
如图，四棱锥的底面是正方形，
平面，
．为中点.
求；
求二面角余弦值的大小；
求点到平面的距离．
?
在长方体中，，
，，分别是，的中点．
求证：；
求：异面直线与所成角的余弦值．
?
如图，在四棱锥中，平面平面，
，，，，，.
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求长，若不存在，说明理由．
?
如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省沈阳市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
【解析】
根据求出的值，再根据得出，列方程求出的值，即可计算的值．
【解答】
解：∵
，若，
∴
，
解得：.
又∵
，且，
∴
，
解得：，
∴
．
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由?，
得.
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【解答】
解：，
所以，
则，
所以.
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，，，
∴
，，
∴
点到直线的距离为
.
故选.?
5.
【答案】
C
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
过上任意一点作平面，则就是直线与平面所成的角．先证明点在的平分线上，通过解直角三角形、，求出直线与平面所成角的余弦值．
【解答】
解：根据题意，作图如下，
在上任取一点，作平面，
则就是直线与平面所成的角，?
?
?
?
??
过点作，.
∵
平面，
∴
，．，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
点在的角平分线上，即．
设，
∵
，
∴
.
在中，，，则．
在中，，，
则，
即与平面所成角的余弦值为．
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，，，
∴
，
∴
为直角三角形，且.
∵
为等边三角形，且为中点，
∴
，
又∵
，
由线面垂直判定定理，可得平面，
过点作的平行线交于点，
可得与平面所成的角为，
∴
与平面所成的角的正切值为.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
如图，由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．
【解答】
解：∵
正方形的边长为，
它是水平放置的一个平面图形的直观图，
∴
，
∴
对应原图形如图所示，平行四边形的高为.
∴
，
，
∴
原图形的周长为.
故选.
8.
【答案】
A
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
设出上底面半径为，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，求出上底面半径，即可．
【解答】
解：设上底面半径为，
因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，
母线长为，圆台的侧面积为，
所以，.
故选.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
空间向量的数量积运算
空间向量运算的坐标表示
【解析】
由题意，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误；
所以正确的结论为BC.
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
∴
，，，
，，，
∴
，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误.
故选.
【答案】
B,D
【考点】
空间向量的数乘运算
共线向量与共面向量
空间向量的数量积运算
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：向量的数量积运算不满足结合律，故错误；
∵
，
∴
，
即，
∴
，，三点共线，故正确；
∵
，，
∴
，
当时，，
当时，则，故错误；
∵
，
∴
，
整理，得，
∴
在平面上，故正确.
?故选.
【答案】
A,D
【考点】
直线的斜截式方程
直线的截距式方程
直线的点斜式方程
直线的两点式方程
【解析】
将各个选项进行逐一分析求解即可.
【解答】
解：∵
直线，定义域为，不包含点，
∴
不能表示过点的直线，故正确；
当时，
不能表示在轴、轴上的截距为的直线，故错误；
直线与轴的交点到原点的距离为，故错误；
过两点，的直线方程表示为
，故正确.
故选.
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
空间中直线与直线之间的位置关系
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的判定
【解析】
利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．
【解答】
解：平行于所在的平面或与异面，故①错误；
根据直线与平面垂直的定义可得，
直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”，故②正确；
直线，不相交直线，异面或平行，故③错误；
平面平面内存在不共线三点到的距离相等，
内存在不共线三点到的距离相等平面平面或相交，故④正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
正弦定理
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，
∴
.
由正弦定理，得，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
由余弦定理，得
，
∴
，
当且仅当时等号成立，
∴
面积的最大值为
．
故答案为：.
【答案】
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
利用向量运算表示，结合条件的垂直关系和长度关系可求．
【解答】
解：如图，
由条件，知?，，
，
，
∴
.
又∵
，
∴
，
∴
二面角的大小为.
故答案为：.
【答案】
或
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
斜率的计算公式
【解析】
直线化为：，令，解出可得直线经过定点：．利用斜率计算公式可得：、，根据直线和以
、为端点的线段相交，即可得出实数的取值范围．
【解答】
解：直线化为，
令
解得：，，
可得直线经过定点.
∵
，，
∴
，.
∵
直线和以
，为
端点的线段相交，如下图，
则实数的取值范围为或.
故答案为：或．
【答案】
①②③
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的共线定理
平面向量数量积
【解析】
利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出．
【解答】
解：，，，
①∵
，
∴
，故①正确；
②∵
，
∴
，故②正确；
③∵
，，
∴
是平面的法向量，故③正确；
④∵
，
假设存在，使得，
则
无解，故④不正确.
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③.
四、解答题
【答案】
解：由可得：
，
解得：，
所以实数的值为.
由，得，
解得：或.
当时，的方程为，
的方程为，
此时，，重合，不符合题意；
当时，的方程为，
的方程为，此时，，平行.
综上所述，当时，实数的值为.
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
（1）由垂直可得，解之即可；
（2）由平行可得，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．
【解答】
解：由可得：
，
解得：，
所以实数的值为.
由，得，
解得：或.
当时，的方程为，
的方程为，
此时，，重合，不符合题意；
当时，的方程为，
的方程为，此时，，平行.
综上所述，当时，实数的值为.
【答案】
解：∵
，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
?.?
.
∵
，
∴
，
∴
，
∴
?.?
∴
的取值范围是?.?
【考点】
余弦定理
正弦函数的定义域和值域
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
?.?
.
∵
，
∴
，
∴
，
∴
?.?
∴
的取值范围是?.?
【答案】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则?，，?，，
∴
，，
∴
．
∵
，
∴
，.
设平面的法向量为，
则
故平面的法向量可取为，
平面的法向量可取为.
设二面角的大小，
即．
由知平面的法向量为．
∵
，
∴
到平面的距离为?．
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
二面角的平面角及求法
点、线、面间的距离计算
【解析】
?
?
?
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则?，，?，，
∴
，，
∴
．
∵
，
∴
，.
设平面的法向量为，
则
故平面的法向量可取为，
平面的法向量可取为.
设二面角的大小，
即．
由知平面的法向量为．
∵
，
∴
到平面的距离为?．
【答案】
证明：连接，
∵
，分别为，的中点，
∴
.
又∵
长方体中，
，，
∴
四边形为平行四边形，
∴
，
∴
．
解：以为原点，分别以，，所在直线
为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
∵
，，
∴
，，，，
，，
∴
，
∴
异面直线与所成角的余弦值为．
【考点】
两条直线平行的判定
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
?
?
【解答】
证明：连接，
∵
，分别为，的中点，
∴
.
又∵
长方体中，
，，
∴
四边形为平行四边形，
∴
，
∴
．
解：以为原点，分别以，，所在直线
为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
∵
，，
∴
，，，，
，，
∴
，
∴
异面直线与所成角的余弦值为．
【答案】
证明：∵
平面平面，?，
∴
平面，
∴
．
又∵
，
∴
平面．
解：取的中点，连结，，
∵
，
∴
．
又∵
平面，平面平面，
∴
平面．
∵
平面，
∴
．
∵
，
∴
．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
由知，面法向量为，，
∴
．
∴
直线与平面所成角的正弦值为．
解：设平面的法向量为，
则
即
令，则，
∴
.
设是棱上一点，则存在，使得，
∴
点，．
∵
不在平面，
∴
平面，
当且仅当，
即，
解得：，
∴
在棱上存在点使得平面，
．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面平行的判定
【解析】
?
?
?
【解答】
证明：∵
平面平面，?，
∴
平面，
∴
．
又∵
，
∴
平面．
解：取的中点，连结，，
∵
，
∴
．
又∵
平面，平面平面，
∴
平面．
∵
平面，
∴
．
∵
，
∴
．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
由知，面法向量为，，
∴
．
∴
直线与平面所成角的正弦值为．
解：设平面的法向量为，
则
即
令，则，
∴
.
设是棱上一点，则存在，使得，
∴
点，．
∵
不在平面，
∴
平面，
当且仅当，
即，
解得：，
∴
在棱上存在点使得平面，
．
【答案】
证明：取的中点，连接，，
∵
，均为边长为的等边三角形，
∴
，，且.
∵
，
∴
，
∴
.
又∵
，平面，平面，
∴
平面．
又∵
平面，
∴
平面平面．
解：∵
，为等边三角形，
∴
.
又∵
，
∴
，.
在中，由正弦定理，得
?，
∴
.
以为坐标原点，以，，为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则?
即?
令，则平面的一个法向量为，
依题意，得平面的一个法向量为，
∴
，
∴
二面角的余弦值为?.?
【考点】
平面与平面垂直的性质
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：取的中点，连接，，
∵
，均为边长为的等边三角形，
∴
，，且.
∵
，
∴
，
∴
.
又∵
，平面，平面，
∴
平面．
又∵
平面，
∴
平面平面．
解：∵
，为等边三角形，
∴
.
又∵
，
∴
，.
在中，由正弦定理，得
?，
∴
.
以为坐标原点，以，，为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则?
即?
令，则平面的一个法向量为，
依题意，得平面的一个法向量为，
∴
，
∴
二面角的余弦值为?.?
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