2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（理）试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
?
1.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
若为虚数单位，则的虚部为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
年月，石家庄成为新冠高风险地，为了控制疫情，全市人口进行全员核酸检测，检测方法是：人一组进行化验，若结果呈阴性，则可断定全组人全为阴性，不必再化验，若结果呈阳性，则本组至少人呈阳性，再逐个化验，某小微企业共人，分个人组和个人组进行化验，结果测出人阳性，则化验次数不可能是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
函数的图像大致是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列，，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
6.
记为数列的前项和，若，，且，则的值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知满足：，，在区间上，为减函数，则的最大值为
A.
B.
C.
D.
?
8.
假设某自动化车床生产的螺母内径服从（单位：），且已知
，质量员任意抽取了个螺母进行检测，检测螺母内径尺寸分别为：、、、、、1.、、，可根据以下数据判断生产情况不正常的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
9.
已知直线过原点，圆，则下列叙述错误的是（????????）
A.圆的圆心为点
B.设直线与圆交于两点，，则中点轨迹为一段圆弧
C.存在实数，使直线与圆相切
D.不存在实数，使圆上恰有三个点到直线的距离为
?
10.
已知定义域为的函数满足，且当时，则下列叙述正确的是（????????）
A.函数是奇函数
B.函数是偶函数
C.函数在单调递增
D.函数在单调递减
?
11.
已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则函数在区间上的所有零点之和为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
12.
如图，在棱长为的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含端点），则
下列说中正确的是（????????）
A.三角形的面积无最大值、无最小值
B.存在点，满足
C.存在有限各点，使得三角形是等腰三角形
D.三棱锥的体积有最大值、无最小值
二、填空题
?
函数在处的切线方程经过点，则______.
?
平面直角坐标系中，正方形（按顺时针方向）的顶点则向量________．
?
正方体中，为中点，平面与平面交线为，则与所成角的余弦为________．
?
已知点，为椭圆：的左右焦点，过做垂直于轴的直线交椭圆于点，，且为抛物线：焦点，则椭圆方程为________．
三、解答题
?
已知等比数列的公比为，前项和为，且是与的等差中项．
求的通项公式；
设的前项和为，证明：
?.?
?
的内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，在以为直径的圆上取一点，且点在内部，，求．
?
某校高一年级举办《中华诗词知识比赛》活动，比赛分三个环节，前一个环节的题目都答对，方可进入下一个环节，否则活动停止．
第一个环节有一个必答题，每人答对的概率为，答对者得分，否则不得分；
第二个环节有两个必答题，每人每题答对的概率均为，都答对者得分，否则不得分；
第三个环节有一个必答题，每人答对的概率为，答对者得分，否则不得分．
设每个学生参加活动总得分为，求的分布及期望；
若规定，得分及分以上的同学获优胜奖，现有名学生参加该活动，求获得优胜奖的学生人数的期望．
?
如图，四边形为正方形，
，，点为的中点．
求证：
平面；
若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
?
椭圆，右顶点为，上顶点为，下顶点为，的面积为.
求椭圆方程；
是椭圆上在第三象限内的动点，直线交轴于，直线交轴于，求面积的最大值．
?
已知，.
求证：；
数列通项公式为，证明.
参考公式：，，，.
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合，，计算即可．
【解答】
解：，，
则.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：．
故选．
3.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
无
【解答】
解：若个阳性都在人组，则化验次数为：；
若个阳性个在人组，另个在某个人组，则化验次数为：；
若个阳性分别在个不同的人组，则化验次数为：；
若个阳性都在同个人组，则化验次数为：．
故化验次数不可能是．
故选．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：由可知的图像关于原点对称，排除；
函数值域中，显然，故排除；
，，故在上为减函数，排除．
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的前和公式求出数列的公差，再利用等差数列的通项公式以及对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：由题意知：一个月共织了尺布，且每天的织布数成等差数列，设公差为，
∴
，解得：
∴
，
∴
，
∴
.
故选．
6.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
由递推公式可得的偶数项相等，奇数项为等差数列，再利用等差数列的求和得解.
【解答】
解：由，
得，
故，
，
所以，
.
故选.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：由题意??，
其中，，
故，
取最大值时：，在区间上，为减函数，
故存在，使得：?
得：，
由，即时，，
故最大值为．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
无
【解答】
解：假设服从，满足在区间以外的概率为，
这是一个小概率事件，几乎不可能发生的，一旦发生，说明生产情况存在异常，
，故可判断生产情况不正常；
，故不可判断生产情况不正常；
，故不可判断生产情况不正常；
，故不可判断生产情况不正常.
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
轨迹方程
【解析】
无
【解答】
解：对于，化成标准方程，故正确；
对于，因为，
所以点的集合为以为直径的圆在圆内的弧，故正确；
对于，因为直线过定点在圆内，
所以直线不能与圆相切，故错误；
对于，圆的半径为，
所以要满足圆上恰有三个点到直线的距离为，
需圆心到直线的距离为，
此时直线斜率不存在，故正确.
故选．
10.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
无
【解答】
解：令，可得；
又令，可得；
令，；
令，可得，
函数是偶函数，故正确．
故选．
11.
【答案】
D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
根据条件可得函数图象关于＝对称且周期为，作出图象，条件等价于＝图象与图象的交点的横坐标，数形结合即可
【解答】
解：由题意得，，
∴
，即函数的周期为．
∵
，
∴
的图象关于对称．
作出图象如图所示：
则函数的零点即为图象与图象的交点的横坐标，
四个交点分别关于点对称，
则，，即零点之和为.
故选．
12.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
【解析】
无
【解答】
解：选项中，边的长度为定值，三角形面积与点到的距离有关，
当点在线段上时，距离最小，
此时面积取得最小值，在端点，处的距离最大，
此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），故不正确；
选项中，若，
可得点在以中点为球心，为半径的球面上，
因为以为直径的球面与侧面有交点，
所以存在点，满足，故正确；
选项中，三角形是等腰三角形，
当时，点在?的中垂面上，且在侧面上，
所以点的轨迹是线段（不含端点），有无穷多，故不正确；
选项中，由，
高不存在最大值（不包含端点）和最小值，故不正确．
故选．
二、填空题
【答案】
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由题意，先对函数进行求导，得到函数在处的切线方程，再将点求解即可.
【解答】
解：已知函数，函数定义域为，
则，
易得，
而，
所以函数在处的切线方程为，
因为该切线方程经过点，
将该点代入切线方程中可得，
所以.
故答案为：.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的运算
平行向量的性质
【解析】
无
【解答】
解：将绕着点顺时针旋转得到向量，
则，，
由题意得，，
设，
则
解得，结合题意可得，，，
则．
故答案为：．
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
无
【解答】
解：取中点为，中点，
则平面交平面于，
则，
又，
故即为所求异面直线所成角，
设，
则中，，，
．
故答案为：．
【答案】
?
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：可知，?，
又，
，
由题意，，
可解得，，
椭圆的方程为．
故答案为：．
三、解答题
【答案】
解：∵
是与的等差中项，
∴
，
∴
，
∴
或（舍去）.
∵
，∴
，
∴
?，∴
.
证明：由得
，
?∴
?.
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的性质
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
是与的等差中项，
∴
，
∴
，
∴
或（舍去）.
∵
，∴
，
∴
?，∴
.
证明：由得
，
?∴
?.
【答案】
解：
.
∵
，
得：．
如图.
设，
则，.
在中，
，
∴
，
∴
，
等式两边同除，得：，
∴
，
当时，点在外，
故．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：
.
∵
，
得：．
如图.
设，
则，.
在中，
，
∴
，
∴
，
等式两边同除，得：，
∴
，
当时，点在外，
故．
【答案】
解：由题意可知的取值可能为，，，，
，，
，，
．
设学生参加活动总得分为，
则，
又，
∴
．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：由题意可知的取值可能为，，，，
，，
，，
．
设学生参加活动总得分为，
则，
又，
∴
．
【答案】
证明：如图，连接，交于点，连接.
∵
四边形为正方形，
∴
为中点.
又为中点．
∴
，而平面，平面，
∴
平面.
解：∵
，，
在中，由，
得，则
∴
.
∵
，，
∴
平面，而面，有.
∵
，，
∴
平面，而面，有.
以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
则，，，
∴
，，，
而，
.
设面的法向量为，
则即
令，则.
由面知：是面的一个法向量.
设面与面所成锐二面角的平面角为，
则.
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
由正方形、中位线的性质易得，根据线面平行的判定可证平面；
由线面垂直的判定及性质证明、、两两垂直，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设标注相关点的坐标，求面、面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值．
【解答】
证明：如图，连接，交于点，连接.
∵
四边形为正方形，
∴
为中点.
又为中点．
∴
，而平面，平面，
∴
平面.
解：∵
，，
在中，由，
得，则
∴
.
∵
，，
∴
平面，而面，有.
∵
，，
∴
平面，而面，有.
以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
则，，，
∴
，，，
而，
.
设面的法向量为，
则即
令，则.
由面知：是面的一个法向量.
设面与面所成锐二面角的平面角为，
则.
【答案】
解：，
，
∴
，
与解得：，
∴
椭圆方程为：.
设?，
则，
，
?
.
?，
?，
.
?，
∴
，
∴
，
当时，取最大值为.
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，
，
∴
，
与解得：，
∴
椭圆方程为：.
设?，
则，
，
?
.
?，
?，
.
?，
∴
，
∴
，
当时，取最大值为.
【答案】
证明：，
，
，
故为增函数，
而，，
故存在，，
当时，，
为减函数，，
当时，，
为增函数，
又，
故存在，使得，
当时，，
为减函数，，
当时，，
为增函数，
，
综上，.
由知，在?上，，
∵
，
∴
，
故
.
要证原式，只需证：.
，故原式得证．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
数列的求和
数列与函数的综合
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：，
，
，
故为增函数，
而，，
故存在，，
当时，，
为减函数，，
当时，，
为增函数，
又，
故存在，使得，
当时，，
为减函数，，
当时，，
为增函数，
，
综上，.
由知，在?上，，
∵
，
∴
，
故
.
要证原式，只需证：.
，故原式得证．
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