2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）10月新高考质量测评数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）10月新高考质量测评数学试卷
一、选择题
?
1.
点关于平面对称的点的坐标是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图的面积为，则该平面图形的面积为(?
?
?
?
)
A.
B.?
C.
D.
?
3.
如图，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等于(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知且，，则“”是“”的(?
?
?
?
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
5.
现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆锥的侧面积为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
6.
在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子．现有一边长为米的正方形遮阳布，要用它搭建一个简易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行．设正南方向射出的太阳光线与地面成角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为(?
?
?
?
)
A.
B.?
C.
D.
?
7.
将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则异面直线和所成角的余弦值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
如图，在三棱锥中，平面，，，且为的中点，于，当变化时，则三棱锥体积的最大值是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
下面关于空间几何体叙述不正确的是（????????）
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.棱柱的侧面都是平行四边形
C.直平行六面体是长方体
D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
?
设是空间的一组基底，则下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.，，可以为任意向量
B.对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C.若，，则
D.可以作为构成空间的一组基底
?
如图，有一正四面体形状的木块，其棱长为，点是的中心．劳动课上，需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是（????????）
A.截面与侧面的交线平行于侧面
B.截面是一个三角形
C.截面是一个四边形
D.截面的面积为?
?
如图，已知二面角的大小为，，分别是，的中点，，分别在，上，，且平面，则以下说法正确的是(?
?
?
?
)
A.，，，四点共面
B.平面
C.若直线，交于点，则，，三点共线
D.若的面积为，则的面积为
三、填空题
?
在三棱锥中，平面，，，则为________.
?
如图，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为________.
?
如图，在四面体中，为正三角形，四面体的高，若二面角的大小为，则的面积为________.
?
《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”．书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（?）．如图，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑．若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是________.
四、解答题
?
已知，，，.
求实数的值；
若，求实数的值．
?
如图，在正方体中，为对角线的中点，为的中点．
求异面直线与所成角的大小；
若平面平面，求证：.
?
如图，在三棱锥中，点，分别在棱，上，且为的中点．
当为的中点时，求证：平面；
若平面平面，，求证：.
?
如图，平行四边形的边所在的直线与菱形所在的平面垂直，且，
求证：平面平面；
若，________，求二面角的余弦值．从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．
?
如图，已知三棱台中，平面平面，是正三角形，侧面是等腰梯形，，为的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
?
如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，动点在线段（包含端点，）上，，分别为，的中点，
若为的中点，求点到平面的距离；
设平面与平面所成的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）10月新高考质量测评数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
两点关于平面对称，则这两个点的横，竖坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解.
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标，轴为相反数，轴与轴坐标不变，
故对称点坐标为.
故选.
2.
【答案】
C
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为直接解题即可．
【解答】
解：根据斜二测画法的规则可知该平面图形是直角梯形，
∵
在斜二测画法中，原图面积是直观图面积的倍，
∴
所求梯形的面积是.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
空间向量的加减法
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
直接利用向量的线性运算即可求出结果．
【解答】
解：在三棱锥中，点在上，且，为中点，
所以
.
故选.
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
利用面面垂直线面垂直判定和性质和充要条件的定义即可判断．
【解答】
解：由于，，，
若，根据线面垂直的判断定理，则，
若，根据线面垂直的性质定理，则，
故平面，，，则“”是“”成立的充要条件．
故选.
5.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
【解析】
设圆柱底面半径是，高是，因为轴截面正方形，那么，，根据勾股定理得到圆锥的母线长，最后根据圆锥的侧面积公式，其中为圆锥的底面周长，为圆锥的母线长，即可得到答案.
【解答】
解：设圆柱底面半径是，高是，
∵
轴截面是正方形，
∴
，，
∴
圆锥的底面半径，高，
∴
圆锥的母线长为，
圆锥的底面周长为，
∴
圆锥的侧面积为.
故选.
6.
【答案】
A
【考点】
平行投影及平行投影作图法
【解析】
分析题意，作出草图，借助平行投影，即可求出结果.
【解答】
解：如图：
由题意可知，要使得阴影面积最大，此时遮阳布与光线的方向垂直，
即，作，
则，由题意，
所以，
即遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
正方形边长为，根据三角形中位线定理，得到则，，进而得到为异面直线与所成的角，是解答本题的关键．然后根据等腰直角三角形和正方形的性质，计算出各边的长，即可得到是等边三角形，从而得到答案.
【解答】
解：取，，中点依次为，，，
连接，，，，，，
则，，
∴
为异面直线与所成的角.
正方形边长为，则，，
在等腰直角三角形中，
∵
，
∴
.
∵
点为的中点，
∴
，
同理可得，.
∵
，
∴
是等腰直角三角形.
又∵
点为的中点，
∴
.
在中，，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
.
故选.
8.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
利用几何体的特征，表示体积，再设边长，并表示体积，利用函数求出最值即可.
【解答】
解：∵
平面，
∴
.
设，则，
∵
，
∴
，.
∵
为中点，平面，
∴
的高，
∴
，
令，
则
，
令，
则，
所以当时，?
取最大值为.
故选.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
棱锥的结构特征
棱柱的结构特征
【解析】
利用棱，锥的定义判断即可.
【解答】
解：，正棱柱的侧棱要垂直底面，故不正确；
，棱柱的侧面均是平行四边形，故正确；
，直平行六面体是底面是平行四边形的直四棱柱，故不一定是长方体，故不正确；
，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，故不正确.
故选.
【答案】
B,D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
利用空间向量基底的条件即可判断.
【解答】
解：，作为基底，，的空间向量不能共面，故错误；
，为空间向量的基本定理，故正确；
，若，，可能，故错误；
，假设三个向量共面，则存在实数对，使得,
则有方程组无解，可见三个向量不共面，可以作为基底，故正确.
故选.
【答案】
A,C
【考点】
截面及其作法
【解析】
利用线面平行的判定与性质先完成截面，利用正四面体的性质得，可得解.
【解答】
解：在中，过点做，分别交，于，，
由为的中心，得，
在平面，平面内做，交，于，，
连接，则四边形为所求做的截面，
故平面，故正确；
由正四面体得可得截面为长方形，故错误，正确；
且，，所以截面面积为，故错误.
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
二面角的平面角及求法
平行公理
平面的基本性质及推论
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，由题意，分别是的中点，
则有//，且，
同样地，由分别在上，
且可知//，且，
于是有//，所以四点共面，故正确；
，由，可知四边形为梯形，
所以与相交，从而不可能与平面平行，故错误；
，由在平面中，在平面中，可知若直线与相交于，
则交点在平面与平面的交线，即上，
所以，三点共线，故正确；
，由二面角大小为，平面，且的面积为，
则有，即，故正确.
综上，正确的选项是.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
由条件找出各个角，套公式，可得答案.
【解答】
解：如图所示，由已知条件可得是与平面所成的角，
是与所成的角，是与在平面内射影所成的角，
∴
，
即，
.
又，
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
空间向量的数量积运算
空间向量的数乘运算
【解析】
?
【解答】
解：由题意，在平行六面体中，，，
而为的中点，所以有，
又，，，
计算可知
，即，
所以长度为.
故答案为：.
【答案】
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
【解析】
首先找到二面角的平面角，即可求出，从而求出，即可求出面积.
【解答】
解：取中点，连结，，
则由为正三角形可知，
又因为平面，平面，
所以，而，
所以平面，
所以，
则为二面角的平面角，
即，
则由，可求得，则，
所以的面积为：.
故答案为：.
【答案】
【考点】
球内接多面体
基本不等式在最值问题中的应用
球的表面积和体积
【解析】
利用线面垂直的性质以及球的体积，重要不等式的变形式得解.
【解答】
解：由题知平面，得外接球的球心为的中点，
得，
解得，所以，
则，
，
所以
.
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：.
，
设，
∴
，
∴
即
∴
的值为.
，
．
∵
，
∴
，
解得.
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间向量运算的坐标表示
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：.
，
设，
∴
，
∴
即
∴
的值为.
，
．
∵
，
∴
，
解得.
【答案】
解：如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，
，，，
∴
，，
，
∴
异面直线与所成角为．
证明：在中，，分别为，的中点，
∴
.
平面，平面，
∴
平面.
平面，平面平面，
∴
.
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
两条直线平行的判定
【解析】
??
?
【解答】
解：如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，
，，，
∴
，，
，
∴
异面直线与所成角为．
证明：在中，，分别为，的中点，
∴
.
平面，平面，
∴
平面.
平面，平面平面，
∴
.
【答案】
证明：∵
为的中点，为的中点，
∴
为的中位线，
∴
．
∵
平面，平面，
∴
平面.
如图，过点作于，
∵
平面平面，且平面平面，
∴
平面，
∴
.
∵
且，平面，平面，
∴
平面，
∴
.
∵
为斜边的中点，
∴
.
【考点】
平面与平面垂直的性质
直线与平面平行的判定
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵
为的中点，为的中点，
∴
为的中位线，
∴
．
∵
平面，平面，
∴
平面.
如图，过点作于，
∵
平面平面，且平面平面，
∴
平面，
∴
.
∵
且，平面，平面，
∴
平面，
∴
.
∵
为斜边的中点，
∴
.
【答案】
证明：，
∴
，即为等边三角形.
∵
，
∴
为的中点，故，
∴
.
∵
平面，
∴
.
，
∴
平面.
平面，
∴
平面平面.
解：选①，
由知平面，
，，，
平面平面，
∴
平面．
平面，平面，
∴
，，
∴
即为二面角的平面角．
，，
∴
，
∴
，
∴
，即二面角的余弦值为.
选②，
由()知平面，
∵
?，，
∴
平面平面，
∴
平面．
∵
平面，平面，
∴
，，
∴
即为二面角的平面角．
∵
，，
∴
，
∴
，
∴
，即二面角的余弦值为.
【考点】
二面角的平面角及求法
平面与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：，
∴
，即为等边三角形.
∵
，
∴
为的中点，故，
∴
.
∵
平面，
∴
.
，
∴
平面.
平面，
∴
平面平面.
解：选①，
由知平面，
，，，
平面平面，
∴
平面．
平面，平面，
∴
，，
∴
即为二面角的平面角．
，，
∴
，
∴
，
∴
，即二面角的余弦值为.
选②，
由()知平面，
∵
?，，
∴
平面平面，
∴
平面．
∵
平面，平面，
∴
，，
∴
即为二面角的平面角．
∵
，，
∴
，
∴
，
∴
，即二面角的余弦值为.
【答案】
证明：如图，分别取，的中点，，连结，，，
∵
为正三角形，
∴
．
∵
平面平面，
平面平面，
平面，
∴
平面，
同理，平面，
∴
，
∴
，，，四点共面．
∵
等腰梯形中，，是，的中点，
∴
，又，，
∴
平面.
∵
平面，
∴
.
解：由知平面，
∵
平面，
∴
，
∴
，，两两互相垂直.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图空间直角坐标系，
则由题意知，，，，，
∴
，，.
设平面的一个法向量为，则
令，得，，
此时，
∴
?.
设所求线面角为，则，
∴
直线与平面所成角的正弦值为.
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，分别取，的中点，，连结，，，
∵
为正三角形，
∴
．
∵
平面平面，
平面平面，
平面，
∴
平面，
同理，平面，
∴
，
∴
，，，四点共面．
∵
等腰梯形中，，是，的中点，
∴
，又，，
∴
平面.
∵
平面，
∴
.
解：由知平面，
∵
平面，
∴
，
∴
，，两两互相垂直.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图，
则由题意知，，，，，
∴
，，.
设平面的一个法向量为，则
令，得，，
此时，
∴
?.
设所求线面角为，则，
∴
直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】
解：以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
由图可得，，，，
则，，.
设平面的一个法向量为，
由可得，
设点到平面的距离为，则.
因为动点在线段（包含端点，）上，
可设，
则?，，
设平面的一个法向量为，
由
可得.
∵
平面的一个法向量，
∴
，
∴
当时，取得最大值，此时点与点重合.
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
点、线、面间的距离计算
【解析】
?
?
【解答】
解：以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
由图可得，，，，
则，，.
设平面的一个法向量为，
由可得，
设点到平面的距离为，则.
因为动点在线段（包含端点，）上，
可设，
则?，，
设平面的一个法向量为，
由
可得.
∵
平面的一个法向量，
∴
，
∴
当时，取得最大值，此时点与点重合.
第7页
共20页
◎
第8页
共20页
第9页
共20页
◎
第10页
共20页