2020-2021学年山东省潍坊市高三（下）5月月考数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年山东省潍坊市高三（下）5月月考数学试卷
一、选择题
?
1.
已知全集，集合，，则集合(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
3.
某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人，现用分层抽样的方法从这名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为(????????)
A.
B.
C.
D.
?
4.
如图，在平行四边形中，，若，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
“”是“”的(????????)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
6.
某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为，，其中表示月日，表示月日，以此类推.若，为保护农户的经济效益，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为(????????)
A.月和月
B.月和月
C.月和月
D.月和月
?
7.
双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为等边三角形，则以下说法正确的是(????????)
A.双曲线的渐近线方程为
B.若双曲线的实轴长为，则
C.若双曲线的焦距为，则点的纵坐标为
D.点在以为直径的圆上
?
8.
定义：两个正整数
，，若它们除以正整数
所得的余数相等，则称，对于模同余，记作，比如：．已知，满足，则可以是(????????)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
已知函数且的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(????????)
A.
B.
C.
D.
?
已知，是两个平面，，是两条直线，则下列结论正确的是(????????)
A.如果，，那么
B.如果，，，那么
C.如果，，那么
D.如果，且，那么
?
已知函数，则下列结论正确的是(????????)
A.的周期为
B.的图象关于对称
C.的最大值为
D.在区间上单调递减
?
如图所示的数表中，第行是从开始的正奇数，从第行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.第行第个数为?
B.第行的数从左到右构成公差为的等差数列
C.第行前个数的和为
D.数表中第行第个数为
三、填空题
?
在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则________.
?
设函数
则不等式的解集为________.
?
已知椭圆的左，右焦点分别为，，点，在椭圆上，且满足，，则椭圆的离心率为________.
?
阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________.
四、解答题
?
已知正项等比数列，其中，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
求数列和的通项公式；
设数列的前项和为，证明：．
?
在中，内角，，的对边分别为，，，是上的点，平分，的面积是面积的倍．
求；
若，，求的面积．
?
如图，已知是以为底边的等腰三角形，将绕转动到位置，使得平面平面，连接，，分别是，的中点．
证明：；
在①，②点到平面的距离为，③直线与平面所成的角为这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角的余弦值．
?
第届冬季奥运会将于年月日至月日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投次，先在点处投第一次，冰壶进入营垒区得分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得分和分的概率分别为和，乙得分和分的概率分别为和，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
求甲通过测试的概率；
设为本次测试中乙的得分，求的分布列；
请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？
?
设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足?.?
求抛物线的标准方程；
过点的直线与抛物线交于，两点，分别以，为切点的抛物线的两条切线交于点，求三角形周长的最小值．
?
设函数．
求曲线在点处的切线方程；
若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高三（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
直接交、并、补运算即可.
【解答】
解：∵
，，，
∴
，，故正确；
，，
，故错误；
，故错误；
，故错误.
故选.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据复数的几何意义求出，即可得到结论．
【解答】
解：对应的点的坐标为，
∵
复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴
关于虚轴对称的点的坐标为，
则对应的复数，，
则.
故选.
3.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．
【解答】
解：，
则高三年级的学生中应抽取的人数为.
故选．
4.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
直接利用平面向量的线性运算，即可得出答案.
【解答】
解：∵
，
又∵
，且，不共线，
∴
，，
∴
.
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
必要条件、充分条件与充要条件的判断
诱导公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
直接求三角函数值，即可得出答案.
【解答】
解：∵
，
∴
，
又，
∴
，，或，，
∴
，故充分性成立；
若，则，
即，解得或，故必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
函数模型的选择与应用
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用函数模型，得到递减范围，即可得出答案.
【解答】
解：∵
，，
∴
，
∴
，
∴
，
令，则，
即该农产品价格下跌的月份为月和月.
故选.
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
双曲线的应用
【解析】
逐项分析判断即可.
【解答】
解：，设?，
为等边三角形，
，
由双曲线定义得：，
又，
，
∴
，
，∴
，
，，
∴
双曲线的渐近线方程为，故错误；
，，则，，，，
，，
，故错误；
，已知?，则，，，
∵
，，
∴
，，
∴
点的横坐标为，纵坐标为，故错误；
，为直径，，
，
点为圆心，
，，
点在?为直径的圆上，故正确.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
构造二项式，即可得出答案.
【解答】
解：由题意得，
，
而，
故除以的余数为，
故可以是.
故选.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
函数的图象
对数函数的图象与性质
指数函数的图象
幂函数的图像
【解析】
直接分别确定各基本函数，即可得出答案.
【解答】
解：由图可知，该函数过点，
故，解得，
，，由指数函数可知，符合图象，故正确；
，，由幂函数可知，符合图象，故正确；
，，当时，，由指数函数可知，不符合图象，故错误；
，由对数函数可知，符合图象，故正确.
故选.
【答案】
A,C
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
逐个判断即可.
【解答】
解：，如果，，由线面垂直的性质，可得，故正确；
，如果，，此时可得，或，再由，可得与平行或相交，故错误；
，如果，，由面面平行的性质，可得，故正确；
，如果，且，可得与平行或异面，故错误.
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
三角函数的最值
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
【解析】
利用三角函数的相关知识，即可得出答案.
【解答】
解：，
，故的周期为，故正确；
，若的图象关于对称，
则上的点与关于对称，
，
，
，
故的图象不关于对称，故错误；
，
，
由于函数周期为，故考虑即可，
令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
又，，
故函数的最大值为，故正确；
，由可知，正确.
故选.
【答案】
A,B,D
【考点】
数列的应用
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
利用归纳推理，结合数列的通项公式和数列的前项和，逐个分析即可.
【解答】
解：，每一行第一个数的规律：
第一行：，
第二行：，
第三行：，
?
?
?
?
?
?
?
第行：，
所以中，第的第一个数是，故正确；
，每一行公差的规律：
第一行：，
第二行：，
第三行：，
第行：，
所以中，第行的数从左到右构成公差为的等差数列，故正确；
，第行的第一个数为，公差为，
所以，故错误；
，第行的第一个数为，第行公差为，
第行第个数为，故正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
利用正态分布的对称性，即可得出答案.
【解答】
解：由题意知，，
∴
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
分段函数的应用
其他不等式的解法
【解析】
由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可．
【解答】
?解：∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即，
，
解得：，
故不等式的解集为：.
故答案为：.
【答案】
??
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用椭圆的定义，构造边长关系，构造勾股定理，即可得出答案.??
【解答】
解：由题意，设，则，
由椭圆的定义可知，，，
∵
，
∴
，
由勾股定理可知，?
不妨设，解得，，
故离心率为.
故答案为：.
【答案】
?
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
多面体的内切球问题
【解析】
??
【解答】
解：如图所示，设母线长为，，，
圆锥体积，
，
，
，
∵
，
，
∴
，
?，
，
，
∴
?，
令，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
四、解答题
【答案】
解：由题意得，，，
所以，
即，
又因为，
所以．
证明：因为
，
所以
．
所以得证．
【考点】
等比数列的通项公式
数列递推式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意得，，，
所以，
即，
又因为，
所以．
证明：因为
，
所以
．
所以得证．
【答案】
解：，
．
因为，，
所以．
由正弦定理得．
由得，
由余弦定理得，
又因为，，
所以，
所以，从而．
又因为且，
所以．
因此．
【考点】
正弦定理
三角形的面积公式
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
无
【解答】
解：，
．
因为，，
所以．
由正弦定理得．
由得，
由余弦定理得，
又因为，，
所以，
所以，从而．
又因为且，
所以．
因此．
【答案】
证明：如图，过点作，垂足为，连接，
由题意知，，
易证，
所以，
即，
因为，，
所以平面．
又因为平面，
所以．
解：过作，垂足为，连接，则，
由平面平面，交线为，
所以平面．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，
由条件①得，
由条件②得，
由条件③得，即．
若选条件①②，可求得．
，，，，
因而，，
所以，．
设平面的一个法向量，
由
得，
又易知平面的一个法向量，
故，
所以二面角的余弦值为．
若选①③或②③均可求得，下同．
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
证明：如图，过点作，垂足为，连接，
由题意知，，
易证，
所以，
即，
因为，，
所以平面．
又因为平面，
所以．
解：过作，垂足为，连接，则，
由平面平面，交线为，
所以平面．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，
由条件①得，
由条件②得，
由条件③得，即．
若选条件①②，可求得．
，，，，
因而，，
所以，．
设平面的一个法向量，
由
得，
又易知平面的一个法向量，
故，
所以二面角的余弦值为．
若选①③或②③均可求得，下同．
【答案】
解：若甲通过测试，则甲的得分或，
，
，
所以．
的可能取值为，，，，．
，
，
，
，
．
甲水平高．
理由如下：甲通过测试的概率大于乙通过测试的概率．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
离散型随机变量及其分布列
概率的应用
【解析】
无
无
无
【解答】
解：若甲通过测试，则甲的得分或，
，
，
所以．
的可能取值为，，，，．
，
，
，
，
．
甲水平高．
理由如下：甲通过测试的概率大于乙通过测试的概率．
【答案】
解：由抛物线定义，得，
得?.?
所以抛物线的标准方程为.?
设，，
设直线的方程为，
联立消掉，
所以，，
设在点，的切线斜率分别为，，
则，，
所以在点的切线方程为，
即①，
同理可得在点的切线方程为②，
由①②得，
将代入①得，
所以，?
即点在定直线上；
设点关于直线的对称点为，则，
因为，
所以三角形周长取得最小值为.?
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
抛物线的应用
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
（1）由抛物线定义，得，
得?.?
所以抛物线的标准方程为?.?
（2）设，
设直线的方程为，
联立消掉，
所以，
设在点，的切线斜率分别为，则，
所以在点的切线方程为，即?①，
同理可得在点的切线方程为②，
由①②得，
将带入①得，
所以，?
即点在定直线上；
设点关于直线的对称点为，则，
因为，
所以三角形周长取得最小值为?.?
【解答】
解：由抛物线定义，得，
得?.?
所以抛物线的标准方程为.?
设，，
设直线的方程为，
联立消掉，
所以，，
设在点，的切线斜率分别为，，
则，，
所以在点的切线方程为，
即①，
同理可得在点的切线方程为②，
由①②得，
将代入①得，
所以，?
即点在定直线上；
设点关于直线的对称点为，则，
因为，
所以三角形周长取得最小值为.?
【答案】
解：由于，
又，
故切线斜率，
因此所求切线方程为，
即．
证明：由于，
故时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，
由可知，在点的切线方程为，
设与的交点横坐标为，
即，下证，
由于在单调递减，
故只需证明即可．
事实上设
，
，
故，，函数单调递减，
，，函数单调递增，
因此，
即，
又在处的切线方程为，
设与的交点横坐标为，
即，下证，
由于在单调递增，
故只需证明即可，
事实上设，
，函数在单调递减，
，即，
综上易知，，
即．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由于，
又，
故切线斜率，
因此所求切线方程为，
即．
证明：由于，
故时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，
由可知，在点的切线方程为，
设与的交点横坐标为，
即，下证，
由于在单调递减，
故只需证明即可．
事实上设
，
，
故，，函数单调递减，
，，函数单调递增，
因此，
即，
又在处的切线方程为，
设与的交点横坐标为，
即，下证，
由于在单调递增，
故只需证明即可，
事实上设，
，函数在单调递减，
，即，
综上易知，，
即．
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