2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）12月月考数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
?
1.
点关于平面的对称点为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知直线的方程为，则直线的倾斜角为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是?
?
?
?
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
?
4.
山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（????????）
A.种
B.种
C.种
D.种
?
5.
直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
6.
如图，在平行六面体中，,，，，是与的交点，则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
如图，在直三棱柱
中，，为的中点，则直线与平面所成的角为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
8.
青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
已知曲线，则下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.若，则曲线表示双曲线
B.曲线可能表示一个圆
C.若曲线是椭圆，则其长轴长为
D.若，则曲线中过焦点的最短弦长为
?
已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是（????????）
A.曲线的方程为
B.若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是
C.已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是
D.已知，是曲线上的动点，则的最小值为
?
如图，在三棱锥中，平面，，以为直径的圆经过点，，则下列结论正确的是（????????）
A.平面平面
B.三棱锥的体积为
C.二面角的正切值为
D.三棱锥外接球的表面积为
?
如图，是双曲线：的左、右焦点，是圆上一动点，线段的垂直平分线与直线的交点恰好在双曲线上，则下列结论正确的是（????????）
A.双曲线的渐近线方程为
B.双曲线的离心率为
C.焦点到双曲线的渐近线距离为
D.内切圆圆心的横坐标为或
三、填空题
?
计算：?
?
?
??
.
?
已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________.
?
已知圆与圆相交于，两点，则?
?
?
??
.
?
如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为________；以点为球心，为半径的球面与对角面的交线长度为________．
四、解答题
?
已知空间中三点，，，设，.
求向量与夹角的余弦值；
若与互相垂直，求实数的值．
?
已知直线与圆交于，两点，
求的值；
求与直线平行的圆的切线方程．
?
从①；②直线与平面所成的角为；③为锐角三角形且三棱锥的体积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，分别为，的中点．
求证：直线平面；
若________，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
?
如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部宽米，顶点距离地面米．
以拱门顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；
节日期间需要在拱门对称轴上离地面米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．（灯笼看作点）
?
如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，
证明：；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
?
已知为椭圆的一个焦点，为椭圆与轴正半轴的交点，椭圆上的点满足.
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
在空间直角坐标系中，任一点关于平面的对称点为.
【解答】
解：在空间直角坐标系中，
任一点关于平面的对称点为，
则点关于平面的对称点为.
故选.?
2.
【答案】
C
【考点】
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
直线的斜率为：，
设直线的倾斜角为，
所以.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
空间中的线面位置关系，平行和垂直的结论以及面面垂直的判定定理判断
【解答】
解：若，，则或，选项错误；
若，，则，选项正确；
若，，，则或与相交，选项错误；
若，，，则当时，．
当时，与相交但不垂直，选项错误.
故选.
4.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
分有物理无历史，无物理有历史，无物理无历史讨论即可.
【解答】
解：当选择的科目有物理无历史时，有种情况；
当选择的科目无物理有历史时，有种情况；
当选择的科目无物理无历史时，有种情况，
小明不同的选科情况有种.
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
直线与椭圆的位置关系
直线的斜率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
解：设，
由是线段中点得：
，.
又?，
作差可得：，
代入得：，
∴
直线的斜率为.
故选．
【解答】
解：设，
由是线段中点得：
，.
又?，
作差可得：，
将，代入得：，
∴
直线的斜率为.
故选．
6.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
平面向量数量积的运算
【解析】
先由空间向量的基本定理，将向量用一组基底表示，再利用向量数量积的性质计算即可.
【解答】
?解：∵
?
.
∴
?
.
∵
，
∴
，
，
，
?∴
原式
?，
??.
故选.??
7.
【答案】
B
【考点】
直线与平面所成的角
直线与平面垂直的判定
【解析】
由作，垂足为，
由直三棱柱的定义得面，连接，
则为直线与平面所成的角，可得解.
【解答】
解：由作，垂足为，
由直三棱柱的定义得面，连接，如图，
则为直线与平面所成的角，
设，
，
解得.
在，，
，
，
所以，
所以.
故选.
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的定义
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设双曲线的方程为,
因为该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的两倍，
所以可得花瓶底面直径为，
因为花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱，
所以可得该双曲线正好过点，
所以将点代入双曲线方程可得，解得，
所以.
故选.
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
椭圆的定义和性质
双曲线的特性
椭圆的标准方程
圆的标准方程
【解析】
利用双曲线，椭圆，圆的性质对选项一一进行分析解答即可得.
【解答】
解：对：当，则可得，，所以可得曲线表示双曲线，故正确；
对：当，曲线为一个圆，即，
因为,所以无解，
即可得曲线不可能为一个圆，故错误；
对：当时，即时，曲线为椭圆，此时，
所以，
所以椭圆C的长轴为，故错误；
对：当时，可得曲线为椭圆，
所以椭圆的焦点为，
把代入椭圆，即可得，
所以椭圆过焦点最短的弦长为，故正确.
故选.
【答案】
A,B,D
【考点】
点到直线的距离公式
曲线与方程
抛物线的定义
抛物线的应用
【解析】
由抛物线的定义，结合抛物线的相关性质及最值，对四个选项逐一判断即可得到正确答案.
【解答】
解：由题可知，曲线上任意一点到直线的距离与到点的距离相等，
所以曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，方程为：,故正确；
由抛物线的定义，到直线的距离为，则点的横坐标为,
代入抛物线方程得纵坐标为，故正确；
设的横坐标为,由抛物线的定义得：,则,
所以线段的中点的横坐标为，故错误；
设点到准线的距离为,由抛物线的定义,,
故正确.
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意面，
所以
以为直径的圆过，，
所以面，
面，
可得平面面，故正确.
由，，
，
，故错误.
取的中点，连接，
等边三角形，
，
得为的平面角,
，
故二面角的正切值为，故正确.
由题设三棱锥的外接球直径为，
所以，
.故正确.
故选.
【答案】
B,C,D
【考点】
双曲线的特性
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
轨迹方程
圆锥曲线问题的解决方法
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：，，
所以，
所以，
所以，,
，
所以双曲线方程为，
故双曲线的渐近线方程为，故错误；
，故正确；
焦点到双曲线的渐近线距离为，故正确；
设内切圆圆心为，与，，分别相切于，
，，，
所以
，
又，
所以，，圆心横坐标为，
当当交点在坐支上时，同理可得圆心横坐标为，故正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
组合及组合数公式
【解析】
直接组合，排列公式计算即可.
【解答】
解：.
故答案为：.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
结合离心率结合，，之间的关系即可求出结论．
【解答】
解：∵
，
∴
，即，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：．
【答案】
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
点到直线的距离公式
【解析】
首先求出直线方程，再利用直线与圆相交弦的求法
求解即可.
【解答】
解：把两个圆的方程相减可得直线方程：
，即，
则圆心到直线距离，
故?.
故答案为：.
【答案】
,
【考点】
球的性质
棱柱的结构特征
组合几何体的面积、体积问题
【解析】
由题意作出图形,可得平面截正方体所得截面为等腰梯形
,求出此梯形面积即可,再找出以点M为球心，以为半径的球面与对角面的交线利用弧长公式求解交线长.
【解答】
解：如图，
连接,则,
所以等腰梯形为平面截正方体所得截面图形，
由正方体的棱长为，得,,,
则点到的距离为，
所以,
因为平面平面,且平面平面平面,
过点作于，则平面,
因为点为中点，所以,
以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线为圆弧，
其半径为，
由，,得，
所以,
所求交线为劣弧,
长度为，
故答案是.
四、解答题
【答案】
解：因为，，
所以．
，，
所以，
所以与的夹角余弦值为．
，
因为与互相垂直，
所以，解得：，
所以当与互相垂直时，实数的值为．
【考点】
空间向量的数量积运算
用空间向量求直线间的夹角、距离
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
无
无
【解答】
解：因为，，
所以．
，，
所以，
所以与的夹角余弦值为．
，
因为与互相垂直，
所以，解得：，
所以当与互相垂直时，实数的值为．
【答案】
解：圆的方程可化为，
因为，
所以圆心到直线的距离为．
圆心到直线的距离，
所以．
由得直线的方程为．
因为切线与直线平行，
所以设所求的切线方程为．
因为直线与圆相切，
所以圆心到切线的距离．
所以或．
所以所求切线方程为或．
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
无
无
【解答】
解：圆的方程可化为，
因为，
所以圆心到直线的距离为．
圆心到直线的距离，
所以．
由得直线的方程为．
因为切线与直线平行，
所以设所求的切线方程为．
因为直线与圆相切，
所以圆心到切线的距离．
所以或．
所以所求切线方程为或．
【答案】
证明：如图，取的中点为，连接，．
因为，
所以?.?
因为为中点，四边形为菱形，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
以平面．
解：选择条件①：
因为平面，
所以?.?
因为，
所以以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
.?
则，，，，
所以，，?.?
设平面的一个法向量，
即?
令，则，
设平面的一个法向量，
即
令则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则=?.?
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为?.
选条件②：
因为平面，
所以直线与平面所成角为．
因为，
所以，
所以为正三角形．
取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
.?
则，，
，，，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为?
.?
选条件③：
，
所以，
因为，
所以?.?
取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
.?
则，，
，，，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为?
.
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：如图，取的中点为，连接，．
因为，
所以?.?
因为为中点，四边形为菱形，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
以平面．
解：选择条件①：
因为平面，
所以?.?
因为，
所以以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
.?
则，，，，
所以，，?.?
设平面的一个法向量，
即?
令，则，
设平面的一个法向量，
即
令则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则=
.?
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为?.
选条件②：
因为平面，
所以直线与平面所成角为．
因为，
所以，
所以为正三角形．
取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
.?
则，，
，，，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为?
.?
选条件③：
，
所以，
因为，
所以?.?
取中点为，连接，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
.?
则，，
，，，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面的一个法向量，
即
令，则，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为?
.
【答案】
解：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如图
.?
则??，
设抛物线的标准方程为，
因为点在抛物线上，?
所以，
解得，
所以抛物线的方程为?.?
设为灯笼所在点，?为抛物线上设置牵引绳的点，
则，
，
当时，的最小值为，
即一条牵引绳长度的最小值为?.?
【考点】
抛物线的标准方程
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如图
.?则??，
设抛物线的标准方程为，
因为点在抛物线上，?
所以，解得，
所以抛物线的方程为?.?
【解答】
解：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，如图
.?
则??，
设抛物线的标准方程为，
因为点在抛物线上，?
所以，
解得，
所以抛物线的方程为?.?
设为灯笼所在点，?为抛物线上设置牵引绳的点，
则，
，
当时，的最小值为，
即一条牵引绳长度的最小值为?.?
【答案】
证明：因为，，，
所以，
所以．
因为平面，
平面，，
所以．
因为，
所以．
解：存在，由知，且，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
，，，
，，．
，，
设
（），
则
．
设平面的一个法向量为，
即
令，则，
设点到平面的距离为，
，
解得或（舍）．
所以在线段上存在点，且．
【考点】
两条直线垂直的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
无
【解答】
证明：因为，，，
所以，
所以．
因为平面，
平面，，
所以．
因为，
所以．
解：存在，由知，且，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
，，，
，，．
，，
设
（），
则
．
设平面的一个法向量为，
即
令，则，
设点到平面的距离为，
，
解得或（舍）．
所以在线段上存在点，且．
【答案】
解：由题意设椭圆的标准方程为（）．
则，
因为
，
所以，
因为在椭圆上，
所以，
解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
证明：①当直线的斜率不存在时，设：，因为，
所以．
因为以为直径的圆过原点，
所以，得，
．
此时原点到直线的距离为．
②当直线的斜率存在时，设：．
由得，
，
得，
设，，
则，，
．
因为以为直径的圆过原点，
所以，
所以．
此时原点到直线的距离.
综上，原点到直线的距离为定值．
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意设椭圆的标准方程为（）．
则，
因为
，
所以，
因为在椭圆上，
所以，
解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
证明：①当直线的斜率不存在时，设：，因为，
所以．
因为以为直径的圆过原点，
所以，得，
．
此时原点到直线的距离为．
②当直线的斜率存在时，设：．
由得，
，
得，
设，，
则，，
．
因为以为直径的圆过原点，
所以，
所以．
此时原点到直线的距离.
综上，原点到直线的距离为定值．
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