2020-2021学年山东省潍坊市高一（下）期中考试数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年山东省潍坊市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
角的终边所在的象限是(?
?
?
?
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
?
2.
函数的定义域为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
3.
在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．若某种信号的波形对应的函数解析式为，则其部分图像为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
若，则(?
?
?
?
?)
A.
B.
C.
D.
?
5.
斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数，，，，，，…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形的面积之比为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
如图，在矩形中，，为的中点，与交于点，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.当时，
C.当角越大时，用力越省
D.当时，
二、多选题
?
下列四个三角关系式中正确的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
下列命题中的真命题是（????????）
A.若，，则向量在向量方向上的投影的数量为
B.若，则是与向量方向相同的单位向量
C.若向量，不共线，则与一定不共线，
D.若平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为
?
已知，是函数的图像与直线的两个不同的交点，若的最小值是，则(?
?
?
?
)
A.
B.函数在区间上单调递增
C.是奇函数
D.函数的图像关于点中心对称
?
如图，设，且．当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是(?
?
?
?
)
A.设，，若，则，
B.设，则
C.设，，若，则
D.设，，若与的夹角，则
三、填空题
?
已知，，，是平面上四个点，则________.
?
已知的图像过点，要使该函数解析式为，还应该给出的一个条件是________.
?
已知函数满足的的最小值为，则________，直线与函数在上的图像的所有交点的横坐标之和为________．
?
潍坊的传统民间工艺有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．为弘扬民族文化，潍坊某中学开展劳动实习，学生到一个铸造厂学习铁皮裁剪技术，如图所示，铁皮原料的边界由一个半径为的半圆弧（点为圆心）和直径围成，甲班学生决定将该铁皮原料裁剪成一个矩形，则当该矩形的周长最大时，________.
四、解答题
?
如图所示，在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中．
求和，，的值；
求的值．
?
已知向量，向量，向量（其中），且．
求的值和；
若，，且，，三点共线，求实数的值．
?
三角函数中有许多形式简洁，含义隽永的数学等式．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
请从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；
根据的计算结果，请将结论推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
?
将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中）且.
若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．
?
潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．
下表给出了某沿海港口在一天（小时）中海水深度的部分统计数据：
时间（时）
水深（米）
请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天小时中海水深度与时间的函数图像，并根据你所学知识，请从，，，，这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天小时内水深与时间的函数关系，求出其解析式；
现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为米，卸货后吃水深度减小米，根据安全航行的要求，船底至少要留出米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．
（参考数据：）
?
已知函数?.?
求函数的单调递增区间；
若不等式对任意恒成立，求整数的最大值；
若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
终边相同的角
【解析】
由题意，根据角的范围来判断该角终边所在象限.
【解答】
解：已知，
而，
所以角的终边所在的象限是第三象限.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意，令真数必要大于零得到正切值的大小，再进行求解即可.
【解答】
解：已知函数，
因为，即，
所以，，
所以函数的定义域为.
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
函数的图象
【解析】
根据和时函数的值排除选项即可得解.
【解答】
解：，故函数为奇函数，
当时，.
故选.
4.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
三角函数值的符号
【解析】
由题可得，，再根据同角三角函数的基本关系即可得解.
【解答】
解：因为，
所以，，
所以
.
故选.
5.
【答案】
C
【考点】
扇形面积公式
【解析】
根据扇形的面积公式求出阴影部分面积，根据矩形面积公式求出矩形的面积，进而求出答案
【解答】
解：矩形长为，宽为，
所以面积，
而阴影部分由个部分组成，
则，
则阴影部分的面积与矩形的面积之比为?.
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
由题可知，根据三角形的相似性得到，
即，再用表示出即可得解.
?
【解答】
解：由题可知，
因为为的中点，
所以，?
则
.
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
三角函数的化简求值
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先根据和的范围求得和的值，进而利用正弦的两角和公式求得答案．
【解答】
解：因为，
所以，
因为，，
所以，,
.
故选．
8.
【答案】
B
【考点】
向量在物理中的应用
平面向量数量积
【解析】
?
【解答】
解：，由题可得
，所以，
由可得，故错误；
，当时，，所以，故正确；
，当时，?在上单调递减，所以大小变大，故错误；
，当时，，所以，所以，.∵
，∴
，故错误.
故选.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
两角和与差的正切公式
两角和与差的余弦公式
运用诱导公式化简求值
【解析】
根据诱导公式和两角和与差的三角函数公式逐一化简即可得解.
【解答】
解：，，故错误；
，，故正确；
，，故错误；
，
，故正确.
故选.
【答案】
B,C
【考点】
平行向量的性质
向量的共线定理
向量的投影
【解析】
由题意，结合投影的运算、单位向量的性质、向量共线的性质和平面向量的坐标运算，结合选项进行逐一分析即可求解.
【解答】
解：对于选项，已知，，
则在方向上的投影为
，故选项错误；
对于选项，已知，则该向量方向相同的单位向量，故选项正确；
对于选项，若与共线，
此时，，
则，，可得和共线，其矛盾，
所以与一定不共线，故选项正确；
对于选项，因为为平行四边形，不妨设，
则，整理得，
所以，故选项错误；
综上得，选项正确的有.
故选.
【答案】
A,C
【考点】
余弦函数的对称性
函数解析式的求解及常用方法
余弦函数的单调性
余弦函数的奇偶性
【解析】
根据题意求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断选项即可得解.
【解答】
解：，因为的最大值为，
由题可知函数的图像与两个不同的交点为极大值点，
因为的最小值为，
所以，
所以，
所以，故正确；
，由于，而，，不满足函数单调递增，故错误．
，
，为奇函数，故正确．
，因为，所以函数的图像不关于对称，故错误.
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的坐标运算
【解析】
把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．
【解答】
解：根据题意易得，故正确；
，∵
，故错误；
由得，∴
，，∴
，故正确；
根据夹角公式得，
故，即，则，故正确.
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
直接相加即可.
【解答】
解：
.
故答案为：.
【答案】
或周期
【考点】
余弦函数的图象
余弦函数的周期性
【解析】
由题可知，则，根据，则，要是该函数解析式为，可得.
?
【解答】
解：函数的图像过点，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
要使该函数解析式为，
则或周期.
故答案为：或周期.
【答案】
,
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的图象
根的存在性及根的个数判断
【解析】
?
【解答】
解：根据正弦型函数的图象与性质知，当时，,
所以的最小正周期是，
所以，
所以，
，则，
令，，，
则，，
当时，在上有个交点，
如图：
设横坐标分别为，，，，对应的分别为，，，，
则，，
所以，
所以，
所以与函数在上的图像的所有交点的横坐标之和为.
故答案为：；.
【答案】
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
两角和与差的正弦公式
任意角的三角函数
【解析】
设,则，可得的周长为，令，求出其导数，令，则，可知函数在时有最大值，此时周长最大，进而求解.
?
【解答】
解：矩形的周长
，，
∴
矩形周长最大为.
设，，
则
解得
故.
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：由题意，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
则，，
所以．
．
【考点】
单位圆与周期性
任意角的三角函数
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意，，
所以，
所以，
又因为，
所以，
则，，
所以．
．
【答案】
解：因为，，
，，
因为，
因为，
所以，
故，．
因为，，，
所以，．
即，
所以
解得：
故的值为．
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
【解析】
无
无
【解答】
解：因为，，
，，
因为，
因为，
所以，
故，．
因为，，，
所以，．
即，
所以
解得：
故的值为．
【答案】
解：选甲时，
，
．
，
证明：左边
，
，
．
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：选甲时，
，
．
，
证明：左边
，
，
．
【答案】
解：由题意得，，所以，即
?则，
?,
为钝角，
，
故，
故与不可能垂直．
，
，
，
当时，，
?，
此时，
，
又，
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意得，，所以，即
?则，
?,
为钝角，
，
故，
故与不可能垂直．
，
，
，
当时，，
?，
此时，
，
又，
【答案】
解：可选择以下个点：?，其图像如下：
选法—：设选取的函数解析式为：，
由题意得：，
，
又
解得
，
由
得
又，
当时，，
．
选法二：设选取的函数解析式为：，
求解过程同上，可得．
根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到米，
由，
解得：
即，
，
故
又，
，
可安排货轮在时到时之间进港，
货轮安全离港的水深要求至少达到米，
根据表中数据可知最早在晚上时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为个小时．
综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨时进港，最早在晚上时离港，在港时间最短为个小时．?
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：可选择以下个点：?，其图像如下：
选法—：设选取的函数解析式为：，
由题意得：，
，
又
解得
，
由
得
又，
当时，，
．
选法二：设选取的函数解析式为：，
求解过程同上，可得．
根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到米，
由，
解得：
即，
，
故
又，
，
可安排货轮在时到时之间进港，
货轮安全离港的水深要求至少达到米，
根据表中数据可知最早在晚上时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为个小时．
综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨时进港，最早在晚上时离港，在港时间最短为个小时．?
【答案】
解：由题意得，
，
由，，
得，，
可得函数的单调递增区间为，.
因为，所以，
所以，
所以当时，的最小值为；当时，的最大值为，
所以．
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以解得，
所以整数的最大值为．
由题意知，，
将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得，
再向右平移个单位得，
因为关于的方程在区间上有解，
整理得：，
即在区间上有解，
令，
可转化为在内有解，
所以，，
又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以，
综上所述：的取值范围为?．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
根的存在性及根的个数判断
【解析】
?
?
【解答】
解：由题意得，
，
由，，
得，，
可得函数的单调递增区间为，.
因为，所以，
所以，
所以当时，的最小值为；当时，的最大值为，
所以．
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以解得，
所以整数的最大值为．
由题意知，，
将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得，
再向右平移个单位得，
因为关于的方程在区间上有解，
整理得：，
即在区间上有解，
令，
可转化为在内有解，
所以，，
又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以，
综上所述：的取值范围为?．
第7页
共20页
◎
第8页
共20页
第9页
共20页
◎
第10页
共20页