2020-2021学年重庆市高一（上）期中考试数学试卷人教B版（Word含解析）

2020-2021学年重庆市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
下列各式中正确的一个是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
2.
下列各项中，
与表示同一函数的是（????????）
A.，
B.，
C.，
D.，
?
3.
设则（????????）
A.
B.
C.
D.
?
4.
若函数是奇函数，则实数(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
为鼓励同学们努力学习，学校在每个学年度都会在所有班级中评选学习优秀的同学，假设各班按照
的比例进行评比，当各班人数除以的余数大于时则再增选一名同学，那么各班可评选的学习优秀同学的人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（其中表示不超过的最大整数）可以表示为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
6.
甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程，?）可能正确的图示分析为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知偶函数的图象经过点，且对，，当时，都有，则使得成立的的取值范围为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
8.
关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
已知函数下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A.对），都只有唯一的与之对应
B.对，都有两个不同的与之对应
C.对，都有三个不同的与之对应
D.，有四个不同的与之对应
?
下列命题中的真命题是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.“”是“”的充分条件
D.若实数，，则，
?
给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是(?
?
?
?
)
A.集合为闭集合
B.集合是闭集合
C.集合，为闭集合
D.若集合，为闭集合，则为闭集合
三、填空题
?
定义一种新运算：或，，若给定集合，，则_________.
?
已知幂函数的图象经过点，则__________.
?
中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.
?
，用表示，中的较小者，记为，若，，则的最大值为________.
四、解答题
?
设全集，函数的定义域为，的值域为．
求，；
求.
?
已知函数，.
当________时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值；在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在问中的横线上并求解．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
若函数的最小值为，求实数的取值范围；
若函数是减函数，求实数的取值范围．
?
已知函数.
设，试比较，的大小，并说明理由；
若使得不等式成立，求实数的取值范围．
?
经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有如下关系：.
在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到千辆)
为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
?
设函数，，已知满足的有且只有一个．
求的值；
若函数在上的值域也为（其中），求的取值范围．
?
已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，，都有.
当时，求的取值范围；
若不等式对任意和都恒成立，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年重庆市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】
正确计算各选项，得出答案.
【解答】
解：，，故错误；
，，故错误；
，，故错误；
，，故正确.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
应根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．
【解答】
解：，，与对应关系不同，不是同一函数，故错误；
，定义域为，定义域为，它们的定义域不同，不是同一函数，故错误；
，定义域为，的定义域为，它们的定义域不同，不是同一函数，故错误；
，与定义域均为，值域相同，是同一函数，故正确.
故选．
3.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
此函数为分段函数问题，分别代入得出函数值即解决问题.
【解答】
解：∵
，
∴
.
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
由已知中函数是奇函数，我们根据定义域为的奇函数图象必要原点，构造出一个关于的方程，解方程即可求出常数的值．
【解答】
解：若函数是奇函数，
由于函数的定义域为，
则，
即，
解得.
故选.?
5.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
根据规定推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增加一名代表，即余数分别为，，时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加．进而得到解析式．
代入特殊值、验证即可得到答案．
【解答】
解：根据规定每人推选一名代表，
当各班人数除以的余数大于时再增加一名代表，
即余数分别为，，时可以增选一名代表，
也就是要进一位，
所以最小应该加．
因此利用取整函数可表示为；
也可以用特殊取值法：
若，，排除；
若，，排除.
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
函数的图象变换
【解析】
甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，因为，所以走一半路程所用时间大于，
同时，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，在时间里所走的路程小于总路程是一半．
【解答】
解：根据题意，从到地，甲用的时间为，
乙用的时间，
分析可得，即乙比甲先到地，进而可排除；
因为甲前一半路程速度为，后一半路程为，且，
所以走一半路程所用时间大于.
故选．
7.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
先求出，再根据定义法，判断出函数在?上为减函数，得到，得出结论．
【解答】
解：根据题意，为偶函数，且经过点，
则点也在函数图象上，即.
对，，当时，都有，
则函数在上为减函数.
因为，
所以，
解得：或.
故选．
8.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．
【解答】
解：是不等式的解集，
，是方程的两个实数根，且，
，,
∴
a+bab=2，即.
，
当且仅当时$``
=
"$成立.
的最小值为.
故选
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，及函数单调性的性质“增+增增”，函数奇偶性的性质“奇+奇奇”逐一判断四个答案是否满足条件，可得答案．
【解答】
解：，∵
是奇函数，但在定义域内不是增函数，故错误；
，∵
在其定义域内增函数，但不是奇函数，故错误；
，∵
在其定义域内增函数，且为奇函数，故正确；
，令
当时，，
此时，，
故；
当时，，满足；
当时，，
此时，，
故，
综上可知，，故为奇函数，
又当时，为增函数，且，
根据奇函数的单调性分布可知，函数在上为增函数，故正确.
故选.
【答案】
B,C
【考点】
分段函数的应用
函数图象的作法
【解析】
作出函数的图象，利用函数的图象求解即可.
【解答】
解：作出函数的图象如图所示：
，由图象可知，当时，有两个与对应，故错误；
，对，都有两个不同的与之对应，故正确；
，对，都有三个不同的与之对应，故正确；
，由图可知，该说法错误，故错误.
故选.
【答案】
B,D
【考点】
幂函数的性质
不等式的基本性质
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据幂函数的单调性判断错误，正确，根据充分必要条件的定义判断错误，利用不等式的性质判断正确.
?
【解答】
解：∵
在上单调递减，
∴
，故选项错误；
∵
在上单调递减，
∴
，故选项正确；
∵
，
∴
，，
∴
,
∴
是的即不充分也不必要条件，故选项错误；
∵
，，
∴
，，故选项正确.
故选.
【答案】
A,B,D
【考点】
元素与集合关系的判断
集合新定义问题
【解析】
根据闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【解答】
解：，当集合}时，，而，所以集合不为闭集合，故选项错误；
，设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以不是闭集合，故选项错误；
，当，时，
设，，，，
则，，，，
所以集合是闭集合，故选项正确；
，设，，
，，
由选项可知，集合，为闭集合，?，，
而，此时不为闭集合，故选项错误.
所以说法中不正确的是.
故选．
三、填空题
【答案】
【考点】
交集及其运算
集合新定义问题
【解析】
根据题干中提供的集合运算的新定义，求解集合即可．
【解答】
解：由题意知，或，，
∵
，，
∴
，
∴
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
函数的求值
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
由题意得到幂函数的解析式，从而得到函数值．
【解答】
解：∵
幂函数的图象过点，
∴
,
∴
,
∴
,
∴
.
故答案为：.
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
三角形的面积公式
秦九韶算法
【解析】
由题意可得：，?，由，利用基本不等式可得答案.
【解答】
解：由题意得,
∵
，
当且仅当，即时取等号，
∴
此三角形面积的最大值为.
故答案为：.
【答案】
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
分别作出两个函数的图象，利用数形结合求出的最大值.
【解答】
解：作出函数与的图象，
则实线部分即为的图像，
结合题意可知图象的最高点为与的交点，
解得交点坐标为，
∴
的最大值为
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：由题意得：
解得，
函数的定义域.
又对任意，，
所以，
函数的值域．
由知，
，．
【考点】
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
交、并、补集的混合运算
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由题意得：
解得，
函数的定义域.
又对任意，，
所以，
函数的值域．
由知，
，．
【答案】
解：选择①，当时，
，,
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
又∵
，，
∴
当时，取得最大值；
选择②，当时，
，,
当时，函数单调递减，
；
选择③，当时，
，,
当时，函数单调递减，
.
∵
，且函数的最小值为，
∴
当时，函数取得最小值，
又∵
,
∴
.
∵
，，
∴
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增.
∵
函数在上为减函数，
∴
.
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数的单调性及单调区间
【解析】
（）选择①，当时，?,根据函数的单调性即可得当时，取得最大值；
根据二次函数的性质可知当时，函数取得最小值，结合,即可得解；
根据二次函数的性质，结合，且函数为减函数，即可得解.
【解答】
解：选择①，当时，
，,
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
又∵
，，
∴
当时，取得最大值；
选择②，当时，
，,
当时，函数单调递减，
；
选择③，当时，
，,
当时，函数单调递减，
.
∵
，且函数的最小值为，
∴
当时，函数取得最小值，
又∵
,
∴
.
∵
，，
∴
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增.
∵
函数在上为减函数，
∴
.
【答案】
解：，理由如下：
.
∵
，
∴
，，，
进而有，
∴
，即?.?
由于，故不等式可化为，
化简得，
从而问题转化为，?（其中），
∴
，
当且仅当，即时成立，
∴
，
∴
实数的取值范围为?．
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，理由如下：
.
∵
，
∴
，，，
进而有，
∴
，即?.?
由于，故不等式可化为，
化简得，
从而问题转化为，?（其中），
∴
，
当且仅当，即时成立，
∴
，
∴
实数的取值范围为?．
【答案】
解：
当，即千米/小时，车流量最大，最大值为千辆/小时．
据题意有：，
化简得，即
所以.
所以汽车的平均速度应控制在这个范围内.
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：
当，即千米/小时，车流量最大，最大值为千辆/小时．
据题意有：，
化简得，即
所以.
所以汽车的平均速度应控制在这个范围内.
【答案】
解：由条件知：，
∴
有且只有一解，
∵
，
∴
，
∴
.
，
易知，在是增函数，
∴
∴
，是方程的两实根，
∴
方程在上有两个不相等的实数根，
令，
则，
即的取值范围是.
【考点】
根与系数的关系
函数恒成立问题
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）依题意有，利用即可求得的值；
（3）可求得，易知，在是增函数，由方程在有两不等实根，列关系式可求得的取值范围．
【解答】
解：由条件知：，
∴
有且只有一解，
∵
，
∴
，
∴
.
，
易知，在是增函数，
∴
∴
，是方程的两实根，
∴
方程在上有两个不相等的实数根，
令，
则，
即的取值范围是.
【答案】
解：设任意，满足，
由题设可得，
即，
所以在定义域上是增函数，
于是可等价转化为
解得，
即的取值范围为．
由是定义在上的单调递增的奇函数，
且，
可得在上，，
在上不等式对都恒成立，
等价于，
即对恒成立，
令，，
则只需
即
解得，
故的取值范围为．
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
函数恒成立问题
函数单调性的判断与证明
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：设任意，满足，
由题设可得，
即，
所以在定义域上是增函数，
于是可等价转化为
解得，
即的取值范围为．
由是定义在上的单调递增的奇函数，
且，
可得在上，，
在上不等式对都恒成立，
等价于，
即对恒成立，
令，，
则只需
即
解得，
故的取值范围为．
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