2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中考试数学试卷 (1)人教B版（Word含解析）

2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
若向量与向量共线，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知过点，的直线的斜率为，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
圆和圆的位置关系是(?
?
?
?
)
A.外离
B.相交
C.内切
D.外切
?
4.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为丈，高为丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为，一斛粟的体积约为立方寸（单位换算：立方丈立方寸），一斛粟米卖钱，一两银子钱，则主人卖后可得银子(?
?
?
?
)
A.两
B.两
C.两
D.两
?
5.
已知直线与直线垂直，则实数(?
?
?
?
)
A.
B.或
C.或
D.
?
6.
过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是(?
?
?
?
)
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
?
在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是(?
?
?
?
)
A.?
B.
C.
D.
?
如图，正四棱台的高为，，，则下述正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.三棱锥外接球的半径为
D.点到面的距离为
?
已知圆，直线，则下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.当时，直线与圆相交
B.为圆上的点，则的最大值为
C.若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是
D.若直线上存在一点，圆上存在两点，，使，则的取值范围是
三、填空题
?
点到直线的距离为________.
?
一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为米，公共的底面是边长为米的正方形，那么这个漏斗的容积为________米.
?
一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为________.
?
如图，在直三棱柱中，点为棱上的点．且平面，则________．已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.
四、解答题
?
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
试用向量，，表示向量；
若，，，求的值．
?
已知圆过点.
求圆的标准方程及其圆心、半径；
若直线分别与轴，轴交于，两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围．
?
从①，②是的中点，③是的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，，，分别为，的中点．
判断与平面的位置关系，并证明你的结论；
若是侧面上的一点，且________，求三棱锥的体积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
?
某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间．已知到高速公路的距离是千米，到高速公路的距离是千米，．以为坐标原点，以为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
求直线的方程；
现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度．
?
如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点．
求证：；
若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
?
在平面直角坐标系中，点在直线上，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，.
求圆的标准方程；
若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
利用向量共线定理即可得出．
【解答】
解：∵
，共线，
∴
存在实数，使得，
∴
?
解得，，，
∴
.
故选.
2.
【答案】
C
【考点】
斜率的计算公式
【解析】
直接利用斜率公式求解即可.
【解答】
解：由题意可得：，
解得：.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
两点间的距离公式
【解析】
分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径和，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系．
【解答】
解：圆可转化为.
又，
所以两圆心的坐标分别为：和，两半径分别为和，
所以两圆心之间的距离.
因为，
所以两圆的位置关系是相交．
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
首先求出锥体的体积，然后更加相应的价格进行求解即可
【解答】
解：因为有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为丈，高为丈，
所以底面半径?（丈），
所以体积?（立方丈）
?（立方寸），
所以主人卖后可得银子：?（两）．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
本题先检验时两直线是否垂直，当时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于，解方程求出．
【解答】
解：当实数时，
两直线的方程分别为和，
则两直线垂直.
当时，即两直线的斜率都存在时，
由斜率之积等于，
得，
解得，
综上，或.
故选.
6.
【答案】
A
【考点】
圆的标准方程
点与圆的位置关系
【解析】
本题主要先根据题目意思设出圆心坐标，然后设出圆的标准方程，最后通过两点在圆上联立方程求出圆心坐标与半径，从而求出圆的方程即可
【解答】
解：因为圆心在上，
则设圆心为，
则圆的方程为.
又，在圆上，
则代入圆的方程得：
解得：
所以圆的标准方程为：.
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
本题主要考查异面直线的夹角问题，通过平移到一个图形，结合三角形求出其夹角即可
【解答】
解：因为，分别为，的中点，
所以，
即问题转化为求与所成夹角.
在正方体中，
因为，
所以三角形为等边三角形，
所以两直线夹角为.
故选.
8.
【答案】
A
【考点】
直线与平面垂直的判定
三角形求面积
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
本题主要根据题目意思找到边长之间的关系，然后根据直接三角形，求出相应边长，最后根据等面积求出点到直线的距离即可
【解答】
解：因为是中点，
所以.
在菱形中，，，
所以是等边三角形，同理是等边三角形，
所以.
又因为点是中点，
所以，，
所以平面平面，
所以平面，
所以.
在直角三角形中，
.
在等腰三角形中，取中点，连，
则，，
所以,
所以，
所以，
所以到的距离为.
故选.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
本题中四个选项涉及的命题是在线面关系的背景下研究线线、线面位置关系．两个选项是在线面平行、面面垂直的背景下研究线线平行与线面垂直，两个选项是在线面平行、面面垂直的背景下研究面面垂直与线面垂直分别由线面平行、面面垂直的性质进行判断得出正确选项．
【解答】
解：，由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，若，，则，故正确；
，两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故正确；
，若，，由线面平行的性质定理可得，存在直线且，则，则，故正确；
，与的关系，可能平行，也可能垂直，故错误.
故选．
【答案】
A,C
【考点】
函数的图象
【解析】
分别判断两条直线的斜率和截距的符号是否一致即可．
【解答】
解：，的斜率，截距，
的斜率，截距，则，
两个图象一致，满足题意；
，的斜率，截距，
的斜率，截距，则，
两个图象不一致，不满足题意；
，的斜率，截距，
的斜率，截距，则，
两个图象一致，满足题意；
，的斜率，截距，
的斜率，截距，则，
两个图象不一致，不满足题意.
故选．
【答案】
A,B,D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
棱台的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，连接，，.
由题意得，，，
∴
.
在中，
，，
∴
，故正确；
，在中，，，
∴
，
∴
.
又，
∴
，故正确；
，∵
，
∴
，故错误；
，∵
，
∴
点到面的距离等于正四棱台的高，即，故正确.
故选.
【答案】
A,D
【考点】
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
点到直线的距离公式
【解析】
利用直线与圆的位置关系结论逐项判定，主要是转化为求圆心到直线的距离问题.
【解答】
解：由题意得，圆的圆心为，半径.
，若，则到的距离，
则直线与圆相交，故正确；
，表示到的距离的平方，
其最大值为，故错误；
，由题意可得到的距离满足，
即，即，故错误；
，①当直线与圆有交点时，成立，
即，解得；
②当直线与圆无交点时，或，
过点作圆的两个切线，切点为，，
则，即，
∴
，
∴
，
则，解得，
综上，的取值范围为，故正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
直接代入点到直线距离公式求解即可.
【解答】
解：由点到直线的距离公式可得：
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
组合几何体的面积、体积问题
【解析】
漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和．
【解答】
解：由题意知，漏斗的容积即为该几何体的体积，
长方体?的体积，
棱锥的体积，
所以这个漏斗的容积.
故答案为：.
【答案】
或
【考点】
直线的点斜式方程
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
利用对称性设出所求直线，再利用直线与圆相切得关系式，即可得解.
【解答】
解：由光的反射原理知，
反射光线必过点.
设反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线方程为，
即.
又因为光线与圆相切，
所以，
整理得，
解得或.
故答案为：或.
【答案】
,
【考点】
弧长公式
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
利用线面平行的性质得到线线平行，再作出截面，利用弧长公式即可得到答案.
【解答】
解：如图，连交于点，连结，过点作，
∵
平面，平面，
平面平面,
∴
.
又为的中点，
∴
为的中点，
∴
，
则易得平面，
且.
球面与侧面的交线长，
即以为圆心，为半径的截面圆的劣弧长，如图，
∵
，
∴
，
∴
的长为.
故答案为：；.
四、解答题
【答案】
解：因为，
所以
，
所以
.
因为点为的中点，
所以．
由题意知，，
，，
所以
?．
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以
，
所以
.
因为点为的中点，
所以．
由题意知，，
，，
所以
?．
【答案】
解：由题意可得，，
解得，
所以圆的方程为，
即圆的标准方程为，
其圆心为，半径为．
由题意可得，，，
所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以点到直线的最小距离为，最大距离为，
所以的面积的最小值为，
最大值为，
所以的面积的取值范围为．
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
点与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
?
?
【解答】
解：由题意可得，，
解得，
所以圆的方程为，
即圆的标准方程为，
其圆心为，半径为．
由题意可得，，，
所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以点到直线的最小距离为，最大距离为，
所以的面积的最小值为，
最大值为，
所以的面积的取值范围为．
【答案】
解：平面.
证明如下：
如图，连结，则与交于点，
因为在中，，分别为，的中点，四边形是矩形，
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，平面，
所以，.
又因为底面是矩形，
所以.
因为，
所以平面.
在中，为的中点，
所以.
选择条件①.
因为，
所以是的三等分点且.
又因为，
所以三棱锥的高为，
所以?，
所以三棱锥的体积是．
选择条件②.
因为是的中点，是的中点，
所以在中，，
所以三棱锥的高为，
所以，
所以三棱锥的体积是．
选择条件③.
设的内切圆与边相切于点，则，
又因为平面，平面，
所以，
所以，
所以三棱锥的高为.
在中，，，
所以，
所以，
所以
，
所以三棱锥的体积是．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：连结，则与交于点，
因为在中，，分别为，的中点，
所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，平面，
所以，.
又因为底面是矩形，
所以.
因为，
所以平面.
在中，为的中点，
所以.
选择条件①.
因为，
所以是的三等分点且.
又因为，
所以三棱锥的高为，
所以?，
所以三棱锥的体积是．
选择条件②.
因为是的中点，是的中点，
所以在中，，
所以三棱锥的高为，
所以，
所以三棱锥的体积是．
选择条件③.
设的内切圆与边相切于点，则，
又因为平面，平面，
所以，
所以，
所以三棱锥的高为.
在中，，，
所以，
所以，
所以
，
所以三棱锥的体积是．
【答案】
解：因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为．
设，
因为的方程为，
所以，
解得或（舍）
所以.
设，，
因为为的中点，在上，
所以
解得
所以，
所以公路段的长度为千米．
【考点】
直线的倾斜角
直线的点斜式方程
点到直线的距离公式
中点坐标公式
【解析】
?
?
【解答】
解：因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为．
设，
因为的方程为，
所以，
解得或（舍）
所以.
设，，
因为为的中点，在上，
所以
解得
所以，
所以公路段的长度为千米．
【答案】
证明：因为四边形为圆柱的轴截面，
所以为底面半圆的直径，
所以.
因为为圆柱的母线，
所以平面.
因为面，
所以.
因为，面，面，
所以面.
因为面，
所以.
解：在上底面圆弧上取一点，使得为母线，故，，两两垂直．
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
因为，，
则，，，，，
则.
设，，
则，
则，.
设平面的法向量.
则
得
令，
得，，
所以，.
设与面所成角为，则
，
解得，
所以点为靠近点的三等分点，
则.
取面的法向量.
设平面与平面所成锐二面角为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【考点】
直线与平面垂直的判定
空间中直线与直线之间的位置关系
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
本题首先通过圆的性质有，然后通过线面垂直到线线垂直再到线面垂直，最后得出.
【解答】
证明：因为四边形为圆柱的轴截面，
所以为底面半圆的直径，
所以.
因为为圆柱的母线，
所以平面.
因为面，
所以.
因为，面，面，
所以面.
因为面，
所以.
解：在上底面圆弧上取一点，使得为母线，故，，两两垂直．
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
因为，，
则，，，，，
则.
设，，
则，
则，.
设平面的法向量.
则
得
令，
得，，
所以，.
设与面所成角为，则
，
解得，
所以点为靠近点的三等分点，
则.
取面的法向量.
设平面与平面所成锐二面角为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【答案】
解：因为，
所以．
设，
得，
解得，
所以.
在中，，为中点，
所以.
设坐标为，
则，
解得或.
①当时，坐标为，，圆心为，
此时圆的标准方程为；
②当时，坐标为，，圆心为，
此时圆的标准方程为.
综上，圆的标准方程为或.
由题意知，圆的标准方程为，
因为圆与轴的正半轴的交点为，
所以，
所以设直线的方程为，
联立得
消去得，
所以，
所以，
所以，
因为两条直线斜率积为，用代替，得.
①直线的斜率存在，即时，
，
所以直线方程为，
即，
即，则直线过定点；
②当直线的斜率不存在，即时，直线方程为，过定点.
综上可得，直线过定点．
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线恒过定点
【解析】
根据直线的效率与倾斜角的关系，求出直线的斜率，然后求出点的坐标，最后求得称圆方程；
根据两直线的斜率之积可设出两个方程，然后将来两直线分别与圆联立，求得和的坐标，然后求出直线的方程，要使得过定点，则求出，然后即可求出定点坐标.
【解答】
解：因为，
所以．
设，
得，
解得，
所以.
在中，，为中点，
所以.
设坐标为，
则，
解得或.
①当时，坐标为，，圆心为，
此时圆的标准方程为；
②当时，坐标为，，圆心为，
此时圆的标准方程为.
综上，圆的标准方程为或.
，圆心为，
此时圆的标准方程为.
综上，圆的标准方程为或.
由题意知，圆的标准方程为，
因为圆与轴的正半轴的交点为，
所以，
所以设直线的方程为，
联立得
消去得，
所以，
所以，
所以，
因为两条直线斜率积为，用代替，得.
①直线的斜率存在，即时，
，
所以直线方程为，
即，
即，则直线过定点；
②当直线的斜率不存在，即时，直线方程为，过定点.
综上可得，直线过定点．
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